圓錐曲線最好的資料

1、圓錐曲線章節(jié)方法與技巧151.圓錐曲線的兩個定義(1)第一定義 中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F1 ,F2的距離的和等于常數(shù) 2a，且此常數(shù)2a 一定要大于f1F2當常數(shù)等于F1F2時，軌跡是線段F1 F2，當常數(shù)小于F1F2時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F1 , F2的距離的差的絕對值等于常數(shù) 2a , 且此常數(shù)2a 一定要小于| Fi f2 |，定義中的“絕對值”與2a < |F 1 F2 |不可忽視。若2a = |F 1 F2 |，則軌跡是以Fi，F(xiàn)2為端點的兩條如(1)已知定點F1U3,0), F2(3,0)，在滿射線，若2a > |F 1 F2 |，則軌

2、跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是A . |p F 1 + PF 21 =4B . PF1 中 PF 2=6 C .PF " PF 2=10D. |p fJ +|p F 2|2 =12 (答：C); ( 2) 方 程 J(x 一6)2 +y2 -J(x + 6)2 +y2=8表示的曲線是(答：雙曲線的左支)(2)第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準線，且“點點距為分子、二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準線距離間的關(guān)系，要善于點線距為分母 ”，其商即是離心率e。圓錐曲線的第運用第二定義對它們進行相

3、互轉(zhuǎn)化。如已知點2Q(2jr,0)及拋物線y = L上一動點P (x,y)，則y+|PQ|的最小值是4俗:2)2.圓錐曲線的標準方程 (標準方程是指中心(頂點)在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程)2 2橢圓：焦點在x軸上時7"71(a 30) :暑co冷(參數(shù)方程，其中®為參數(shù))，焦點在y2 2軸上時+ 2 .2a b=1 ( a >b ;>0 )。方程Ax 2 + By2 =C表示橢圓的充要條件是什么？(ABC工0，且A，B，C同號，A工B)。如(1)已知方程2 2一 + =1表示橢圓，則k的取值范圍為3 +k 2 -kZ1122(答: (-3, 一)U

4、(_,2) )；( 2)若 X, y 忘 R，且 3x +2y =6，則 x + y 2 _的最大值是x2 +y2的最小值是(答: 75,2 )(2)雙曲線:焦點在x軸上:2x2a22yy一 =1，焦點在y軸上：二b2a22x22一=1 ( a0, b0 )。方程Ax + By = C表示雙曲線b2的充要條件是什么?(ABC 工0，廠22B異號)。如(1)雙曲線的離心率等于 2，且與橢圓 +_L=1有公共焦點，則該雙曲線的方29 4x 俗：一y2=1 )；4(2)設(shè)中心在坐標原點0，焦點Ft、F2在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點P(4,-710)，則C的方程為(答: x22-y =6)2 2

5、2(3)拋物線：開口向右時y =2px(p >0)，開口向左時y =-2 px(p > 0)，開口向上時x = 2 py ( p0)，開口向下時2X = 2 py( P > 0)。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）（1）橢圓：由X22分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程_L則m的取值范圍是俗:（2）雙曲線：由y 2項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上;（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點m 12y=1表示焦點在y軸上的橢圓,2 - mF1，

6、F 2的位置,是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型， 而方程中的兩個參數(shù) a,b，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小， 是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時,首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，a最大，a2=b2+c2，在雙曲線中，c最大，c2=a+b4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)2 2X(1)橢圓(以2a+ 牛=1 ( a >b b2>0 ）為例）：范圍：-a < X < a,-b < y < b ;焦點：兩個焦點（±c, 0）;對稱性:兩條對稱軸x=0, y =0，一個對稱中心（0,0），四個頂點（±a,0）, （0,

7、 ±b），其中長軸長為 2a，短軸長為2b ；準線：兩條準線2,aX = ± ；c離心率:ce =，橢圓二a2 20 ce <1，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。女0（ 1）若橢圓 =1的離心率5 mm的值是_ （答:253 或)；3（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_ （答：2j2）X2 y2(2)雙曲線(以_ a2 b2>0 ）為例）：范圍：x<a或x>a,y亡R ;焦點：兩個焦點（±c, 0）;對稱性：兩條對稱軸 X =0, y =0，一個對稱中心（0,0），兩個頂點（±

