彈性力學(xué)課后習(xí)題詳解

1、第一章習(xí)題1-1試舉例證明，什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體，什么是非均 勻的各向異性體。1 .均勻的各向異性體：如木材或竹材組成的構(gòu)件。整個物體由一種材料組成，故為均勻的。材料力學(xué)性質(zhì) 沿纖維方向和垂直纖維方向不同，故為各向異性的。2 .非均勻的各向同性體：實際研究中，以非均勻各向同性體作為力學(xué)研究對象是很少見的，或者說非均勻各 向同性體沒有多少可討論的價值，因為討論各向同性體的前提通常都是均勻性。設(shè)想物 體非均勻（即點點材性不同），即使各點單獨(dú)考察都是各向同性的，也因各點的各向同性 的材料常數(shù)不同而很難加以討論。實際工程中的確有這種情況。如泌水的水泥塊體，密度由上到下逐漸加

2、大，非均勻。 但任取一點考察都是各向同性的。再考察素混凝土構(gòu)件，由石子、砂、水泥均組成。如果忽略顆粒尺寸的影響，則為 均勻的，同時也必然是各向同性的。反之，如果構(gòu)件尺寸較小，粗骨料顆粒尺寸不允許 忽略，則為非均勻的，同時在考察某點的各方向材性時也不能忽略粗骨料顆粒尺寸，因 此也必然是各向異性體。因此，將混凝土構(gòu)件作為非均勻各向同性體是很勉強(qiáng)的。3 .非均勻的各向異性體：如鋼筋混凝土構(gòu)件、層狀復(fù)合材料構(gòu)件。物體由不同材料組成，故為非均勻。材料 力學(xué)性質(zhì)沿纖維方向和垂直纖維方向不同，故為各向異性的。1-2 一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地 基能否作為理想彈性

3、體理想彈性體指：連續(xù)的、均勻的、各向同性的、完全（線）彈性的物體。一般的混凝土構(gòu)件（只要顆粒尺寸相對構(gòu)件尺寸足夠小）可在開裂前可作為理想彈 性體，但開裂后有明顯塑性形式，不能視為理想彈性體。一般的鋼筋混凝土構(gòu)件，屬于非均勻的各向異性體，不是理想彈性體。一般的巖質(zhì)地基，通常有塑性和蠕變性質(zhì)，有的還有節(jié)理、裂隙和斷層，一般不能 視為理想彈性體。在巖石力學(xué)中有專門研究。一般的土質(zhì)地基，雖然是連續(xù)的、均勻的、各向同性的，但通常具有蠕變性質(zhì)，變 形與荷載歷史有關(guān)，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不符合虎克定律，不能作為理想彈性體。在土力學(xué)中 有專門研究。1-3五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么用途連續(xù)性假定使變量

4、為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。完全（線）彈性假定使應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系明確為 虎克定律。均勻性假定使材料常數(shù)各點一樣，可取任一點分析。各向同性使材料常數(shù)各 方向一樣，坐標(biāo)軸方位的任意選取不影響方程的唯一性。小變形假定使幾何方程為線性,且可采用變形前的尺寸列平衡方程。1-4應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別試分別畫出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面 力的方向。面力的正/負(fù)總是按與坐標(biāo)軸正向是/否一致來確定，與所討論的邊界面的外法線方 向（可能與坐標(biāo)軸正向一致或相反，或者與坐標(biāo)軸呈一夾角）無關(guān)。對于平行于坐標(biāo)面 的截面上的應(yīng)力而言，其正負(fù)號取決于兩方面，一是所討論的截面的外法線方向是否與 坐標(biāo)軸正向一致（即該截面是正面還是

