第二類(lèi)曲線積分地計(jì)算

1、作者：鐘家偉第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算指導(dǎo)老師：張偉偉摘要:本文結(jié)合第二類(lèi)曲線積分的背景用定義的方法進(jìn)行第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算，重點(diǎn)是利用對(duì)稱(chēng)性, 參數(shù)方程，格林公式斯托克斯公式以及兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系對(duì)第二類(lèi)曲線積分進(jìn)行計(jì)算。關(guān)鍵詞:第二類(lèi)曲線積分二重積分參數(shù)積分對(duì)稱(chēng)性原理斯托克斯公式第二類(lèi)曲面積分1 引言本文介紹第二類(lèi)曲線積分的定義以及與兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系，重點(diǎn)介紹若干種主要的計(jì)算方法。1.1 第二類(lèi)曲線積分的概念介紹了第二類(lèi)曲線積分的物理學(xué)背景，平面和空間第二類(lèi)曲線積分的定義以及對(duì)坐標(biāo)的第二類(lèi)曲線積分的定義。1.2第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算方法介紹了關(guān)于第二類(lèi)曲線積分的參數(shù)計(jì)算法，利用格林公式和

2、斯托克斯公式計(jì)算的方法以及利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化或計(jì)算的方法。2.1第二類(lèi)曲線積分的物理學(xué)背景力場(chǎng)F (x, y)二P(x, y) , Q(x,y)沿平面曲線L從點(diǎn)a到點(diǎn)B所作的功一質(zhì)點(diǎn)受變力F x, y的作用沿平面曲線 L運(yùn)動(dòng),當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從L之一端點(diǎn)A移動(dòng)到另一端 B時(shí), 求力F x, y所做功W.大家知道，如果質(zhì)點(diǎn)受常力 F的作用從A沿直線運(yùn)動(dòng)到B,那末這個(gè)常力F所做功為W= F AB .現(xiàn)在的問(wèn)題是質(zhì)點(diǎn)所受的力隨處改變，而所走路線又是彎彎曲曲怎么辦呢？An,即在AB內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn)為此，我們對(duì)有向曲線L作分割T二A0,A|,.,An4,M1,M2,，Mn4,與 A=M 0, B 二 Mn 起把曲線

3、分 成n個(gè)有向小曲線段 M jMj (i =1, 2，n),記 小曲線段MjM 的弧長(zhǎng)為.0 則分割T - Ao , A1,An 4 , An 的細(xì)度為 T 二會(huì) $.設(shè)力F x, y在x軸和y軸方向上的投影分別為 P(x, y)與 Q(x,y),那么 Fx,y = P(x, y),Q(x, y) i；二P(x,y)i Q(x,y)j 由 于MijXijy*), Mi(Xi,yJ,則有向小曲線段M ii (i = 1, 2，n)在x軸和y軸方向上的投影分別為 厶片 二XjXj與y 二yjyij .記LMj lMj =(衛(wèi)片，AyJ從而力F(x, y )在 小曲線段 MjMj 上所作的功WjF

4、( , j) L m i 1M= P i, i X+Q j, j .-.yi其中(h j )為小曲線段 M iM i上任一點(diǎn)，于是力F x, y沿L所作的功可近似等于nnnWj = 7Wj ：八 P(Sj, j).'XjQ(Sj, j) ：yj當(dāng)T > 0時(shí)，右端積分和式的極限就是所j Aj 4i 4求的功這種類(lèi)型的和式極限就是下面所要討論的第二型曲線積分2.2 第二型曲線積分的定義設(shè)P(x, y), Q(x, y)為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線LAB上的函數(shù),對(duì)LAB任一分割T ,它把LAB分成n個(gè)小弧段MjM j (i =1, 2，,n);其中A = Mo,B = M n

5、.記各個(gè)小 弧段M jM j弧長(zhǎng)為.-：sj ,分割T的細(xì)度為T(mén)二max Sj,又設(shè)T的分點(diǎn)的坐標(biāo)為 i_i豈Mj(Xj ,yj),并記 =Xj Xj，=yj yj,(i =1, 2, , n).在每個(gè)小弧段MMj上任取一點(diǎn) <,j ,若極限nnlim./ P( j, j)%Q( j, j)»存在且與分割T與點(diǎn), j的取法無(wú)關(guān)，則稱(chēng)此極限為函數(shù)P(x, y) , Q(x,y)在有向線段Lab上的第二類(lèi)曲線積分，記為P(x, y)dx Q(x, y)dy 或 P(x,y)dx Q(x, y)dyLAB也可記作P(x, y)dx Q(x,y)dy 或 P(x,y)dx Q(x,y)