8、a,0），其中實軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為X2y2=k,kH0 ;準線：兩條準線2acX = ±；離心率：e =，雙曲線U e A 1， ca等軸雙曲線二 e=J2，e越小，開口越小，e越大，開口越大；兩條漸近線:b=±X。如（1）雙曲線的漸近線方程是 3x±2y=0,a則該雙曲線的離心率等于俗:五或血）;（2）雙曲線ax2-by223=1的離心率為J5，則a : b =俗:21X或一）；（3）設(shè)雙曲線一24a（a>0,b>0）中，離心率ee J2 ,2,則兩條漸近線夾角0的取值范圍是兀俗：3

9、）；（3）拋物線（以y2 = 2 px （ P > 0）為例）：范圍：X > 0, y迂R ;焦點：一個焦點（P , 0），其中p的幾何意義是：焦點到2準線的距離；對稱性：一條對稱軸y =0，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）;準線：一條準線PcX =-一 ； 離心率：e = a拋物線二e=1。如設(shè)a H0,a<R，則拋物線y =4ax2的焦點坐標為1（答：（0,）；16a5、點2XP(x0,y0)和橢圓二.2a 2+ Z =1 ( ab > 0 )的關(guān)系：2 點P（X0,y0）在橢圓外U 上2+卑b>1 ；(2)點 P (Xo, y。)在橢圓上2 2 2XyX

10、二 篤中一= 1 ； (3)點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)二 2 +aba6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（1）相交：i >0二直線與橢圓相交； >0二直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有 漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故A >0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；線相交，但直線與拋物線相交不一定有A >0，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y 2=6的右支有兩個不同的交點，則>0，當直線與雙曲線的 A 0 =直線與拋物 故 &

11、gt; 0也僅是 k的取值范圍是俗：（-/ 2-5,-1) ); ( 2)直線 y kx1=0 與橢圓 X352y =1恒有公共點,mm的取值范圍是俗:1 , 5)U( 5,（2）相切（3）相離特別提醒A =0 U 直線與橢圓相切； i = 0二 直線與雙曲線相切；A <0二 直線與橢圓相離； i <0二 直線與雙曲線相離；（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形:直線與拋物線相切; 直線與拋物線相離。也=0A < 0相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時2 2 直線與雙曲線相交，但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一

12、個交點；（2）過雙曲線 篤a b一點P（X0, y。）的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。22（1）過點（2,4）作直線與拋物線y2 =8x只有一個公共點，這樣的直線有俗：2）;X

13、y（2）過點（0,2）與雙曲線 一=1有且僅有916一個公共點的直線的斜率的取值范圍為I 44 幕 I俗：2±4,±4曹5I 3 5); (3)過雙曲線X23 i2yy =1的右焦點作直線I交雙曲線于A、B2兩點，若AB =4,則滿足條件的直線I有條（答：3）;2 2（4）對于拋物線C: y =4x，我們稱滿足 y <4X0的點M（X0,y0）在拋物線的內(nèi)部，若點 M （x0,y0）在拋物線的內(nèi)部，則直線I :y0y=2（x+x0）與拋物線C的位置關(guān)系是（答：相離）；（5）過拋（答：1）; （6）求橢2 1物線y =4x的焦點F作一直線交拋物線于 P、Q兩點，若線段P

14、F與FQ的長分別是p、q，則一P8 J13圓7x2 +4y2 =28上的點到直線3x-2y16=0的最短距離（答： 一）；（7）直線y = ax +1與雙曲線3x2_y2=1交于A、B 13兩點。當a為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？當a為何值時，以 AB為直徑的圓過坐標原點？（答：（_J3,J3 ）; a = ±1 ）;7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）其中d表示P到與F所對應(yīng)的準線的距離。如（1）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義， 轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準線的距離，即焦半徑r=ed ,2 2已知橢圓X , y _1上一點P到橢圓左焦點的距離為 3，則點P到右準線的距離為251