5、負(fù)面），二是應(yīng)力本身方向與坐標(biāo)軸正向是否一致。教材P4圖1-3標(biāo)出所有平行于坐標(biāo)面的截面上的應(yīng)力的正方向。分別設(shè)想該圖的某 一面為邊界面，則右面、上面、前面的面力正方向與應(yīng)力正方向一致，而左面、下面、 后面的面力正方向與應(yīng)力正方向相反。1-5試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定。材力中切應(yīng)力符號的規(guī)定，通常按使微元體順/逆時針轉(zhuǎn)為+/-。彈力則規(guī)定正面上 切應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致為+、負(fù)面上切應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向相反為+。根據(jù)剪應(yīng)力互等， 某個坐標(biāo)面內(nèi)的2對切應(yīng)力總是一對順時針一對逆時針，因此按材力規(guī)定則切應(yīng)力變化 下標(biāo)后，大小相等、符號改變，即切應(yīng)力互等差一負(fù)號，而按彈力規(guī)定使切應(yīng)力變化

6、下 標(biāo)后，大小相等、符號不變，即切應(yīng)力互等絕對成立。1-6試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變。關(guān)于本題的理解：（1）“正的應(yīng)力”包括正的正應(yīng)力、正的剪應(yīng)力（注意“正的應(yīng) 力”不只等價于“正應(yīng)力” ）；（2） “正的形變”包括正的線應(yīng)變、正的切應(yīng)變；（3） 所謂“對應(yīng)”是指應(yīng)力、形變下標(biāo)一致的兩者對應(yīng)，如氣對應(yīng)邑、1對應(yīng)八z等。參考 答案如下：（1）說明正的正應(yīng)力對應(yīng)正的線應(yīng)變：以圖3-l（a）簡單拉伸問題為例，設(shè)a>0,則 有應(yīng)力解答5 =2>0,巴=0, rvv=0o由物理方程（2-12）得% =如>0 （此外還有 J、入 Jwp名=-巴2"<0,八產(chǎn)0）,即

7、板沿y軸伸長。可見，拉應(yīng)力（即正的正應(yīng)力）對應(yīng)線段 E的相對伸長（即正的線應(yīng)變）。從本例也可見，正應(yīng)力為零時對應(yīng)的線應(yīng)變不一定為零, 但正應(yīng)力不為零時對應(yīng)的線應(yīng)變一定不為零，而且正負(fù)號一致。（2）說明正的切應(yīng)力對應(yīng)正的切應(yīng)變：以右圖微元體純剪 切問題為例，設(shè)b >0,則有% ， * =0, Txy = % = b >0。由物 理方程（2-12）得7n=/戶=!>。（此外還有3=0、£丫=0）?？梢? G正的切應(yīng)力對應(yīng)正的切應(yīng)變。這里要對切應(yīng)變的幾何含義加以解釋。右圖為上述正的切應(yīng) 力作用下的微元體變形后的圖形。注意到/DAB、ZDCB處直角變?yōu)殇J角，與上述4=八0也

8、是一致的。但/ABC、NADC處都是直角變?yōu)殁g角，是否 意味著心,.=八6。并不是這樣的。實際上，兒, = /"（）從幾何上看就是指微元體沿第一、 三象限對角方向伸長，沿第二、四象限對角方向縮短的切變形，即如圖所示的變形形式 就是正的切應(yīng)變的幾何含義。因此嚴(yán)格地講，“切應(yīng)變以直角變小時為正”中的“直角” 應(yīng)是指從一點出發(fā)沿兩坐標(biāo)軸正向的線段之間的直角。按此定義，在考察圖中的切變形 到底是正是負(fù)，只需考察NDAB處的直角變化，因為點A、B、C、D中只有A點具有從 該點出發(fā)沿兩坐標(biāo)軸正向的線段。1-7試畫出圖14中的矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。題為薄板，可認(rèn)為不關(guān)心與z下標(biāo)有關(guān)的物理量，只標(biāo)出與x、y下標(biāo)有關(guān)的物理量：薄板的正的而力微元體的正的應(yīng)力薄板的正的體力容易犯的錯誤：1）一個邊界上，面力只標(biāo)出一個方向的分量，少標(biāo)一個；2）只在 一個邊界面上標(biāo)面力分量；3）正的面力分量方向標(biāo)反；4）正的體力分量方向標(biāo)反。5） 各微元體截面上正的應(yīng)力分量標(biāo)反；6）將應(yīng)力分量標(biāo)在物體邊界面上。1-8試畫出圖L5中的三角形薄板的正的面力和體力的方向。題為