離散傅里葉變換

1、離 散 傅 里 葉 變 換離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義，相對于DTFT他更便于用計(jì)算機(jī)處 理。但是，直至上個世紀(jì)六十年代，由于數(shù)字計(jì)算機(jī)的處理速度較低以及離散傅 里葉變換的計(jì)算量較大，離散傅里葉變換長期得不到真正的應(yīng)用，快速離散傅里 葉變換算法的提出，才得以顯現(xiàn)出離散傅里葉變換的強(qiáng)大功能，并被廣泛地應(yīng)用 于各種數(shù)字信號處理系統(tǒng)中。近年來，計(jì)算機(jī)的處理速率有了驚人的發(fā)展，同時 在數(shù)字信號處理領(lǐng)域出現(xiàn)了許多新的方法，但在許多應(yīng)用中始終無法替代離散傅 里葉變換及其快速算法。§ 3-1 引言一. DFT是重要的變換1. 分析有限長序列的有用工具。2. 在信號處理的理論上有重要意義。3

2、. 在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關(guān)都可以通DFT在計(jì)算機(jī)上 實(shí)現(xiàn)。二. DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁DFT要解決兩個問題：一是離散與量化，二是快速運(yùn)乎 傅氏變換 V 離散量花茂 dft(fftT信號處理§ 3-2傅氏變換的兒種可能形式一.連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換=r xg 叫 tJ00時域信號頻域信號連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對稱性:時域連續(xù)，則頻域非周期。反之亦然。二連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數(shù)|x（購 o）|*時域周期為Tp,頻域譜線間隔為2n/TP時域信號頻域信號連續(xù)的非周期的周期的離散的三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-序列的傅氏變換時帕X(

3、Ra)=£蜥亍）yf7 J離散的周期的非周期的連續(xù)的N(A< -I )O0(N-l)由上述分析可知，要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時域信號頻域信號離散的周期的周期的離散的DFT的簡單推演:在一.鏗期內(nèi)誼進(jìn)行如下變換小丁腫)唸沖CU)77=-oo再k 視作k綁|瓏， 5 X 6(杠二s sn :從°§31周期序列的DFS始的:這樣，對上式進(jìn)行抽樣，得:又由于所以求和可以在一個周期內(nèi)進(jìn)行，即這就是說，當(dāng)在k-0, 1,., N-1求和與在k=N,., 2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。的R次諧波系數(shù)的求法1. 預(yù)備知識所以2.同樣，當(dāng)亦即的表達(dá)

4、式時，門也為任意整數(shù)，則將式的兩端乘n=0到NT求和，M：N-_ 互通常將定標(biāo)因子1送散力幺丿而"髪示式中。n=0即:3.離散傅氏級數(shù)的習(xí)慣表示法通常用符號正變換：代入，則:反變換：4.的周期性與用Z變換的求法周期性:用Z變換的求對作Z變換,Jim Z可見，是z變換在單位圓上抽樣，抽樣點(diǎn)在單位圓上的N個等分點(diǎn)上，且第一個抽樣點(diǎn)為A=0。§ 3-4 DFS的性質(zhì)一. 線性如果 £伙）二DFS國則有和伙）二DFS辰2何其中，a, b為任意常數(shù)。二. 序列的移位如果 則有:證明: 令 i-nin,則 n=i-nio n=0 時,i=m; n二NT 時,i二NT+m所以*

5、和都是以川為周期的周期函數(shù)。三調(diào)制特性如果則有證明：時域乘以虛指數(shù)（）的加次幕，頻域搬移刃，調(diào)制特性。四.周期卷積和1. 如果則：2. 兩個周期序列的周期卷積過程（1）畫出呂伽）和壬2（加）的圖形;（2）將禺（加）翻摺，得到可計(jì)算出:左 1 (m)(3)將右刪位、得到AX2(l_m)可計(jì)算出：譏1)=若(加)七(1-加)m=0=lxl+lxO+lxO+lxO+Oxl+Oxl召O）壬2 （加）忌（1一加）°計(jì)算區(qū)11L（4）將再右移一位、得到可計(jì)算出：（5）以此類推，孑）3. 頻域卷積定理如果，則§ 3-5DFT有限長序列的離散頻域表示一預(yù)備知識1. 余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式如果，m為

6、整數(shù)；則有：此運(yùn)算符表示n被N除，商為m,余數(shù)為二. 有限長序列x(n)和周期序列的關(guān)系周期序列是有限長序列Jr(n)的周期延拓。x(n)x(n)=0, OnN-l其他n有限長序列*n)是周期序列的主值序列。三周期序列與有限長序列x(k)的關(guān)系同樣，周期序列是有限長序列x(k)的周期延拓。而有限長序列尤如是周期序列的主值序列。四.從DFS到DFT從上式可知，DFS, IDFS的求和只限定在n二0到n=N-l,及k二0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。因此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。N-1X 伙)=DFTx(n)=x(n)Wk77=0x(n) = IDFTX 伙)=丄藝N &#

