微積分求極限地方法(2_完整版)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案專題一求極限的方法【考點(diǎn)】求極限1、 近幾年來(lái)的考試必然會(huì)涉及求極限的大題目，一般為2-3 題 12-18 分左右，而用極限的概念求極限的題目已不會(huì)出現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō)涉及到的方法主要涉及等價(jià)量代換、洛必達(dá)法則和利用定積分的概念求極限，使用這些方法時(shí)要注意條件，如等價(jià)量代換是在幾塊式子乘積時(shí)才可使用，洛必達(dá)法則是在0 比 0，無(wú)窮比無(wú)窮的情況下才可使用，運(yùn)用極限的四則運(yùn)算時(shí)要各部分極限存在時(shí)才可使用等。2、 極限收斂的幾個(gè)準(zhǔn)則：歸結(jié)準(zhǔn)則（聯(lián)系數(shù)列和函數(shù)）、夾逼準(zhǔn)則（常用于數(shù)列的連加）、單調(diào)有界準(zhǔn)則、子數(shù)列收斂定理（可用于討論某數(shù)列極限不存在）3、 要注意除等價(jià)量代換和洛必達(dá)法則之外其他輔

2、助方法的運(yùn)用，比如因式分解，分子有理化，變量代換等等。lim sin x1 )x14、 兩個(gè)重要極限1 lim(1lim(1x) xe ，注意變形，如將第二個(gè)式x 0xxxx 01lim(1 x) xef ( x) 以構(gòu)造“ 1 ”的形式的典型求極子 x 0中的 x 變成某趨向于 0 的函數(shù)限題目。5、 一些有助于解題的結(jié)論或注意事項(xiàng)需要注意總結(jié)，如：（ 1） 利用歸結(jié)原則將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限（ 2） 函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。有時(shí)可以利用這點(diǎn)進(jìn)行解1lim ex 1題，如 x1因左右極限不相等而在這點(diǎn)極限不存在。（當(dāng)式子中出現(xiàn)絕對(duì)值和e的無(wú)窮次方的結(jié)構(gòu)時(shí)可以考慮從

3、這個(gè)角度出發(fā)）（ 3） 遇到無(wú)限項(xiàng)和式求極限時(shí)想三種方法：看是否能直接求出這個(gè)和式 ( 如等比數(shù)列求和 ) 再求極限夾逼定理用定積分的概念求解。（4）如果 f(x)/g(x)當(dāng) x x0 時(shí)的極限存在，而當(dāng)x x0 時(shí) g(x) 0，則當(dāng) x x0 時(shí) f(x)也 0（5）一個(gè)重要的不等式：sin xx （ x0）* 其中方法考到的可能性較大。6、 有關(guān)求極限時(shí)能不能直接代入數(shù)據(jù)的問(wèn)題。7、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、根的存在性定理、介值定理）8、 此部分題目屬于基本題型的題目，需要盡量拿到大部分的分?jǐn)?shù)?！纠}精解求極限的方法】方法一：直接通過(guò)化簡(jiǎn)，運(yùn)用極限的四則運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算。【例 1

4、】求極限 lim xm1x 1 xn1精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案mlim ( xm 1m 21解limxn11)(xn 1xn 2) = mx 1x1x 1( x1)(xx1 n)注：此題通過(guò)洛必達(dá)法則進(jìn)行求解也非常方便。還可通過(guò)變量代換構(gòu)造等價(jià)量。【例 2】求極限 lim (x2 1x2x )x解lim (x21x2x)lim21x21xxx1xx2注： 1、遇到“根號(hào)加減根號(hào)”基本上有兩種方法有理化和采取倒變量的方法。2、一個(gè)最基本的多項(xiàng)式極限a1 xna2 xn 1an( 系數(shù)均不為 0) ：limmm 1xb1 xb2 xbn若 nm，則極限為正無(wú)窮；若 nm，則極限為0；若 n=m，則極限

