雙曲線的定義、方程和性質(zhì)

1、雙曲線的定義、方程和性質(zhì)執(zhí)教：錢如平 班級：高二(3) 地點：本教室 時間：200046一、 學習目標：掌握雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，注意與橢圓的區(qū)別和聯(lián)系。二、 知識要點：1 定義（1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定長2a（小于|F1F2|）的點的軌跡叫雙曲線。說明：|PF1|-|PF2|=2a（2a<|F1F2|）是雙曲線；若2a=|F1F2|，軌跡是以F1、F2為端點的射線；2a>|F1F2|時無軌跡。設M是雙曲線上任意一點，若M點在雙曲線右邊一支上，則|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在雙曲線的左支上，則|MF1|&

2、lt;|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，這是與橢圓不同的地方。（2）第二定義：平面內(nèi)動點到定點F的距離與到定直線L的距離之比是常數(shù)e（e>1）的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線L叫相應的準線。2 雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標準方程圖形焦點F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）頂點A1（a，0），A2（-a，0） A1（0，a），A2（0，-a）對稱軸實軸2a，虛軸2b，實軸在x軸上，c2=a2+b2實軸2a，虛軸2b，實軸在y軸上，c2=a2+b2離心率準線方程準線間距離為準線間距離為漸近線方程3 幾個概念（

3、1） 等軸雙曲線：實、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=±x，離心率為。（2） 共軸雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：的共軸雙曲線是。 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同一個圓周上。三、 解題方法指導： 例1設雙曲線方程為，則中心坐標為 ，焦點坐標為 ，頂點坐標為 ，實軸長為 ，虛軸長為 ，離心率為 ，準線方程為 ，漸近線方程 ，對稱軸方程為 ，實軸方程為 ，共軸雙曲線方程為 。 解：中心（0，0），焦點坐標（± ，0），頂點坐標（&#

4、177; ，0），實軸長為，虛軸長為2，離心率為，準線方程為，準線間距離為，漸近線方程為，對稱軸方程x=0，y=0，實軸方程y=0，（），共軸雙曲線，即。 說明：根據(jù)雙曲線的方程熟練地寫出其性質(zhì)，是學習雙曲線基本要求，也是一項重要基本功，對知識要點中的性質(zhì)部分要熟記。 例2設曲線C的方程為Ax2+By2=|（A·B0），則 C表示橢圓的充要條件是 C表示焦點在X軸上的橢圓的充要條件是 C表示焦點在Y軸上的橢圓的充要條件是 C表示雙曲線的充要條件是 C表示焦點在X軸上的雙曲線的充要條件是 C表示焦點在Y軸上的雙曲線的充要條件是 C表示圓的充要條件是 解：C的方程可化為 則C表示橢圓的充

5、要條件是，即， BA0， AB0， AB0， A0，B0， A0，B0， AB0， 說明：方程Ax2+By2=1，可表示圓、橢圓、雙曲線，而圓、橢圓、雙曲線是有心曲線，故Ax2+By2=1表示有心曲線。例3求以2x3y=0為漸近線，且經(jīng)過點（1，2）的雙曲線方程 解法一，當x=1時，代入漸近線方程，得。 點（1，2）一定在2x-3y=0的上方， 雙曲線的實軸所在的坐標軸一定是y軸可設方程為，其漸近線方程為 又 （1，2）在雙曲線上， 代入 所求雙曲線方程為 解法二：方程4x2-9y2=，是所有漸近線方程為的雙曲線系方程，即共漸近線方程，因為（1，2）點適合此方程 4-36=， =-32 方程為

6、4x2-9y2=-32，即說明：雙曲線是具有漸近線的曲線，學習時要注意如下兩個問題（1） 已知雙曲線方程，求出它的漸近線方程。（2） 求已知漸近線的雙曲線方程；已知漸近線方程為時，可設雙曲線方程為a2x2-b2y2=，再利用其它條件確定入的值，這求法實質(zhì)上是待定系數(shù)法。 例4設動點P（x，y）到定點A（5，0）的距離與它到定直線X=3的距離之比為，求其軌跡方程。 錯解：根據(jù)雙曲線的第二定義A（5，0）為焦點，C=5，又 a2=15 b2=c2-a2=25-15=10 P點的軌跡方程為雙曲線 而此雙曲線的離心率應為 所以雙曲線的中心不在坐標原點。 正確解答：由動點運動的條件可得： 化簡后得：2x

7、2- y2-8x+2=0 說明：錯解錯誤地按曲線中心為原點得出焦點從標F（C，0）和準線方程為的結(jié)論， 四、練習題（一） 選擇題 1雙曲線的離心率e為（ ）A、 B、 C、 D、 2已知雙曲線以橢圓的焦點為焦點，且它的離心率為2，則該雙曲線的方程。 A、 B、 C、 D、 3雙曲線的漸近線方程為，則它的離心率e為（ ） A、 B、 C、或 D、（二） 填空題 4與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點（）的雙曲線方程 5雙曲線的漸近線方程是 6雙曲線的兩焦點為F1、F2，此雙曲線上一點P到F1的距離為12，則點P到F2的距離 7雙曲線上有一點P到左準線的距離，則點P到右焦點的距離為 8以橢圓x2+4y2=64的焦點為頂點，一條漸近線方程為的，雙曲線方程 （三） 解答題： 給定雙曲線，過點B（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q1及Q2，且點B是線段Q1Q2的中點，這樣的直線如果存在，求出它的方程，如果不存在說明理由。參考答案（一） 選擇題 （1）A （2）B （3）C（二） 填空題 （4） （5） （6）22或者2 （7）13.5 (8)（三） 解答題 解：假設所求的直