立體幾何的綜合問題

1、9.13立體幾何的綜合問題【教學(xué)目標】1、 初步掌握“立幾”中“探索性”“發(fā)散性”等問題的解法2、提高立體幾何綜合運用能力，能正確地分析出幾何體中基本元素及其相互關(guān)系，能對圖 形進行分解、組合和變形?！军c擊雙基】1若RtA ABC的斜邊BC在平面a內(nèi)，頂點A在a外，則厶ABC在a上的射影是 A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D. 一條線段或一鈍角三角形解析：當(dāng)平面ABC丄a時，為一條線段，結(jié)合選擇肢，知選D.答案：D2長方體ACi的長、寬、高分別為 3、2、1，從A到Ci沿長方體的表面的最短距離為C1D1A1A.1+3B.2+ .10BC.32解析：求表面上最短距離常把圖形展成平面圖形

2、答案：C3設(shè)長方體的對角線長為 4，過每個頂點的三條棱中總有兩條棱與對角線的夾角為60 °,則長方體的體積是A.27、2B.8 2D.16解析：先求出長方體的兩條棱長為2、2,設(shè)第三條棱長為X,由22+22+x2=42 x=2 2 , V=2 X 2 X 2 .2 =8.2.答案：B4棱長為a的正方體的各個頂點都在一個球面上，則這個球的體積是解析：勿知球的直徑 2R= 3 a.所以R=a.所以V=R3 =a .232答案： 3n 3a325已知 ABC 的頂點坐標為 A (1, 1, 1 )、B (2, 2, 2)、C (3, 2, 4),則厶 ABC 的面積是解析:AB= (1,

3、1, 1),AC = ( 2, 1, 3), cos AB ,AC >6= /42314 = 77 sinA= . SABC = | AB | AC |sinA= - 3 14 2 2答案:【典例剖析】【例1】在直角坐標系0 xyz 中,0A= (0, 1, 0),AB= (1, 0, 0),0C= (2, 0,0), OS(0 , 0 , 1)(1) 求SC與OB的夾角a的大??；(2) 設(shè) n=( 1, p , q),且 n 丄平面 SBC ,求 n；(3) 求OA與平面SBC的夾角；(4) 求點O到平面SBC的距離；(5) 求異面直線 SC與OB間的距離.解：(1)如圖，SC = O

4、C OS= (2 , 0, 1), OB= OA+ AB = (1, 1, 0),則|SC|=.2202( 1)2 = .5 , |OB|= ,121202 = . 2 .L BCOS a =cos SC , OB >SC OBx 20 0. 10J0”"-=-=, a =arccos.|SC|OB| .5.255_tn SC=0 ,(2)v n丄平面SBC , n丄SC且n丄BC ,即<、n BC =0./ SC= ( 2 , 0 ,1), BC= OC OB= (1, 1, 0),2 q=0,p=1,1 p=0.|q=2 ,即 n = ( 1, 1,2).(3)OA與

5、平面SBC所成的角B和OA與平面SBC的法線所夾角互余，故可先求OA與 n所成的角.OA= (0 , 1, 0), |OA|=1, |n|= 12 12 22 = . 6 .OA n 1,6二 cos OA ,|OA| n| 1 66即OA ,n > =arccos 蘭 e =衛(wèi)-arccos6 2 6(4)點O到平面SBC的距離即為OC在n上的投影的絕對值,/ d=| OCA|= 2 = _£|n |63(5) OC在異面直線 SC、OB的公垂線方向上的投影的絕對值即為兩條異面直線間的 距離，故先求與 SC、OB均垂直的向量 m.設(shè) m= (x, y, 1), m±

6、 SC且 m丄 OB ,則 m SC = 0,且 m OB =0.2x-仁0,x+y=0,- m= ( 1 ,21, 1), d' =|OC 匹 |= 2 =蘭2|m|.63特別提示借助于平面的法向量， 可以求斜線與平面所成的角，求點到平面的距離， 類似地可以求異面直線間的距離.本題選題的目的是復(fù)習(xí)如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、 求距離.【例2】 如圖，已知一個等腰三角形 ABC的頂角B=120°,過AC的一個平面a與頂 點B的距離為1,根據(jù)已知條件，你能求出AB在平面a上的射影ABi的長嗎？如果不能，那 么需要增加什么條件，可以使 ABi=2?解：在條件“等腰

7、ABC的頂角B=120° ”下， ABC是不能唯一確定的，這樣線段 ABi也是不能確定的，需要增加下列條件之一，可使ABi=2 :陽=2 :CB= . 5或AB= 5 ；直線AB與平面“所成的角/ BABPCSinF ；弋、:157/ ABB=arctan2;/ BAC=arccos;/ ABq= n arccos : AC=、15 : B481 J5到AC的距離為；B到AC的距離為：二面角BAC B1為arctan2等等.2 2思考討論本題是一個開放型題目，做這類題的思維是逆向的，即若AB1=2，那么能夠推出什么結(jié)果，再回過來考慮根據(jù)這一結(jié)果能否推出AB1=2.【例3】(2004年

8、春季北京)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形,SD垂直于底面 ABCD , SB= 3 ,SB(1)求證：BC丄SC;(2) 求面ASD與面BSC所成二面角的大??；(3) 設(shè)棱SA的中點為M,求異面直線 DM與SB所成角的大小.剖析：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力(1) 證法一：底面 ABCD是正方形， BC丄 DC. v SD丄底面 ABCD , DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂線定理得 BC丄SC.證法二：底面 ABCD是正方形， BC丄 DC. v SD丄底面 ABCD , SD丄 BC.又 DCA SD=D ,

9、 BC丄平面 SDC. BC丄 SC.SCCi(2) 解法一：v SD丄底面ABCD，且ABCD為正方形，CB可以把四棱錐 S ABCD補形為長方體 AiBiCiS ABCD，如上圖，面 ASD與面BSC 所成的二面角就是面 ADSAi與面BCSAi所成的二面角，v SC丄BC, BC / AiS,. SC丄AiS.又SD丄AiS,./ CSD為所求二面角的平面角.在Rt SCB中，由勾股定理得 SC= . 2 ,在Rt SDC中，由勾股定理得 SD=i. / CSD=45 ° ,即面ASD與面BSC所成的二面角為 45° .解法二：如下圖，過點 S作直線I / AD , I在面ASD上.Av底面ABCD為正方形，丨/ AD / BC. I在面BSC上. I為面ASD與面BSC的交線./ SD丄 AD , BC丄 SC,. I 丄 SD, l 丄 SC./ CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角(以下同解法一).(3)解法一：如上圖，T SD=AD=1，/ SDA=90° SDA是等腰直角三角形.又M是斜邊SA的中點， DM 丄 SA./ BA丄 AD , BA丄 SD, AD n SD=D, BA丄面ASD, SA是SB在面ASD上的射影.由三垂線定理得 DM丄SB.異面直線DM與SB所成的角為90° .解法二：如下圖，取