6、dyLLABAB注： 若記F x, y = P(x, y), Q(x, y) , ds二dx, dy則上述記號(hào)可寫(xiě)成向量形 式:.F ds.L(2)倘若L為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線，P(x, y,z) , Q(x, y,z), R(x, y, z)為定義在L上的函數(shù)，則可按上述辦法定義沿空間有向曲線L的第二類(lèi)曲線積分，并記為P(x, y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dzL按照這一定義，有力場(chǎng)F(x,y)二P(x, y) , Q(x,y)沿平面曲線L從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功為W二 Pdx Qdy .第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性.對(duì)二型曲線積分AB'有二一

7、 ,定積分是第二型曲線積分中當(dāng)曲線為x軸上的線段時(shí)的特例可類(lèi)似地考AB4A慮空間力場(chǎng)F(x, y,z)二P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y,z)沿空間曲線Lab所作的功為 空間曲線Lab上的第二型曲線積分ABP(x,y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz.2.1對(duì)坐標(biāo)的第二類(lèi)曲線積分的概念設(shè)函數(shù)在平面P(x，y)上的一條光滑(或分段光滑)曲線上有定義且有界，用分點(diǎn)皿")0 =°,1,2山n)將曲線l從起點(diǎn)a到B分為n個(gè)有向小弧的長(zhǎng)度一("h，nn遲 P(4V)AXi(Xi Xy)x=Ra |AilJ 呼 卩(勺-斗

8、)糾=1作和式 i。記 1旦 ''，若極限一 7存在，且對(duì)曲線L的分點(diǎn)及點(diǎn)的選取方式無(wú)關(guān)，則稱(chēng)此極限為函數(shù)P(x,y)按從A到B的方向沿曲線L對(duì)坐標(biāo).x的曲線積分，記作的曲線積分記作(_i, i)nP(x, y)dx li.m Pie i ' )iXP(x,y)dxlV，其中P(x，y)稱(chēng)為被積函數(shù)，L稱(chēng)為被積路徑，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也稱(chēng)之為第二類(lèi)曲線積分。類(lèi)似的，設(shè)函數(shù) Q(x，y)在xy平面上的一條光滑(或分段光滑)曲線 L( AB)上有定義且 有界。若對(duì)于 L的任意分法和(i, i)的任意取法，極限都存在且唯一，則稱(chēng)此極限值nlim ' Q( i - J Y

9、'：:i為函數(shù)Q( x，y)按從A到B的方向沿曲線L對(duì)坐標(biāo)Y的曲線積分，fQ(x,y)dy記作L2. 2第二類(lèi)曲線積分的參數(shù)計(jì)算法首先要弄清楚兩類(lèi)積分的定義，簡(jiǎn)單地說(shuō)，第一類(lèi)曲線積分就是nl f(x, y)ds =lim( i, i)2. ：s10 i 4第二類(lèi)曲線積分就是nP(x, y)dx Q(x, y)dy =limP( i,"逐 Q( i, J y'Jim( 1)這兩種曲線積分的主要區(qū)別就在于，第一型曲線積分的積分和中是乘的"：S1，人S是一小段弧的弧長(zhǎng)，"：Si總是正值；而第二類(lèi)曲線積分和積分和中是乘的一段弧的x，y坐標(biāo)的增量也Xj =x

10、 XjAyj =yj _yj七心Xj與心yj是可正可負(fù)的。當(dāng)積分的路徑反向時(shí)，s不變,而.,yi反號(hào)，因此第一類(lèi)曲線積分不變而第二類(lèi)曲線積分反號(hào)，在這一性質(zhì)上，第二類(lèi)曲線積分與定積分是一樣的。計(jì)算曲線積分的基本方法是利用的參數(shù)方程將其轉(zhuǎn)化成定積 分，但兩類(lèi)曲線積分有些不同。設(shè)曲線1的參數(shù)方程為x=x(t),住彳 v 7 a <t <Py = y(t),則第一類(lèi)曲線積分的計(jì)算公式為ds 二 dx2 dy2 二 x' (t)dt " | y'(t)dt=Jx，2 (t)dt + 存，2(t)dt |dt這里要注意"邛，即對(duì)t的定積分中，下限比上限小時(shí)

