分?jǐn)?shù)裂項法解分?jǐn)?shù)計算

1、分?jǐn)?shù)裂項計算本講知識點屬于計算大板塊內(nèi)容，其實分?jǐn)?shù)裂項很大程度上是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公 式的過程，可以分為觀察、改造、運用公式等過程。很多時候裂項的方式不易找到, 需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，或者先進(jìn)行一部分運算，使其變得更加簡單明了。本講是整個奧數(shù)知識體系中的一個精華部分，列項與通項歸納是密不可分的，所 以先找通項是裂項的前提，是能力的體現(xiàn)，對學(xué)生要求較高。分?jǐn)?shù)裂項、“裂差”型運算將算式中的項進(jìn)行拆分，使拆分后的項可前后抵消，這種拆項計算稱為裂項法 項分為分?jǐn)?shù)裂項和整數(shù)裂項，常見的裂項方法是將數(shù)字分拆成兩個或多個數(shù)字單位的 和或差。遇到裂項的計算題時，要仔細(xì)的觀察每項的分子和分母，找出每項分子分母 之間

2、具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項的題目無需復(fù)雜的計算，一般都是中間 部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項的相似部分，讓它們消去才是最根本的。axb(1)對于分母可以寫作兩個因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即亠 形式的，這里我們把較小的數(shù)a xbb-a a b寫在前面，即 a cb，那么有 = (丄-)對于分母上為3個或4個連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即:"+1)如2廠5+1)廿2)如3)形式的，我們有:裂差型裂項的三大關(guān)鍵特征:(1)分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是 1的運算。(2)分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，

3、并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相接”(3)分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。、“裂和”型運算:常見的裂和型運算主要有以下兩種形式:0a +ba b+axb axb axb b aa2 +b2a xba xbb2+a xb裂和型運算與裂差型運算的對比:裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的,同時還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的?！纠?】【鞏固】【鞏固】1 1+2x31-+11X12+丄1x211 1 1+3x44X5 5x6【例2】【例3】10X1121+ +59X6010X99X82 2+HI+ +丄5X44X31 1 11 +丄+

4、1一+111111 +11+21+2+31+2+HI+1001+111 +3X5 5X799X101丄+丄1X3【鞏固】計算:f 11125X|+山+i1咒3 3x5 5x723X25 丿【鞏固】251 +251十251十山亠 251 十 2512000X20042004X20084X88X1212X16【鞏固】計算:丄+丄+亠+亠+亠2X55X77X1111X16162222X2929【例4】計算：+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄）咒128 =8244880120168224288【鞏固】丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄=612203042567290【鞏固】3610152128【鞏固】計算.11

5、1111111八 2612203042567290【鞏固】104088154238【例計算:1x3x5 3x5x7 5x7x92001X2003X2005【例護(hù)4.5+0.16X h +丄+丄+丄L 133.75X3.20153563 丿3【例7】計算:111 1 11+2 +3+4+ III +20261220420【鞏固】計算：111112008 +2009 +2010+2011+2012=1854108180270【鞏固】計算：1+丄+2+2 +_£=。26153577【鞏固】計算：1亠1昇J + 1 + 1315356399143195【鞏固】計算：1+ 5 J1 J9+29

6、+h| + 9701 +9899 _2612203097029900【例8】【鞏固】11小1+ +1 x2x32x3x47x8x91計算:【鞏固】計算:1x2x31【鞏固】【鞏固】1x3x599【例9】1x2x3113x54+35x798+2x3x41+2x3x41+24x6+111 +98x99x1001 1+111 +35x72022x2444+93x95x9795x97x99971+111 +3X4X599x100x1011 1 1【鞏固】+ +1X2X3X4 2X3X4X5 3x4x5x66x7x8x9 7x8x9x10333【例10】【鞏固】【鞏固】+.1X2X3X42X3X4X51

7、x2x32x3x451155 (+-2X3X43X4X53,4計算:計算:計算:.+ 17x18x19x2019+111+8X9X107 ) 8X9X109X10X115,，12【例11+切 1+105咒 13144 91X2X4X522X32X3X41【例12】1X2+1(1 +2X3X4X52x3x4H|x103,4,5【鞏固】計算:【例13】+ 2 +1X2X3 1X2X3X4 1X2X3X4X5 1X2X3X4X5X6 1X2X3X4X5X6X73!4!100!350- _ +111 +1 x(1+2)(1+2)x(1+2 +3)(1+2+3)X(1+2+3+4)(1+2+3+11)+

8、 49)x(1+ 2+)(| + 50)【鞏固】_2+3+4+川+1001X(1 +2)(1 + 2)X(1 +2+3) (1+ 2 +3)X(1 +2+3+4)(1 + 2+| |+ 99)x(1 +2+| +100)2310【鞏固】1【例14】III1 (1+2)(1+2)X(1+2+3)132 -1【鞏固】【鞏固】【鞏固】【鞏固】【鞏固】(1 +2 +3 + 111+9) x(1 +2 +3+11!+10) 11111+亠+亠 + 亠=.5 -17 -19 -111113 -11111 1 1(1 -) X (1 - -r) X (1 -) X (1 -) 41X (1 -) X (1

9、- r)=234548493 + 5 + 7I +1512 X22 232 3427823? +1 亠 5? +1 亠 7? +12十十3 -15 -1 7 -112+ 3222+42 丄32+522222 -13 -14 -1,22二亠+丄+丄+山+-5 咒 7991018+9 +9+108"9X10+口+至3042丄+二 +土+5+7 +2+衛(wèi)+11+坐=34578202124351+2+3 +乙+2+11+口+空3571220283042計算:計算:計算:計算:計算:【例15】【鞏固】【鞏固】【鞏固】5+65咒63 , 6+丄1 咒33X56+7 +7+86咒77咒8+5+Z+

10、26 12 20 1丄3丄2丄小丄 1993? +11995+1+ | I 丨 +2+2=1993 -11995 -1刊1葉98 +100992 -1502【鞏固】【鞏固】111 2010263827卜一+ + + +3031415111912012312449+ 6377 *91105、131220304256丿881 1一 +23【鞏固】_19+ + + 567290【鞏固】【例16】【鞏固】【例17 1【例18 1【例19 1計算：1_5+工_9 J 13 .15 176122030421179817一 + + + + + 451220153012 +2222 +32+2x31+2 X20061 1+2X34X5S丄+一3 3X53X5X71 2 2 丄 +_ + 2 +HI+ 1X33X55X71x2(為計算:計算:計算:5+122 2182 +19218x191+2