5、為 a1。（本質(zhì)為比較次數(shù)）b1要注意的是x是趨向于正無(wú)窮， 而且分子分母遇到根號(hào)時(shí)要以根號(hào)里x 的最高次的1 次來(lái)2計(jì)算，如x21 的次數(shù)為 1。方法二：利用單調(diào)有界準(zhǔn)則來(lái)證明極限存在并求極限【例 3】設(shè) u112， un112un (n1,2,.) , 證明 lim un 存在并求之n精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案方法三：利用夾逼定理適用于無(wú)限項(xiàng)求極限時(shí)可放縮的情況?！纠?4】求極限 lim 11n 2n 3.nnnn解因 1= 1 n1 1n 2n 3.n n1n n n = n nnnn而 lim1= lim n n =1nn故由夾逼定理 lim 11 n 2n 3 .n n =1nn方法四 &

6、方法五：等價(jià)量代換、洛必達(dá)法則未定式極限。（化加減為乘除?。纠?5】求極限 lim etan xexx0 tan xx原式 = limex (etan xx 1)limex (tan xx)解1x0tan xxx 0tan xx11【例 6】求極限 lim x2 (a xa x 1 )x111111解lim x2 (a xa x1 )= lim x2a x1 (a xx 1 1)lim x2 1 (a x(x 1)1) =xxxlim x2 11ln a ln axx( x1)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1+ tan x 1sin x【例 7】求極限 limx2 ) 41)x 0 sin x x2

7、( 3 (1解原式 = limx0= limx 0( 1+ tan x1sin x)( 1+ tan x1sin x)sin xx2(3 (1x2 )41)(1+ tan x1sin x )tan xsin x=limtan x(1cos x)sin xx24 x2sin xx4 x2 22xx 03x31 x33= lim2x 04216x 12x3【例 8】求極限 lim 1cos x cos2x cos3 xx 01 cos x解：直接運(yùn)用洛必達(dá)法則和等價(jià)量代換可得lim 1 cos x cos 2x cos3 x =x 01 cos xlim sin xcos2 xcos3 xlim

8、4cos x sin 2x cos3xlim 9cos x cos2 x sin 3x =x 0xx 02xx 03xlim sin x cos2x cos3 xlim 2cos xsin 2x cos3xlim 3cos x cos 2x sin 3xx0sin xx0sin xx0sin xlim sin x cos2x cos3 xlim 2cos xsin 2x cos3xlim 3cos x cos 2x sin 3xx0xx0xx0xlim sin x cos2x cos3 xlim 4cos xsin 2x cos3xlim 9cos x cos2x sin 3xx0xx02xx

9、03x=1+4+9=14【例 9】求極限 limlog x ( xaxb )x解： 由換底公式，= limln( xaxb )= limax abx b= limaxabxb(ababxln xxxxxxx若 ab ，則極限為 a ；若 ab ，則極限為b ，綜上，極限為 max a, b方法六：冪指函數(shù)求極限取對(duì)數(shù)再取指數(shù)。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【例 10】 nlimnsin 1n2(1 )n1n 21x2sin t1t2lim= limx sinlim解n sinxtnnxt0sin ttsin tt1lim1sin t ttt 21t 0tlimsintt0limcost11t303t2e

10、 6et0et01【例 11】 x +arctan xln x(00)lim21lnarctan xln x2()limarctan xlimln xx+解2=ex +11arctan x (1 x2 )(x2)0lim2lim1x()x1xarctan x0exe2lim1x2e1x2e1xexarc cot x【例 12】求極限 lim1xx? 注意 x 是趨向正無(wú)窮， 此時(shí)需要先分析底數(shù)和指數(shù)分別趨向于多少，分析底數(shù)易知底數(shù)趨向于正無(wú)窮。但是指數(shù)arccotx 這個(gè)函數(shù)不是很熟，可以通過(guò)圖像先分析cotx 再分析arccotx 趨向于多少，最后得出結(jié)論是指數(shù)趨于0。故是一個(gè)“0 ”型，所

