數(shù)列求和方法總結(jié)

1、數(shù)列的求和、教學(xué)目標(biāo)：1.熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式;2 ,能運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、拆項(xiàng)相消等重要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求和運(yùn)算;3 ,熟記一些常用的數(shù)列的和的公式.、教學(xué)重點(diǎn)：特殊數(shù)列求和的方法.三、教學(xué)過(guò)程:(一)主要知識(shí):5k2七221.直接法：即直接用等差、 等比數(shù)列的求和公式求和。(1)等差數(shù)列的求和公式:n(a1an)&20d2(2)等比數(shù)列的求和公式Snna(q 1)a1(1 qn)(q 1)(切記：公比含字母時(shí)一定要討論)2.公式法:nk2k 1122232n(n 1)(2 n 1)3.錯(cuò)位相減法:4.裂項(xiàng)相消法:常見(jiàn)拆項(xiàng)公式:nk3k 1比如(2n 1)(2n 1

2、)1323332n(n 1)2差，bn等比，求ab1a2b2anbn的和.把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。n(n 1) n2(2n 1n12n 15.分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng),一 (一)n(n 2)2 n n 2n! (n 1)! n!使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。6.合并求和法：如求1002 992 982 97222 12的和。7 .倒序相加法:8 .其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等（二）主要方法:求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式;9 .求和過(guò)程中注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用;10 .轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；（三）例題分析：例 1,求和： Sn 1 1

3、1 11111 1n個(gè) Sn (X 1)2 (X2 口 )2(Xn A)2XXX求數(shù)列1, 3+4, 5+6+7 , 7+8+9+10 ,前n項(xiàng)和Sn思路分析：通過(guò)分組，直接用公式求和解： ak 11 1 1 10 102k個(gè)10k 1(10k 1)Sn 1(10 1) (102 1)(10n 1) 1(10 102991/0(10n1)、10n 1 9n 10-n998110n) n Sn (X21c、/ 41C、22)(X-42)XX2n(X2), 242n111、(X X X ) ( n) 2nX X X1 時(shí)，Sn2 / 2nX (xX2 11)X2(X2n 1)X 2 12n2n2n

4、 2(x 1)(x1)2n / 2小X (x1)2n(2)當(dāng) x1 時(shí)，Sn 4nak(2k1)2k (2k 1)(2k 1) (k 1)k(2k 1) (3k 2)2Snaa?an522-(12223n ) -(125n) 2n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)16n(n 1)(5n 2)總結(jié)：運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比q1或q 1討論2.錯(cuò)位相減法求和2例2 .已知數(shù)列1,3a,5a ,(2n1)an 1(a 0),求前n項(xiàng)和。思路分析：已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1, 3, 5,2n-1oa ,a,a應(yīng)項(xiàng)積,可用錯(cuò)位相減法求和。解:SnaSn1 3a2a 3a5a25a3(2

5、n(2nn 11)a1n1)a22 : (1a)Sn2a2a2 2a32an1 (2n1)a當(dāng)a1時(shí),(1a)Sn2a(1 an 1)(1 a)2(2n1)nSn1 a (2n1)an(2n 1)an 1當(dāng)a 1時(shí),Sn3.裂項(xiàng)相消法求和(1a)2例3 .求和Sn之1 3423 5(2n)2(2n 1)(2n1)思路分析：分式求和可用裂項(xiàng)相消法求和解:ak(2k)2(2k 1)( 2k(2k)2 1 11)(2k1)(2k 1)(2 k1)(2k 1)2k)Snaa2an2(1 3) (315)，一，、1練習(xí)：求Sn一a22a4答案：Sn a1(2n 1n(n 1)2 a(an 1)12n 1