11、才有dt a 0，也就有dt = dt，這樣才有上述計(jì)算公式。這個(gè)問(wèn)題在計(jì)算中也要特別注意。沿1上的點(diǎn)由A變到B，即t的下限對(duì)應(yīng)曲線積分的起點(diǎn) A，他的上限：對(duì)應(yīng)曲線積分的起點(diǎn) A，t的上限：對(duì)應(yīng)終點(diǎn)Bo 在計(jì)算中總要用到曲線的參數(shù)方程，這里列出一些常用曲線的參數(shù)方程。橢圓的參數(shù)方程為x"(tnt)，o 注汐； y = a(t -cost),有些較簡(jiǎn)單的曲線可取X或y為參數(shù)，即可由直角坐標(biāo)方程。例如，直線y“x b 取可由直角坐標(biāo)方程得出參數(shù)方程。例如，直角y = ax b，取x為參數(shù)，參數(shù)方程即為X = X, X ：:： y =ax b,又如，拋物線y =，取y為參數(shù)，參數(shù)方程為2

12、x 二 y ,小y，0 蘭 y <Py =y,例1設(shè)I為以。(°，°)，A(1,0), B(0,0)為頂點(diǎn)的三角形邊界，計(jì)算(1)l(x2 y2)ds2 2 2 2(2)i(x y )dx (x y)dy，沿逆時(shí)針?lè)较?。解?1 )這是第一類(lèi)曲線積分。29I (x y )ds 二(x2 y2)ds (x2 y2)ds 拆(x2 y2)ds線段OA的參數(shù)方程為x=x,°*1 y =°,OA2 1 2 1y)ds°xdx = 3線段AB的參數(shù)方程為y =1 _x,° 乞X12 2AB(x y )ds 二0(x2 (x)2)、2dx

13、A2線段OB的參數(shù)方程為y =y.0<y<1才2 ".。血八孑所以L3333(2 )這是第二類(lèi)曲線積分。f(x2 +y2)dx+(x +2)dy2 2 2 2=OA(x y )dx (x 2)dy /X y )dx (x 2)dy1 2 1 2 2 1=°x dx°x (1 -x) dx (x 2)d(1 -x) °2dy1 1 2 1(1 3x -2x2)dx -2 二一306在這個(gè)例子中，必須注意第一類(lèi)曲線積分與第二類(lèi)曲線積分的不同處理方法，尤其是方向性問(wèn)題。2.3 利用格林公式計(jì)算第二類(lèi)曲線積分設(shè)D是由分段光滑的曲線l圍成的連通有界閉區(qū)

14、域，函數(shù)P(x，y)，Q(x, y)在其上有 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式P(x,y)dx盹禍?zhǔn)w曲其中1取正向。格林公式建立了第二類(lèi)曲線積分也二重積分之間的聯(lián)系。凡是建立了兩個(gè)重要概念的聯(lián)系的公式都是極為重要的，格林公式正是這樣的公式。在討論曲線積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題中， 在許多公式的推導(dǎo)中， 在曲線積分的計(jì)算中， 格林公式都是很重要的工具。這里再列舉兩個(gè)計(jì)算曲線積分的例子。例2.用格林公式計(jì)算例1中(2)的第二類(lèi)曲線積分。解:顯然，這個(gè)積分滿(mǎn)足格林公式的條件。用格林公式，2 2l(x2 y2)dx (x 2)dyi(1-2y)dxdy = °dy ° (1-2y)dxD1 1

15、=°(1-2y)(1 -2y)dy = 62x2y 二 14這比例1中的解法簡(jiǎn)單一些。 例3.計(jì)算第二類(lèi)曲線積分2 2l(y x )dx -(x y )dy,其中1為從A(-2,0 )至 B (2,0 )沿橢圓的上半部分的曲線。解：I不是一條封閉曲線，不能直接用格林公式。增加沿x軸的線段BA而成為封閉曲線。29921(y x )dx-(x y )dyBA(y X )dx-(x y )dy-(-1 -1)dxdy =2匕 2 FD2 21(y x )dx-(x y )dyAB(y x2)dx-(x y2)dy22=4- - BA(y x )dx -(x y )dy2 2 16=4二 x

