巧用定義解決雙曲線常見問題

1、巧用定義解決雙曲線的常見問題現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-1第三章，介紹了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程既簡單的幾何性質(zhì)。學(xué)生們學(xué)習(xí)雖然感到以上只是簡單也比較好掌握。但涉及解決與雙曲線有關(guān)的問題時，老師存在一些不得心應(yīng)手的感覺。在教學(xué)中，本人通過對教材的分析和學(xué)生學(xué)習(xí)情況調(diào)查認(rèn)為，深入理解雙曲線的定義。靈活運用雙曲線的定義就可以解決雙曲線常見的問題。一、 巧用定義解決求值問題例1、 雙曲線上一點與左右焦點構(gòu)成，求的內(nèi)切圓與邊的切點的坐標(biāo)。分析：設(shè)點在已知雙曲線的右支上，要求點的坐標(biāo)。即求的長度，而，其中，只需求的長度，即是圓的一條切線長，可用平面幾何知識（切線長定理）求解。解：設(shè)點在已知雙曲線的右支

2、上，由題意得，又，又，當(dāng)點在已知雙曲線的右支上時，切點為頂點,當(dāng)點在已知雙曲線的左支上時，切點為頂點例2、 已知是雙曲線的左右焦點，為雙曲線的左頂點，在雙曲線的左支上，求的值分析：如右圖，先做出的內(nèi)切圓，則切于點，等于內(nèi)切圓的半徑。且，解：做出的內(nèi)切圓，則切于點，例3、 設(shè)是曲線:的焦點， 為曲線:與的一個交點，則的值分析：利用雙曲線及橢圓的定義找出、之間的關(guān)系。解析：設(shè)，不妨設(shè)，顯然橢圓和雙曲線共焦點，由橢圓和雙曲線的定義可知且，在三角形中，由余弦定理可知二、 利用定義解決離心率問題例4、 已知是雙曲線的左右焦點，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，求雙曲線的離心率.解析：由題意

3、的，由定義知，則。例5、 已知雙曲線的左右焦點分別為若雙曲線上存在一點使得，求雙曲線離心率的范圍。解析：由雙曲線的定義，在中，結(jié)合雙曲線的圖像，即例6、 已知雙曲線的左右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線交于不同的四個點，順次連接焦點和這四個頂點恰好組成一個六邊形，球雙曲線的離心率。解析：設(shè)為圓與雙曲線在第二象限的交點，則，在中，三、 緊扣定義求動點的軌跡例7、 已知雙曲線的左右焦點分別為，為雙曲線上任意一點，的內(nèi)角平分線的垂線，設(shè)垂足為，求點的軌跡。解析：如圖延長交于由角平分線及垂直關(guān)系得，有是的中位線，從而，故為定值，即點的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心，為半徑的圓（去掉與軸的交點）方程為例8、已知，,若雙曲線兩支分別過例9、已知：，：，若與內(nèi)切與外切，求的圓心的軌跡方程。解析：，圓心，半徑，：圓心，半徑，由題意的，。，即是以為焦點的雙曲線的左支。，。點的軌跡為四、 巧用定義解決特殊問題1、求最值例10、已知是雙曲線的左右焦點，是雙曲線內(nèi)部一點，為雙曲線右支上一點，求的最小值解析：如圖雙曲線的定義，即當(dāng)且僅