高考復(fù)習(xí)教學(xué)案：6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(人教A版)

1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和考綱要求1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.基礎(chǔ)知識1.等差數(shù)列的有關(guān)概念第5頁共4頁(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于字母,通常用,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的表示，定義的表達(dá)式為 .等差中項(xiàng)：如果a, A, b成等差數(shù)列，那么叫做a與b的等差中項(xiàng)且通項(xiàng)公式：如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,那么通項(xiàng)公式為an=2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和已知條件首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an首項(xiàng)a1和公差d

2、選用公式S_ n(a1 + an)&= na, + 嚀3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an= am+ (n- m)d(n, m N*).若 an為等差數(shù)列，且 k + I = m+ n(k, l, m, n N ),則，公差為若an是等差數(shù)列，公差為 d,則a2n是右an , bn是等差數(shù)列，則 p an + qbn是的等差(5)若 an是等差數(shù)列，則ak, ak+m, ak+ 2m,(k, m N )組成公差為數(shù)列.Sn ,翁5 , S3n S2n組成新的(7)若項(xiàng)數(shù)為2n(n N ),貝U S2n = n(an + a. + 1)(an,為+1為中間兩項(xiàng))，且S偶一S奇=S奇a

3、nS偶an+1若項(xiàng)數(shù)為2n 1(n N*)，貝y S2n-1 = (2n 1)an(an為中間項(xiàng))，且S奇一S偶= 更=S禺(8)關(guān)于等差數(shù)列的規(guī)律等差數(shù)列an中，若 an= m, am= n(m n),貝U am+n= 0. 等差數(shù)列an中，若 Sn= m, Sm= n(m n),貝U Sm + n= (m + n). 等差數(shù)列 an中，若Sn= Sm(mM n)，貝U Sm+ n= 0.若an與bn均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn與S n,則.bm=SIL_LDm S 2m1n?4.等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對于n 2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證 an an-1為同一常數(shù);等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證

4、2an-1= an+ an-2(n3, n N*)都成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證 an= pn + q；2前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證 Sn= An +Bn.提醒：等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法,而對于通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適合在選擇題中簡單判斷.典型例題、等差數(shù)列的判定與證明【例1 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an= pn2+qn(p, q R，且p, q為常數(shù)).(1)當(dāng)P和q滿足什么條件時，數(shù)列 an是等差數(shù)列?求證：對任意實(shí)數(shù) P和q,數(shù)列an+1 an是等差數(shù)列.二、等差數(shù)列的基本量的計算【例2】 設(shè)ai, d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為ai,公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SsS+

5、 15 = 0.(1)若 S5= 5，求 SB 及 a1 ；(2)求d的取值范圍.三、等差數(shù)列性質(zhì)及最值問題【例3 1(1)設(shè)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和為Sn,已知前6項(xiàng)和為36, Sn= 324,最后6項(xiàng)的和為180(n 6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n及89+ a10;等差數(shù)列an , bn的前n項(xiàng)和分別為Sn, Tn,且Sn _ 3n 1Tn 2n + 3【例3 2 已知an為等差數(shù)列，若 囂V 1,且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n等于多少?方法提煉n項(xiàng)和之間的關(guān)系1.解決等差數(shù)列問題，熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，尋找項(xiàng)與前 是解題關(guān)鍵.2.在等差數(shù)列an中，有關(guān)Sn的最值問題:（1）a1 0, d 0時，滿足fm 0, 的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm.（am + 1 w 0當(dāng)a10時，滿足 0，盼0, J，菁，說中最大的是A.寶a15B喪a8a9d9a1證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列.4.在數(shù)列an中，a1= 1, an+1= 2an + 2n