小學(xué)奧數(shù)-格點型面積

1、實用標(biāo)準(zhǔn)格點型面積例題精講板塊一正方形格點問題在一張紙上， 先畫出一些水平直線和一些豎直直線， 并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等 ( 通常規(guī)定是 1 個單位 ) ，這樣在紙上就形成了一個方格網(wǎng)，其中的每個交點就叫做一個格點在方格網(wǎng)中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個格點多邊形那么，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數(shù)目有沒有關(guān)系？如果有，這兩者之間的關(guān)系能否用計算公式來表達(dá)？下面就讓我們一起來探討這些問題吧！用 N表示多邊形內(nèi)部格點， L 表示多邊形周界上的格點， S 表示多邊形面積，請同學(xué)們分析前幾個例題的格點數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： S NL1這

2、個規(guī)律就是畢克定理2畢克定理若一個格點多邊形內(nèi)部有N 個格點，它的邊界上有L 個格點，L1 則它的面積為 S N2精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【例1】用 9 個釘子釘成相互間隔為1 厘米的正方陣( 如右圖 ) 如果用一根皮筋將適當(dāng)?shù)娜齻€釘子連結(jié)起來就得到一個三角形，這樣得到的三角形中，面積等于1 平方厘米的三角形的個數(shù)有多少？面積等于2 平方厘米的三角形有多少個？【解析】 面積等于 1 平方厘米的三角形有32 個面積等于2 平方厘米的三角形有8 個(1) 面積等于 1 平方厘米的分類統(tǒng)計如下：底為 2，高為 1底為 2，高為 1底為 1，高為 232=6( 個)3 2=6( 個)3 2=6( 個)底為 1

3、，高為 2底為 2，高為 1底為 1，高為 232=6( 個)2 2=4( 個)22=4(個 )所以，面積等于 1 平方厘米的三角形的個數(shù)有：6+6+6+6+4+4=32( 個) (2) 面積等于 2 平方厘米的分類統(tǒng)計如下：32=6(個)12=2( 個)所以，面積等于2 平方厘米的三角形的個數(shù)有：6+2=8( 個 ) 【例2】如圖， 44的方格紙上放了16 枚棋子，以棋子為頂點的正方形有個【解析】 根據(jù)正方形的大小，分類數(shù)正方形共能組成五種大小不同的正方形( 如右圖 ) 1 1的正方形： 9 個； 2 2 的正方形： 4 個； 3 3 的正方形： 1 個；以 1 1正方形對角線為邊長的正方形

4、：4個；以 12 長方形對角線為邊長的正方形：2 個故可以組成 9 4 1 4 2 20 (個)正方形【例3】判斷下列圖形哪些是格點多邊形？【解析】 根據(jù)格點多邊形的定義可知，圖形的邊必須是直線段，頂點要在格點上！所以只有是格點多邊形精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【例4】如圖，計算各個格點多邊形的面積【解析】 本題所給的圖形都是規(guī)則圖形，它們的面積運用公式直接可求，只要判斷出相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)就行了方法一：圖是正方形，邊長是4，所以面積是4416 ( 面積單位 ) ；圖是矩形，長是5，寬是 3，所以面積是5315 ( 面積單位 ) ；圖是三角形，底是5，高是 4，所以面積是54210 ( 面積單位 ) ；圖是平

5、行四邊形，底是5，高是 3，所以面積是5315 ( 面積單位 ) ；圖是直角梯形，上底是3，下底是5，高是 3，所以面積是 （35） 3212 ( 面積單位 ) ；圖是梯形，上底是3，下底是6，高是 4，所以面積是 （36） 4218 ( 面積單位 ) 【鞏固】如果兩格點之間的距離是2，能利用剛計算的結(jié)果說出相應(yīng)面積么？( 教師總結(jié)：面積數(shù)值均擴大4倍 )方法二：以上部分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外，我們還可以從推導(dǎo)它們的面積公式過程中得到啟發(fā)，即用“割補法”或“擴展法”分別轉(zhuǎn)化成長方形來求這一種方法很重要，在下面的題目中我們還將使用這種方法！如圖，我們利用“擴展法”將其轉(zhuǎn)化，如圖所示

6、，從圖中易知三角形面積是長方形面積的一半如圖，我們利用“割補法”將其陰影部分面積平移到右邊，轉(zhuǎn)化成一個長方形，從中易得平行四邊形面積同理，圖、也可利用同樣的思想【例5】如圖 ( a) ，計算這個格點多邊形的面積IIIIII(a)(b)(c)【解析】 方法一 ( 擴展法 ) 這是個三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個三角形是處在長是6、寬是 4 的矩形內(nèi)，除此之外還有其他三個直角三角形，如下右圖 ( b) ，這三個直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個直角三角形面積，就是所要求的三角形面積矩形面積是6 424 ；直角三角形的面積是：6 2