16、 dx =4二3此題重點(diǎn)提到的是針對(duì)于非封閉曲線如何利用格林公式通過(guò)補(bǔ)形的方法將第二類(lèi)曲線 積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為二重積分的計(jì)算。2.4利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算第二類(lèi)曲線積分定理1設(shè)L為xoy平面上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的一條有向光滑曲線弧，其方程是一雙值函數(shù)，設(shè)為y = -Wx), a _ x _ b)。記J丄2分別為L(zhǎng)位于x軸的上半部分與下半部分，J丄2分別在上的投影方向相反，函數(shù)P(x，y)在L上連續(xù)，那么1)當(dāng)P(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù)時(shí)，則LP(x, y)dx=02)當(dāng)P(x,y)關(guān)于為奇函數(shù)時(shí)，則LP(x,y)dx =2 LP(x,y)dx證明：依定理?xiàng)l件不妨設(shè)Ly = y(x)從點(diǎn) a變到點(diǎn)bL2： y

17、= -y(x)從點(diǎn)b變到點(diǎn)a于是由對(duì)坐標(biāo)曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算方法有P(x, y)dx P(x, y)dx 亠 I P(x, y)dx 二Li“L2P Lx, y(x) Idx 亠 i Px, -y(x) Idx 二 a' a：Px, y(x)Px,y(x) Idx 二atplx, y(x) l-px, -y(x) Pdxab0dx =0a故1 )當(dāng)P(x, y)關(guān)于為偶函數(shù)時(shí)，有L P(X, y)dx =a 】Px ,y(x) -P &, y(x) 1/dx2)當(dāng)P(X,y)位于為奇函數(shù)時(shí)，有LP(x,y)dxx, y( x) Plx, y(x) fdx =2f Plx, y(

18、x) dx =2 P(x, y)dxf Q(x, y)dy注1 對(duì)于L有定理1的結(jié)論注2 定理1可用兩句口訣來(lái)簡(jiǎn)言之，即“反 對(duì) 偶 零” “與反 對(duì)I奇 倍”。其中“反” 指在軸上的投影方向相反；“對(duì)”指關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；“偶”指被積函數(shù)在上關(guān)于為偶函數(shù)； “零” 指曲線積分的結(jié)果等于零?？谠E“反 對(duì) 奇 倍”涵義類(lèi)似解釋。關(guān)于曲線積L P(x，y)dx分還有另一個(gè)對(duì)稱(chēng)性的結(jié)論是定理2 設(shè)為平面上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的一條有向光滑曲線弧，其方程為y二y(x),( -a zx空a)，記S L?分別l為位于y軸的右半部分，丄?分別在x軸上的投影方向相同，函數(shù) P(x,y)在L上連續(xù)，那么1)當(dāng)P(x，y)關(guān)于x

19、為奇函數(shù)時(shí)，則l P(x, y)dx =02)當(dāng)P(x，y)關(guān)于x為偶函數(shù)時(shí)，則L P(x,y)dx -2 l P(x, y)dx證明：依定理?xiàng)l件不妨設(shè)L1：y = y(x)從點(diǎn)0變到aL2：y = y(x)從點(diǎn)-a 變到 o(a °).于是由對(duì)坐標(biāo)曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算方法有L P(x, y)dx = P(x, y)dx l P(x, y)dx =:P !-x,y(x)】dx ：Px, y(-x)dx對(duì)右端第2個(gè)積分，令x=-t，有aP l-x, y(x) dxL P(x,y)dx =；Px, y(x)dx0Pl -x, y(x) dxa-j ' P lx, y(x) P l

20、-x,y(x) ?dx故1）當(dāng)P（x,y）在L上關(guān)于x為奇函數(shù)時(shí)，有L P(x,y)dx 二a dP Ry(x)P x, y(x)dxa0°dx=02）當(dāng)P（x，y）在l上關(guān)于x為偶函數(shù)時(shí)，有l(wèi) P(x,y)dx -Px, y(x) P lx, y(x) l.?dx 二a20Pl.x, y(x) Idx = 2 P 1.x, y(x) Idx"L1f Q（x, y）dy對(duì)于L有類(lèi)似2的結(jié)論。定理1與定理2雖然都是對(duì)坐標(biāo) x的曲線積分，但定理1中積分曲線弧的對(duì)稱(chēng)性及其投影都是針對(duì)x軸而言的，而定理2積分曲線弧的對(duì)稱(chēng)性及其投影是分別針對(duì)y軸和x軸而言的。另外，被積函數(shù) P（x,

