立體幾何的大的題目練習(xí)的題目問題詳解

1、立體幾何大題專練1如圖，已知 P從矩形ABCD所在平面，M N分別為AB PC的中點(diǎn);(1) 求證：MN/平面PAD(2) 若/ PDA=45，求證：MNL平面 PCD20.證明取PD的中點(diǎn)E,連AE.NE,N是PC的中點(diǎn).代沖Eg yCD .Eb* E3鼻 Jp又四邊形A BCD為矩形且M是HA中點(diǎn),A jCDXMA .二 NEAMA,即四邊形MAEN是平行四邊形，牟:.MN#AE .5由于 AEU平面 PAD,MN(Z 面 PAD,：MN#平面PAD,f2)V PA 丄平面 ABCD*ZPDA=45篤化APAD艇等腰三角形”故AE丄PD由題意.CD丄ADtCDlPA,ACD丄平面PAD*

2、心從而AE丄CD, if:.AE丄平面PCD*故MN丄平面PCD , I2f21.解:1設(shè)圓V的方程為(3i +(yb)=嚴(yán)pSa + b Of2 (本小題滿分12分) 如圖，在三棱錐 P-ABC中，E,F分別為AC,BC的中點(diǎn).(1) 求證：EF /平面PAB ;(2) 若平面PAC _平面ABC，且PA = PC , 求證：平面PEF _平面PBC .(1) 證明：連結(jié) EF ,，- E、F分別為AC、BC的中點(diǎn),.EF / AB. 2 分又EF二平面PAB , AB二平面PAB ,EF/平面PAB 5分(2) ； PA 二 PC , E 為 AC 的中點(diǎn)，.PE _ AC 6 分又丁平面

3、PAC _平面ABCPE _面 ABC 8分.PE _ BC 9分又因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，.EF / ABT . ABC = 90,BC _ EF 10分v EF n PE = E.BC 面 PEF 11分又：BC 面PBC.面 PBC -面 PEF 12分3.如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1G中，AC=BC點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。(1) 求證：BC平面CAD;(2) 求證：平面 CAD丄平面 AAB1B。4 .已知矩形 ABCD所在平面外一點(diǎn) P, PA丄平面ABCD E、F分別是AB PC的中點(diǎn).(1) 求證：EF/平面 PAD(2) 求證：EF丄CDD(3) 若/ PDA= 45，求EF與平面

4、ABCD所成的角的大小.5. (本小題滿分12分)如圖，PA_矩形ABCD所在的平面， M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN/ 平面 PAD ； (2)求證：MN _ CD ；6. 如圖，正方形ABCD所在的平面與三角形A DE所在平面互相垂直， AAEE是等腰直角三角形，且AE=E D證：(1) FM / 平面 ECD ;(2 )求二面角E-BD A的正切值.(1 )證明：取 AD的中點(diǎn) N,連結(jié) FN,M汕則MN/ ED, FN/ CD平面 FMIN/平面 ECD./ MF在平面FMN內(nèi), FM /平面ECD5分(2)連接EN, / AE=ED N為AD的中點(diǎn)， EN 丄 AD.

5、又面 ADEL面 ABCD - EN!面 ABCD.作NP丄BD,連接EP,貝U EP丄BD, / EPN即二面角E-BD-A的平面角，設(shè)AD=a, / ABCD為正方形，ADE為等腰三角形，設(shè)線段BC AE的中點(diǎn)分別為F、M，求EN=la,NP=/a.24 tan / EPN=. 2 10分7. 如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,其中有一個(gè)高為X cm的內(nèi)接圓柱(1)試用X表示圓柱的側(cè)面積;(2 )當(dāng)X為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大19. ( 1)解：設(shè)所求的圓柱的底面半徑為 rr6-x 卄x則有,即r =2.263x2応 2二 S圓柱側(cè)=2二rx=2二(2 )x=4二xx25 分3

6、3(2)由(1)知當(dāng)x -2兀2(一3)=3時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)有最大值為所以當(dāng)圓柱的高為3cm時(shí)，它的側(cè)面積最大為 6 cm10分& (10 分)如圖，在三棱錐P-ABC中，PAB是等邊三角形，/ PAC2 PBC=90 o(1)證明：AB丄PC(2)若PC =4，且平面PAC丄平面PBC，求三棱錐P-ABC體積.解：(1) 因?yàn)?PAB是等邊三角形， PAC =/PBC =90所以 Rt PBC 二 Rt PAC ,可得 AC =BC。如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD , CD ,則 PD _ AB , CD _ AB ,所以AB _平面PDC ,所以AB _ PC5分(2) 作BE PC，垂足為

7、E ,連結(jié)AE .因?yàn)?RtPBC 三 RtPAC ,所以 AE _ PC , AE =BE .由已知，平面PAC _平面PBC，故 AEB =90 .因?yàn)镽tAAEB = RtPEB，所以 AEB- PEB- CEB都是等腰直角三角形。由已知PC = 4 ,得AE二BE = 2， AEB的面積S = 2 .因?yàn)镻C 平面AEB ,18所以三角錐P-ABC的體積v S PC10分339.(本題滿分12分)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABC為平行四邊形，/ ADC= 45, AD= AC= 1, O為 AC的中點(diǎn)，PCL平面 ABCD PO= 2, M為 PD的中點(diǎn).(1) 證明PB/平

8、面ACM(2) 證明ADL平面PAC(3) 求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.解析：(1)證明：如圖，連接 BD MO在平行四邊形 ABCD，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又M為PD的中點(diǎn)，所以PB/ MO因?yàn)镻B?平面ACMMO平面ACM所以PB/平面 ACM(2)證明：因?yàn)? ADC= 45,且 AD= AC= 1,所以/ DAC= 90,即卩 ADL AC 又 PCL平面ABCD AD?平面ABCD所以POL AD而ACT PO= O,所以ADL平面PAC1如圖，取 DO中點(diǎn)N,連接MN AN因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以 MN PQ且MNk空戸1,由PQL平面 ABCD得 M