11、以要用“先取對(duì)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案數(shù)再取指數(shù)” 的方法。 對(duì)于之后arccotx的處理， 若用羅比達(dá)對(duì)其求導(dǎo)則會(huì)發(fā)現(xiàn)再接下來(lái)比較難做，這里給出一個(gè)轉(zhuǎn)化為熟悉的，可等加量代換的式子的方法，方法較靈活，需要對(duì)三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換有很深的熟悉度。arccot x lnex1limarccot xlnex1lim1lnex1xxxarctanx原式 = xlim exx解= e= eln ex 1 ln xlimex1xlimxxxx=ee 1= e= e? 關(guān)于第三個(gè)等號(hào)左右的變化：令y arc cot x，則 x cot y11，故 tan y，tan yx11y arctan ，綜上， arc c

12、ot xarc tanxx方法七：運(yùn)用泰勒定理求極限適用于直接洛必達(dá)不好算時(shí)考慮的方法?！纠?13】 求極限 lim x22212x2x 0x2 (cos xex)解1+x21x2x4o(x4 ) ， x0 , cos x 1x2o( x3 )， x0282!ex2x22)，x0代入原式可得，1o(xx22 2 x2x4o( x4 )x44)lim4= lim4o(x12原式 = x0x3223 44=2x06x1o( x )1xo( x )xo(x )2!2方法八：通過(guò)定積分的概念來(lái)求極限【例 14】求 lim (nnn. 2n2222 )nn1n 4n 9nn解 由于此題無(wú)法直接對(duì)式子進(jìn)行

13、化簡(jiǎn)，也無(wú)法用夾逼定理，故想到用定積分的概念來(lái)求解，即原式 = lim1(n2n2n2.n22 )2222nnn1n 4n 9nn精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案= lim 1121212 .12nn123n1111nnnnn= limni11 1i 2 n1n此時(shí)由定積分的概念可將上面的和式看成被積函數(shù)f (x)1在 0,1上的定積分，故x2nnnn111lim (.)=dx =2222202nn 1 n 4 n 9n n1 x41nln i【例 15】求極限 lim11)(n2).2 1nlim11 (n!) n = lim n(nen i1 nnnnnn1111n(n1)(n2).2 1nn(n1)

14、(n2).2 1 n解 limlimn(n!) n = limnnnnnnlim ( 13 . n 11lim1 ln( 12 3. n1 n )2n)nnnn n nnnnnnnnnelim1 nln i11nn i 1nln xdx1ee0( x ln x x)|0eenk 2sin 2 kn2k 2sin2 k【例 16】 limnlnn2nk1【分析】 此題看似復(fù)雜， 其實(shí)仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)本質(zhì)仍為無(wú)限項(xiàng)的和式求極限，故再次想到用定積分的概念求解。故我們需要找到定積分概念中和式極限的“1 ”和“ f ( i ) ”。n“ 1 ”我們可以類似【例 5】，自己把這一項(xiàng)構(gòu)造出來(lái)，而f ( i

15、) 這一項(xiàng)不同于我們以往做ni 1 或右端點(diǎn)i ，而是取了中間一個(gè)點(diǎn)，但是無(wú)過(guò)的題目中f ( i) 經(jīng)常取小區(qū)間的左端點(diǎn)nn論如何，由于“取點(diǎn)的任意性”，只要能表示成f (i 1),f ( i ),f ( i) 中的一種即可看作為 0nn到 1 上 f ( x) 的定積分。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：原式=1nk2sin2k lnk2sin2k1101lim1xln xdx x2 ln x(xln x x)dxnn k1n2200n1x ln xdx1xdx1故原式 =1120x ln xdx0204【一些核心問(wèn)題&問(wèn)的很多的題目】1、求極限的時(shí)候到底什么時(shí)候可以直接代進(jìn)去？lim1 x sin x cos x【例子 1】 x0sin 2 x2【例子 2】 lim 1 cos x cos2xcos3xx01 cosx【例子 3】 lim1+ tan x1sin xsin xx2