7、 2 6 ；直角三角形的面積是：4224；直角三角形面積是422；所求三角形的面積是424 （6 4 4） 10(面積單位 ) ( c) 圖因此三角形的面積方法二 ( 割補法 ) 將原三角形分割成兩個我們方便計算面積的三角形，如是：522522 10 ( 面積單位 )【例6】 ( “新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”競賽試題) 右圖是一個方格網(wǎng)，計算陰影部分的面積DAF1cmCEB1cmABCD中這個正方形中有四個三角形：一個是要求的AEF ；【解析】 擴展法把所求三角形擴展成正方形另外三個分別是：、，它們都有一條邊是水平放置的， 易求它們的面積分別為1.5cm2，ABEFEC DAF2cm 2 ， 1

8、.5cm2 所以，圖中陰影部分的面積為：3 3 （1.5 2 2） 4 ( cm 2) 精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【例7】分別計算圖中兩個格點多邊形的面積【解析】 利用“擴展法”和“割補法”我們都可以簡單的得到的面積均為9 面積單位的面積均為10 面積單位【點評】“一個格點多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢？”“格點多邊形內(nèi)部的格點數(shù)和周界上的格點數(shù)與格點多邊形的面積有沒有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？”下面我們就來探討一下！在鞏固中，我們發(fā)現(xiàn)兩個圖形面積相等進一步還可以發(fā)現(xiàn)第一個圖形邊界上的格點數(shù)是8 個；第二個圖形邊界上的格點數(shù)是10 個，包含在圖形內(nèi)的格點數(shù)也相等，都是6 個【鞏固】求下列各個格點多邊形的

9、面積【解析】 L12； N10， SNL11012115( 面積單位 ) ；22 L10； N16， SNL11610120(面積單位 )；22 L6 ； N12， SNL1126 1 14(面積單位 )；22 L10； N13， SNL11310117(面積單位 )22用 N表示多邊形內(nèi)部格點， L 表示多邊形周界上的格點， S 表示多邊形面積，請同學(xué)們分析前幾個例題的格點數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： S NL1這個規(guī)律就是畢克定理2畢克定理若一個格點多邊形內(nèi)部有N 個格點，它的邊界上有L 個格點，L1 則它的面積為 S N2【例8】我們開始提到的“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？【解析】 圖形內(nèi)部格點數(shù)

10、N 9 ；圖形邊界上的格點數(shù) L20 ；根據(jù)畢克定理，則 S NL1 18(單位2面積 )【例9】右圖是一個 812 面積單位的圖形求矩形內(nèi)的箭形ABCDEFGH 的面積精彩文檔HG實用標(biāo)準(zhǔn)FAECBD【解析】 箭形 ABCDEFGH 的面積（81021） 48 （421） 21232246 ( 面積單位 ) 【例10】右圖中每個小正方形的面積都是1，那么圖中這只“狗”所占的面積是多少？【解析】 圖形內(nèi)部格點數(shù)為54，圖形周界上格點數(shù)為19所以圖形的面積為：54192162.5( 面積單位 )【鞏固】如圖，每一個小方格的面積都是1 平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？【解析】

11、方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式：( + L-1) 單位正方形面積，其中N為圖形內(nèi)格點數(shù)，NL 為圖形周界上格點數(shù)2有=4， =7，則用粗線圍成圖形的面積為：(4+ 7-1) 1=6 5( 平方厘米 )NL2方法二：如右上圖，先求出粗實線外格點內(nèi)的圖形的面積，有 =32=15， =22=1， =2 2=1， =22=1， =2 2=l ， =2 2=1，還有三個小正方形，所以粗實線外格點內(nèi)的圖形面積為1 5+l +1+1+1+1+3=9 5，而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9 5=6 5 平方厘米【例11】( “小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”競賽試題) 55 的

12、方格紙，小方格的面積是1 平方厘米，小方格的頂點稱為格點請你在圖上選7 個格點，要求其中任意3 個格點都不在一條直線上，并且使這7 個點用直線連接后所圍成的面積盡可能大那么，所圍圖形的面積是平方厘米【解析】 為了使這 7 個點圍成最大的面積，這7 個點應(yīng)盡量在正方形的邊或頂點上，如圖選取7 個點，圍成面積最大最大面積為550.5323.5( 平方厘米 ) 【例12】( “保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)”競賽試題) 第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽在7 月 21日開幕， 下面的圖形中，每一個小方格的面積是1，那么 7、2、1 三個數(shù)字所占的面積之和是多少？精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【解析】 要計算三個數(shù)字所

13、占的面積之和，可以先分別求出每個數(shù)字所占的面積顯然，圖中的三個數(shù)字都可以看作格點多邊形，根據(jù)畢克定理，可以很方便地求出每個數(shù)字所占的面積值得注意的是：數(shù)字“ 7”內(nèi)部有兩個格點，而數(shù)字“2”和“ 1”內(nèi)部都沒有格點7所占的面積為： 215218.5；2 所占的面積為： 242111；1 所占的面積為：17 2 1 7.5 所以，這三個數(shù)字所占的面積之和為：8.5 11 7.527【例13】( 第六屆“從小愛數(shù)學(xué)” 邀請賽試題 ) 兩個邊長相等的正方形各被分成25 個大小相同的小方格 現(xiàn)將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分(塊狀)面積為5.12cm2 ，右下角的陰影部分 ( 線狀