6、)(an(a 1)n2a (a 1)1)12(1(a 1)12n 1)2n(n 1)2n 14 .倒序相加法求和例 4 求證：Cn0 3C： 5C：(2n 1)C： (n 1)2n思路分析：由cm cnm可用倒序相加法求和。證：令 Sn Cn 3C1 5C2(2n 1)Cn (1)rnr q(De八C n(OndCn 1AC(a an)n2f(1) a a2 a3an n22 na1 an 2nf( 1)a a2 a3an 1 an n 匚d nd 22QC1C°(OCmCnmSn(2n1 )C n(2n1 )C n5Cn3CnC n(2)C nC n(1) (2)有：2Sn (2n

7、 2)Cn (2n 2)C： (2n 2)C：(2n 2)CnnSn (n 1)C0 Cn C；Cn1 (n 1) 2n 等式成立5 .其它求和方法還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5.已知數(shù)列 an ,an 2n ( 1)n,求 Sn。思路分析：an2n 2(1)n,通過(guò)分組，對(duì)n分奇偶討論求和。2m解：an 2n 2( 1)n,若 n 2m,則Sn S2m2(1 2 32m) 2( 1)kk 1Sn2(1 2 32m)(2m 1)2m n(n 1)若n 2m 1,則 Sn S2m1 S2m a2m (2m 1)2m 22m ( 1)2m(2m 1)2m 2(2m 1).2224m 2m

8、 2 (n 1) (n 1) 2 n n 2、 n(n 1) (n為正偶數(shù))2預(yù)備：已知f(x) ax a?xn n2 n 2 (n為正奇數(shù))anxn,且a1,a2,a3, an成等差數(shù)列，n為正偶nn.21又f(1) n2,f( 1) n ,試比較f (1)與3的大小。aiai(n 1)d 2nd 2f(x) x 3x2 5x3ai 1 an 2n 1n111 O 1 .in(2n 1)xn f(-) 3()2 5()3(2n 1)(一)n22222111c 可求得 f(1) 3 (-)n 2 (2n 1)(，)n ,n 為正偶數(shù), 222（四）鞏固練習(xí):1 .求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn :，

9、_ 一 _ 5 n(1) 5, 55, 555, 5555,，-(10 1),；(2)9111,1,L ,L ;1 3 2 4 3 5 n(n 2)10 Qn(3) an;(4) a,2a ,3a ,L ,na ,L ；.n 、，n 1. 2sin 11 3,2 4,3 5,L ,n(n2 c°2 c°sin 2 sin 3 L L2),L ;,2 osin 89 .(6)解：（1) Sn 5 55 555 L6 7冬55L 55一(9 ll Ill I6匹8L 99L 9)Sn5 |(10l101n(n 2)112(13)1)1027(2 n4)2(1021031)(10

10、3n101)nL(10n 1)50 n . 5 (101) -n .819(1)3 5(-n111n1)2(1 2(3) van.n n 1( <n 、n 1)(、n 1- n)S I 一 y1- L = n 2 <1- 32. n 1 - n(-2 1) (.3 、2) L(y/n_1 Vn) Jn 1 1 .(4) Sn a 2a2 3a3 L nan,當(dāng) a 1時(shí)，0 1 2 3 n n(n 1), 2當(dāng) a 1 時(shí)，Sn a 2a2 3a3 nan ,234一n 1aSn a 2a 3a na兩式相減得2(1 a)Sn a anna一n 2n 1_na (n 1)a a,S

11、n7.72(1 a)2 n(n 2) n 2n ,.原式(12 22 32 n2) 2 (12 3 n) n(n 162n 7) (6)設(shè) S sin21o sin22o sin2 3o L L sin289o, 2 o 2 o 2 一。2 o又 S sin2 89sin2 88 sin287L L sin 2 1 ,2S 89, S 8922.已知數(shù)列an的通項(xiàng)an6n 52n（n為奇數(shù)）（n為偶數(shù)）,求其前n項(xiàng)和Sn.解：奇數(shù)項(xiàng)組成以a1 1為首項(xiàng)，公差為12的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)組成以a24為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)歹U； n 1 一 ,一， n 1 一當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有 項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有 項(xiàng),22n 1Sn2-(1 6n 5) 4(1 42 )(n 1)(3n