9、NL平面 ABCD所以/ MAN是直線 AM與平面 ABCC所成的角.在 Rt1 DAQ中, AD= 1, AQ=,DQ=從而 AN= 1dq=.在 Rt ANM中,MN_ 1An=545即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為10 (本小題滿分12分)如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱 ABC - ABG中,AC =3 , AB =5 , BC =4 , AA =4，點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn).(I)求證：AC _ BC1 ；(II )求證：AG 平面 CDB1；(III )求三棱錐 ABjCD的體積.證明：（I）在厶 ABC中，T AC = 3 , AB = 5 , BC = 4 ,ABC為直角

10、三角形，二 AC _ BC , 1分又 CG 丄平面 ABC . CG 丄 AC , CGc BC=C , .AC _ 平面 BCG，二 AC _ BC1.(II )設(shè)BC與BC,交于點(diǎn)E則E為BG的中點(diǎn)，連結(jié) DE則在 ABC1 中，DE/AG，又 DE 面CDB1,.AG / 平面 BiCD .(III )在厶ABC中，過C作CF _AB , F為垂足，平面 ABBjA _平面ABC.CF_ 平面 ABB1A，而AB 512510分VA _B1CD =Vc出DBt，DA BABAAi = 5 4= 10,11分12分11.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，平面PADL平面

11、 ABCD AB=AD,Z BAD=60 ,E、F分別是 AP、AD的中點(diǎn)求下:(I)直線EF平面PCD(H)平面 BEFL平面 PAD.盈.(本小題滿分吃分證明：(I )往朋0中，因?yàn)镚F分別為APtAD的中 又因?yàn)榘貴C平面切旳U平面吃6 所以直線刖平面吃口(U )連結(jié)0氏因?yàn)槠瑓蝺写ㄚ噗痰? =60* ,P所以3 如為正三角形，因?yàn)镕是沖。的中點(diǎn)” 所以BELAD,因?yàn)槠矫姹A平面ABCO,EFU平面沖死6平面PAD Ci平面ABCOAO 所以RF丄平面松0又因?yàn)锽FC平面8幾所以平ffi SEFL平面刊0詣分10分”分12.(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面A

12、BCD是正方形，側(cè)棱PD _底面ABCD, PD =CD, E是PC的中點(diǎn)，作EF PB交PB于點(diǎn)F。(I)求證：PA/平面EDB ；(II )求證：PB _平面EFD ;(III )求二面角PBC -D的大小。PA 二 PB 二 PC 二 PD 二 53分I連結(jié)ACtBD交于0點(diǎn)，因?yàn)檎叫蜛BCD,所以O(shè)為AC中點(diǎn)，又E為FC中點(diǎn)*連結(jié)OE則OE/PA,又PA平面ED艮OEU平面EDB,所以 PA平面 EDE* * . * m “ 4()在PDC申P(guān)D=C：D*E是PC的中點(diǎn)*所以DE丄FG又丄DE,所以DE丄平面PEG所UIDE丄P艮又EF丄PB.EF(DE=E1 所以丄平面EFD &分

13、(ffl)因?yàn)?FD丄面 AECD 于 D, PCCI 面 ABCD 于 C, BCC ABCDt 丄CD,就以 HE丄PC*斯以ZPCD為二面角P-BC-D的平面?zhèn)}.在RtAFDC中.尸D=CD所以NPCD=4F 12分A J T 禮主 JL &L 劇址 _1LPT 二13.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABC D是邊長(zhǎng)為2的正方形，(1) 求二面角P 一 AB C的度數(shù)(2) 若M是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，求異面直線21-(本小題滿分12分)解：1)取ABCD中點(diǎn)E.F +連接FEF、EF 丫四邊形ABCD為正方形*AEFJ_ABtEF= AD = 2tTFA=P乩二PE丄A

14、氏AZPEF為二面角P-AB-C的平面角* 在RiAPAE中PE= Jp斗-爭(zhēng)=5/(75)2-1e =N同理PF=2.:、PE= FF=EF*即 PEF為等邊三角形* :上PEF= 60代二面角P ABC的大小為6化 6分力連接AC.BD交與點(diǎn)0,連接0WF6T四邊形ABCD為正方形， 為呂D中點(diǎn)且BD丄AC.又是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，皿專陽=牛-Z0MS或其補(bǔ)角即為PA和所成角+: PD= PB t/. ED丄PO. 又 POnAC=O,在RtBMQ中 ms BO V2 2/W二異面直線PA與BM所成角的正切值為迫2* 12分-BD丄平面PACr又TOMU平面PAC. ABD丄OM*14. (本

15、小題滿分12分)若圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABC為正方形，PD丄平面ABCD EC/PD，且PD=2EC(1) 求證：BE/平面PDA(2) 若N為線段PB的中點(diǎn)，求證：EN_平面PDB(1) 證明：EC/ PD/. EC/面 PAD；同理 BC/面 PAD 面 BEC/面 PAD； / BE/面 PAD(2) 證明：取 BD的中點(diǎn)0,連NO CQ易知，CQL BQ 又t CQL PD; CQL面PBD15. (本小題滿分12分)如圖，在多面體 ABCDE中，底面 ABC為等腰直角三角形，且 面BCDE是菱形，Q點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，EQ丄平面ABC(1 )求異直線AC和 BE所成角的大?。?ACB = 90，側(cè)(2)求平面ABE與平面ADE所成銳二面角的余弦值。國(guó).解：（= KO 丄平面 A