15、6 35（答： 一）；（2）已知拋物線方程為32y =8x,若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點的距離等于俗:該拋物線上的點 M到焦點的距離是4,則點M的坐標為2 27, （2, 44） ）； （4）點P在橢圓 二+仝 =1上，它到左焦點的距259離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為俗:122（5）拋物線y =2x上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2x(答：2);(6)橢圓4=內(nèi)有一點P（ 1,-1）,F為右焦點，在橢圓上有一點 M，使MP +2mF之值最小，則點 M的坐標為(答:(出，_1);38 、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用

16、1中，以P（Xo, y。）為中點2 2“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓二 + £2 .2a b率k=孚；在拋物線a y。.2 2 b X0X的弦所在直線的斜率k= -；在雙曲線 2 2ay。a2y=1中，以P（X0，y0）為中點的弦所在直線的斜b2y =2px(pA0)中,以P（xo,yo）為中點的弦所在直線的斜率2 2k=。女0（ 1 ）如果橢圓 +丄 =1弦被點Ay。369（4, 2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（答：X +2y -8 =0）；（ 2）2 2x y已知直線y= x+1與橢圓匚+ =1(aAbA0)a2b2相交于A、B兩點,且線段AB的中點在直線L : X-

17、 2y=0上，則此橢圓的離心率為C答：血）2對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗2 27一 = Ma為參數(shù)，入工0）。如與雙曲線 a2 b 2特別提醒：因為 >0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、9.重要的結(jié)論：2222（1）雙曲線 L 丄 =1的漸近線方程為 L 丄 =0 ;a2b2a2b2b22（2） 以y =±b X為漸近線（即與雙曲線 一 一L =1共漸近線）的雙曲線方程為aa2b2A22(答:竺丄=1 )942 _=有共同的漸近線，且過點 (_3,2j3)的雙曲線方程為16(3)中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為mx2 + ny 2 = 1

18、 ;(4)橢圓、雙曲線的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)為2 b2b2，焦準距(焦點到相應(yīng)準線的距離)為 ac拋物線的通徑為2 P ,焦準距為(5)P ；通徑是所有焦點弦(過焦點的弦)中最短的弦;2(6)若拋物線 y =2px(p >0)的焦點弦為 AB, A(x1 ,y1), B(x2,y2),則 | AB | =咅 + X2 + p ； X1X22p2一， y2 = p4(7)若OA OB是過拋物線y2 =2 px( p A0)頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(2 p,0)10.動點軌跡方程：(1) 求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍;(2) 求軌跡

19、方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立X, y之間的關(guān)系F(X, y) =0 ；寺定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程一一先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如線段AB過x軸正半軸上一點 M (m, 0) (m >0)，端點A、B到x軸距離之積為2m,以x軸為對稱軸，過 A、0、B三點作拋物線，則此拋物線方程為俗：y2 =2x )；定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程;2 2如(1)由動點P向圓X + y =1作兩條切線PA、PB,切點分別為A B,Z APB=60,則動點P的軌跡方程為2 2(答：X + y =4

20、) ；(2)點 M與點F(4,0)的距離比它到直線丨：x45=0的距離小于1，則點M的軌跡方程是(答：y 16x ) ; (3)一動圓與兩圓Q M:2 2 2 2(答：雙曲線的一支)；X + y =1和Q N： X + y -8x +12 = 0都外切，則動圓圓心的軌跡為代入轉(zhuǎn)移法：動點P(x, y)依賴于另一動點Q(x0,y0)的變化而變化，并且 Q(x0, y0)又在某已知曲線上，則可先用 x, y的代數(shù)_2式表示X0, y0，再將X0, y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動點P是拋物線y =2x +1上任一點，定點為A(0, 1),點M分PA所成的比為2,貝U M的軌跡方程為俗：y =