21、 y）的奇偶性也是分別針對(duì)不同的變量而言的，故定理2的結(jié)論恰好與定理1相反，定理2用口訣簡(jiǎn)言之是：“同 對(duì)奇零 倍”。其中“同”指L1 , L2 分別在x軸的投影方向相同，“對(duì)”指L關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)“奇”指被積函數(shù) P（x, y）關(guān)于x為奇函數(shù)，“零”指曲線積分結(jié)果等于零“同對(duì)偶倍”的涵義類(lèi)似解釋。例4計(jì)算1-Txydx.其中L為拋物線/二X 從點(diǎn)A（1廠“到B（1,1）±的一段弧。解：以題設(shè)條件知，該曲線積分滿(mǎn)足定理1中“反 對(duì) 奇 倍”的結(jié)論，故有I = 2 xydx = 2 x xdx 二-Tp5，其中，L1 : x，X從點(diǎn)0變到1.P(x,y)(-x) Idx 二 0 P(-t,

22、y(t) dt 二 因此有2 2 2例5計(jì)算1（a - 0）按逆時(shí)針?lè)较蚨?L(x y) dx-(xy sin y)dy其 L 為 x2 y2 二 a2從點(diǎn)A（a，0）到點(diǎn)B（_a，°）的上半圓周。解可將原式改寫(xiě)為 3 個(gè)曲線積分的代數(shù)和，即2 2 2 2I = （x y ）dx _2 xydx _ l （x y sin y）dy依題設(shè)條件分析知，等式右端第一、第二、第三個(gè)曲線積分依次滿(mǎn)足定理2中“同對(duì)偶倍”、“同L對(duì)奇L零”及及定理1的注1中“反L對(duì)L偶L乘LI零“的結(jié)論，故有I = L(x2 y2)dx220=2 L (x y )dx = 2 它(x2 a2 x2)dx - -2

23、a3其中,x從點(diǎn)a變到0.2.5利用斯托克斯公式計(jì)算第二類(lèi)曲線積分斯托克斯（Stokes ）公式建立了沿空間雙側(cè)曲面 S的積分與沿S的邊界曲線L的積分之 間的聯(lián)系。在介紹下述定理之前， 先對(duì)雙側(cè)面S的側(cè)與邊界L的方向作如下規(guī)定： 設(shè)有人站 在S上指定的一側(cè)，若沿 L行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人的前進(jìn)方向?yàn)檫吔鏛正向;若沿L行走，指定的側(cè)總在人的右方， 則人的前進(jìn)方向?yàn)檫吔缇€ L的負(fù)向，這個(gè)規(guī)定方法也 稱(chēng)為右手法則，如下圖所示。定理3設(shè)光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線，若函數(shù)P,Q,R在S（連同L）上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則)dydz-'Z(-:z)dzdx (y:Q：:x

24、:P)dxdyPdx Qdy Rdz其中S的側(cè)面與L的方向按右手法則確定。公式（2）稱(chēng)之此公式為斯托克斯公式。:p: Pdzdx dxdy Pdx,證明：先證 S在創(chuàng)（ 3）其中曲面S由方程z=z（X,y）確定，它的正側(cè)法線方向數(shù)為-Zx-Zy,1，方向余弦為cZ cosa cZcos Pcosg,cos 0,COS 7 所以_ cosY 石 _cos?'若S在xy平面上投影區(qū)為 Dxy，L在xy平面上的投影曲線記為現(xiàn)由第二類(lèi)曲線積分定義及格林公式有因?yàn)镼P(x,y,z)dQ P(P(x, y,z(x,y) yx, y,z(x)dx；:P .:P : z:y: z : y-P(x, y

25、, z(x,y)dxdy 以yP : p ：zP(x,y,z(x, y)dxdy 二- (一一一)dxdy所以d ydy：z :yxyxy:zcos :由于：-ycos 從而:P :z)dxdy:z :y滬一 -y n sdx一 ePcoss :y.P:zcosdxdycoscos1 -)dSPcos:z；:P；:pdzdx ' dxdyS z:y綜合上述結(jié)果，便得所要證明的（3）式。同樣對(duì)于曲面S表示x=x(y,x)和y=y(z,x)時(shí)，可得dxdy s ：:x:Q.:zdydz = Qdy(4)口型 dydz-空 dydz = Rds(5)S ；：xjzL將(3)、(4)、( 5)三式相加即得斯托克斯公式(2)。如果曲線S不能以z=z(x，y)的形式給出，則用一些光滑曲線把 S分割為若干小塊, 使每一小塊能和這種形式表示，因而這時(shí)斯托克斯公式也能成立。為了便于記憶，斯托克斯公式也常寫(xiě)成如下形式：dydzdzdx:yQdxdy:zRJ Pdx +Qdy +