14、) 面積為 7.4cm2 ，求大正方形的面積【解析】 塊狀部分與線狀部分之間的部分稱為，則D與前者共14 個方格，與后者共17 個方格，因此每個D方格的面積是 （7.45.12）（17 14）192（ cm ）19cm2 25大正方形的面積為【例14】( 第六屆“華杯賽”試題) 圖中正六邊形ABCDEF的面積是54， AP=2PF， CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積APFAPFBEBEQQCDCD【解析】 如圖，將正六邊形ABCDEF等分為 54 個小正三角形根據(jù)平行四邊形對角線平分平行四邊形面積，PEF面積3， CDE 面積9，四邊形 ABQP面積上述三塊面積之和為 3 9 11 2

15、3因此，11陰影四邊形 CEPQ面積為 542331板塊二三角形格點問題所謂三角形格點多邊形是指：每相鄰三點成“”或“” ，所形成的三角形都是等邊三角形規(guī)定它的面積為 1，以這樣的點為頂點畫出的多邊形為三角形格點多邊形關(guān)于三角形格點多邊形的面積同樣有它的計算公式：如果用 S 表示面積， N表示圖形內(nèi)包含的格點數(shù)，L 表示圖形周界上的格點數(shù)，那么有S2NL2 ，就是格點多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點數(shù)的2 倍與周界上格點數(shù)的和減去2【例15】 如圖 ( a) ，有 21 個點，每相鄰三個點成“”或“” ，所形成的三角形都是等邊三角形計算三角形 ABC的面積精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)AAAAHEECCCC

16、FDF DRGBBB(c)B(a)(b)(d)【解析】 方法一：如圖 ( b) 所示，在ABC內(nèi)連接相鄰的三個點成DEF，再連接 DC、 EA、FB后是ABC可看成是由分別延長、 、EF邊一倍、一倍、二倍而成的，由等積變換不難得到DEFFD DESACD 2， S AEB3， S FBC4，所以 S123 410(面積單位 )方法二：如圖 ( c) 所示，作輔助線把圖、分別移拼到、的位置，這樣可以通過數(shù)小正三角形的方法，求出的面積為 10ABC方法三：如圖 ( d) 所示：作輔助線可知：平行四邊形ARBE中有 6 個小正三角形，而ABE的面積是平行四邊形 ARBE面積的一半，即S AEB3 ，

17、平行四邊形 ADCH中有 4 個小正三角形，而ADC的面積是平行四邊形ADCH面積的一半，即S ACD2 平行四邊形FBGC中有 8 個小正三角形，而 FBC的面積是平行四邊形FBGC的一半，即：S FBC4所以 S 12 34 10( 面積單位 )【鞏固】如圖，每相鄰三個點所形成的三角形都是面積為1 的等邊三角形，計算ABC的面積ACB【解析】因為N5；L3：所以 S2NL2253211(面積單位 )【例16】求下列格點多邊形的面積( 每相鄰三個點“”或“”成面積為1 的等邊三角形) 【解析】 L7 ； N7， S2NL2277219( 面積單位 ) ； L5 ； N8， S2NL22852

18、19( 面積單位 ) ； L6 ； N7， S2NL2276218( 面積單位 ) ； L7 ； N8， S2NL2287221( 面積單位 ) 【例17】把大正三角形每邊八等分，組成如右圖所示的三角形網(wǎng)如果大三角形的面積是128，求圖中粗線所圍成的三角形的面積【解析】 圖中有 1 3 57 9 11 13 15 64 ( 個 ) 小三角形，那么一個小三角形的面積是128 64 2，圖形內(nèi)部格點數(shù)為12，圖形周界上格點數(shù)為4；圖形的面積為：2 12 4 2 26 ( 面積單位 ) ，進而得圖形的面積為：26 252 【例18】如圖，如果每一個小三角形的面積是1 平方厘米，那么四邊形ABCD的面

19、積是多少平方厘米？精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【解析】 法一：正三角形方形格點陣中多邊形面積公式：(2 + -2)x單位正三角形面積，其中N為圖形內(nèi)格N L點數(shù)， L 為圖形周界上格點數(shù)有=9， =4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(9 2+4-2) 1=20( 平方厘米 ) NL法二：如下圖，我們先數(shù)出粗實線內(nèi)完整的小正三角形有10 個，而將不完整的小正三角形分成4 部分計算，其中部分對應(yīng)的平行四邊形面積為4，所以部分的面積為 2，、部分對應(yīng)的平行四邊形面積分別為 2， 8， 6，所以、部分的面積分別為1，4，3所以粗實線內(nèi)圖形的面積為 10+2+1+4+3=20( 平方厘米 ) 【例19】把同一個三角形的三條邊分別5等分、7等分 ( 如圖 1，圖 2) ，然后適當(dāng)連接這些等分點，便得到了若干個面積相等的小三角形已知圖1 中陰影部分面積是294 平方分米，那么圖2 中陰影部分的面積是 _平方分米【解析】 圖 1 中陰影部分占整個三角形面積的12 ，圖