21、6 x2 )；3參數(shù)法：當動點 P(x,y)坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將X , y均用一中間變量(參數(shù))表示,2 2得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程)。如(1)若點P(X1, yj在圓X +y =1上運動，則點Q (X1 y1, X1 + y1 )的軌跡方程是俗:2 1 2y =2X +1(1 X |<) ) ； ( 2)過拋物線X =4y的焦點F作直線1交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是2俗:2 .X =2 y -2）；求解圓錐曲線問題的幾種措施圓錐曲線中的知識綜合性較強，因而解題時就需要運用多種基礎(chǔ)知識、采用多種數(shù)學手段來處理問題。熟記各

22、種定義、基本公式、 法則固然重要，但要做到迅速、準確解題，還須掌握一些方法和技巧。一.緊扣定義，靈活解題靈活運用定義，方法往往直接又明了。2例1.已知點A（ 3，2），F(xiàn)（ 2，0），雙曲線X2 -y=1 ， P為雙曲線上一點。31求| PA| + _| PF I的最小值2解析：如圖所示，丁雙曲線離心率為2,1 5.|PA1 |PF|WPA 門 E|>AM = 2 2二.引入?yún)?shù)，簡捷明快參數(shù)的引入，尤如化學中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。 例2.求共焦點F、共準線丨的橢圓短軸端點的軌跡方程。M （t, 0） （t為參數(shù)）解：取如圖所示的坐標系，設(shè)點-b2 而.-P =，而 C =

23、tC2/. b = pc = pt再設(shè)橢圓短軸端點坐標為 P （X，y），則y =b =J pt消去t，得軌跡方程y2 = px三. 數(shù)形結(jié)合，直觀顯示將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問題簡單 化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。例3.已知X, y迂R，且滿足方程X2 + y2 =3（y >0），又m = y十3，求m范圍。X +3解析:y的幾何意義為,+ 3曲線x23, 3）連線的斜率，如圖所示kpAEkpB3-73/. < m2四. 應(yīng)用平幾，一目了然用代數(shù)研究幾何

24、問題是解析幾何的本質(zhì)特征, 引用，問題就會迎刃而解。例4.已知圓（X -3）2 +y2 =4和直線解：iOM P iOQN因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”知識相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時y =mx的交點為P、Q，則IOP|卜OQ|的值為IOP IIQQU五. 應(yīng)用曲線系，事半功倍 利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。2 2 2 2例6.求經(jīng)過兩圓X +y +6X -4 =0和X +y +6y-28=0的交點，且圓心在直線 x - y-4 = 0上的圓的方程。 解：設(shè)所求圓的方程為：2 I 2 I. ； 2 I 2

25、IX +y +6x -4 +人（X +y + 6y-28）=0（1 +人）X +（1 +人）y + 6x +6 竹 一（28人 +4） = 0，在直線xy4 = 0上3則圓心為（1 +乙”".解得入=7故所求的方程為x2+ y2x+ 7y 32 =0六.巧用點差，簡捷易行 在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采用點差法，此法比其它方法更簡捷一些。2例7.過點A （2，1）的直線與雙曲線 x= 1相交于兩點Pi、P2，求線段PiP2中點的軌跡方程。2解：設(shè) Pi（Xi，yi），P2 （x2，y2），則2X121<1 >2X2<2 ><2> - <

26、;1>得(y2 yi)(yi +y2)2(Xi +X2)X2 -Xiyi +y2設(shè)PiP2的中點為Mx(y。)，則k Pi P2y2 -yi2X0X2-Xiy。又k AMy 0 -i而Pt、A、M、P2共線PiP2=k am中點M高考典型例題講解2X1已知雙曲線，即y。一i(i)求雙曲線的方程;(2)已知直線y = kx故所求雙曲線方程為X02的軌跡方程是2yb22X02 22 X -y -4 X + y= 0O 7 Q/ o=1的離心率e =，過A(a,0), B(0,b)的直線到原點的距離是+ 5(k工0)交雙曲線于不同的點原點到直線AB : IC，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求 k的值.=1 b的距離dabab(2 )把y = kx + 5代