7、163;=o或者：X(k) = X(k)R“伙)兀()=左()/?甘(防一.線性DFT的性質(zhì)N_ X(k)wnk k=01 兩序列都是N點(diǎn)時如果 DFTxx (n)= Xk) 則有： £>FTx2(h)= X?伙)2. 坷(比) 和x2(n) 的長度N1和N2不等時，選擇為變換長度，短者進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。二.序列的圓周移位1定義心)一個有限長序列的圓周移位定義為這里包括三層意思：先將x('J)進(jìn)行周期延拓 再進(jìn)行移位 最后取主值序列:x(n + 2) = x(n + 2)“左移22. 圓周位移的含義由于我們?nèi)≈髦敌蛄?，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此

8、區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)閱-端進(jìn)來。如果把排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于 兀伽上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移 位。當(dāng)圍著圓周觀察兒圈時，看到就是周期序列：。三、共輒對稱性1. 周期序列共輒對稱分量與共輒反對稱分量周期為N的周期序列的共轆對稱分量與共軌反對稱分量分別定義為同樣，有2. 有限長序列的圓周共軌對稱分量與圓周共軌反對稱分量有限長序列的圓周共軌對稱分量與圓周共軌反對稱分量分別定義為由于所以這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。3. 共軌對稱特性之一證明：4. 共軌對稱特性之二證明：可知：5. 共軌對稱特性之三證明：6. 共軌對稱特性之四證明：7. 共軌

9、對稱特性之五、六(k)圓周共轆對稱分量與圓周共軌反對稱分量的對稱性9.實(shí)、虛序列的對稱特性當(dāng)x(n)為實(shí)序列時，根據(jù)特性之三，則X(k)=Xe(k) Xe/) = XepN-k)NRN 伙) 又據(jù)的對稱性：當(dāng)x(n)為純虛序列時，根據(jù)特性之四，則X(k)=Xop(k)又據(jù)尤如倒的對稱性:四. 圓周卷積和1. 時域卷積定理設(shè)和均為長度為N的有限長序列，且DFTx2 （） 伙）五. 有限長序列的線性卷積與圓周卷積1. 線性卷積的長度為的長度為它們線性卷積為的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間。2. 用圓周卷積計(jì)算線性卷積圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列。兀15）的長度

10、哪1 ，勺） 的長度，先構(gòu)造長度均為L長的序列，即將補(bǔ)零點(diǎn);然后再對它們進(jìn)行周期延拓，即所以得到周期卷積：§ 3-7 抽樣Z變換一頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1. 兩種抽樣時域抽樣:對一個頻帶有限的信號，根據(jù)抽樣定理對其進(jìn)行抽樣，所得抽樣信號的頻譜是 原帶限信號頻譜的周期延拓，因此，完全可以由抽樣信號恢復(fù)原信號。頻域抽樣：對一有限序列(時間有限序列)進(jìn)行DFT所得x如就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣。2. 由頻域抽樣恢復(fù)序列一個絕對可和的非周期序列乳，(勿的z變換為由于X%丿絕對可和，故其傅氏變換存在且連續(xù)，也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣，對無(Z)在單

11、位圓上N等份抽樣,就得到X伙)3. 頻域抽樣不失真的條件當(dāng)xN丿不是有限長時，無法周期延拓；當(dāng)x(n)為長度M,只有NM時，才能不失真的恢復(fù)信號，即§ 3-8 利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近一.用DFT計(jì)算連續(xù)時間信號的傅氏變換可能造成的誤差1. 混疊現(xiàn)象J s 2 九為避免混疊，由抽樣定理可知，須滿足其中，為抽樣頻率；為信號的最高頻率分量；或者其中,T為抽樣間隔。2. 頻譜泄漏在實(shí)際應(yīng)用中，通常將所觀測的信號限制在一定的時間間隔內(nèi)，也就 是說，在時域?qū)π盘栠M(jìn)行截?cái)嗖僮鳎蚍Q作加時間窗，亦即用時間窗函數(shù)乘以信號, 由卷積定理可知，時域相乘，頻域?yàn)榫矸e，這就造成拖尾現(xiàn)象，稱之為頻譜泄漏。3. 柵欄效應(yīng)用DFT計(jì)算頻譜時，只是知道為頻率的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個譜線之間的情況就不知道，這相當(dāng)通過一個柵欄觀察 景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。補(bǔ)零點(diǎn)加大周期 ，可使F變小來提高辨力，以 減少柵欄效應(yīng)。二.DFT與連續(xù)時間信號傅氏變換間相對數(shù)值的確定1.連續(xù)時間非周期信號傅氏變換對2. 連續(xù)時間周期信號傅氏級數(shù)變換對變換時：4. 用DFT計(jì)算非周期信號的傅氏變換用DFT計(jì)算所得的頻譜分量乘