江蘇省徐州、宿遷市屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學

1、江蘇省宿遷市2013 屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷共4 頁，包含填空題（共14 題）、解答題（共6 題），滿分為160 分，考試時間為120 分鐘。考試結束后，請將答題卡交回。2答題前，請您務必將自己的姓名、考試號等用書寫黑色字跡的0.5 毫米簽字筆填寫在答題卡上，并用2B 鉛筆正確涂寫考試號。3作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5 毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。如有作圖需要，可用2B 鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。2n21n參考公式： 樣本數(shù)據(jù) x1 ,x2 ,1xi ；, x n 的方差 s( x

2、i x)，其中 x1n i 1n i1V錐體 =h 是高錐體的體積公式：Sh ，其中 S 為錐體的底面面積，370 分請把答案填寫在答題卡相應位置上一、填空題：本大題共14 小題，每小題5 分，共計a + 3i1. 已知 i 是虛數(shù)單位，若R) ，則 ab 的值為 b + i( a,b開始i2.某射擊選手連續(xù)射擊5 槍命中的環(huán)數(shù)分別為：9.7 , 9.9 ,10.1 ,10.2 ,10.1，則這組數(shù)據(jù)的方差為3.右圖是一個算法流程圖，則輸出的S 的值是4.若集合 A1,0,1， By | ycos( x), xA，則ABS 12i 1S1S15.x2y 2k ii1方程+1 表示雙曲線的充要條

3、件是k +1k 541i3N6在 ABC 中，已知 cos A， tan(AB)，則 tan C的值是Y52輸出 Sx 1,結束則 x2+ y27.已知實數(shù) x, y 滿足 y 3 ,2 x 的最小值是 （第 3題圖）xy + 1 0,第1頁共14頁8.已知 Sn 是等差數(shù)列a n的前 n 項和，若S 77 ， S1575 ，則數(shù)列Sn的前 20 項和為n9.已知三棱錐PABC 的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PA ， PB ， PC 三條側棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為2 6 ，則三棱錐PABC 的體積為10 已知 O 為 ABC 的外心，若5OA12OB13OC0

4、，則C 等于1 或11.已知數(shù)字發(fā)生器每次等可能地輸出數(shù)字2中的一個數(shù)字，則連續(xù)輸出的4 個數(shù)字之和能被3整除的概率是12.若 a 0,b0 ，且1+1 1，則 a + 2b的最小值為2a + bb + 1x2, 0 x1,若 ab 0，且 f (a)f ( b) ，則 bf ( a) 的取值范圍是 13 已知函數(shù) f (x)1 ,2xx 1.214.已知曲線 C ： f ( x)x +a0)，直線l ： y x ，在曲線 C 上有一個動點P ，過點 P 分別作( ax直線 l 和 y 軸的垂線，垂足分別為A, B . 再過點 P 作曲線 C 的切線，分別與直線l 和 y 軸相交于1點 M,N

5、 ， O 是坐標原點 .若 ABP 的面積為，則 OMN 的面積為2二、解答題 : 本大題共 6小題，1517每小題14 分， 1820 每小題 16分，共計90 分請在答題卡指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.如圖， AB ， CD 均為圓 O 的直徑，CE圓 O 所在的平面，BFCE . 求證：平面 BCEF平面 ACE ；E直線 DF平面 ACE FCAOBD（第 15題圖）16 已知 ABC 的面積為 S ，角 A, B, C 的對邊分別為a, b, c ， AB AC3S 2求 cos A 的值；若 a, b, c 成等差數(shù)列，求sin C 的值17 已知

6、一塊半徑為r 的殘缺的半圓形材料ABC ， O 為半圓的圓心，OC1 r ，殘缺部分位于過點第2頁共14頁2C 的豎直線的右側現(xiàn)要在這塊材料上截出一個直角三角形，有兩種設計方案：如圖甲，以 BC為斜邊；如圖乙，直角頂點E 在線段 OC 上，且另一個頂點D 在 AB 上要使截出的直角三角形的面積最大，應該選擇哪一種方案？請說明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值18 如圖，在平面直角坐標系xOy 中，已知橢圓E ：x 2y2b 0)的離心率 e3，A1,A2221(aab2分別是橢圓E 的左、右兩個頂點，圓A2 的半徑為a ，過點 A1作圓 A2的切線，切點為P ，在 x 軸的上方交橢圓E于點

7、Q求直線 OP 的方程；PQ求的值；QA 1設 a 為常數(shù)過點O 作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓E 于點 B,C ，分別交圓A2 于點M,N ，記 OBC和 OMN 的面積分別為S1，S2，求 S1S2 的最大值yPQMBA1OA2xCN（第 18 題圖）a + a19 已知數(shù)列an 滿足： a1a + 2(a 0) ， a n 1n， n N* 2第3頁共14頁若 a0 ，求數(shù)列an的通項公式；設 bnan 1an ，數(shù)列bn 的前 n 項和為 Sn ，證明：S na1 20 已知函數(shù)f (x) ln x ax 2x ， aR 若函數(shù)yf (x) 在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，求a 的取值范圍

8、；設函數(shù)yf (x) 的圖象被點P(2, f (2)分成的兩部分為c1, c2（點 P 除外），該函數(shù)圖象在點Pl處的切線為，且 c1, c 2 分別完全位于直線l 的兩側，試求所有滿足條件的a 的值宿遷市高三年級第三次模擬考試數(shù)學（附加題）第4頁共14頁注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷共2 頁，均為解答題21 題 第 23 題）。本卷滿分為40 分，考試時間為30 分鐘。（第考試結束后，請將答題卡交回。2答題前，請您務必將自己的姓名、考試號等用書寫黑色字跡的0.5 毫米簽字筆填寫在答題卡上，并用2B 鉛筆正確涂寫考試號。3作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5 毫米

9、簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。如有作圖需要，可用2B 鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。21. 【選做題】本大題包括A、B、C、D共4小題，請從這 4 題中選做 2 小題每小題 10分，共 20分請在答題卡上準確填涂題目標記解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修 4-1 ：幾何證明選講如圖，已知圓A，圓 B 都經(jīng)過點C， BC是圓 A的切線，B交 AB 于點 D，連結CD 并延長交圓A于點E，連結 AE .求證 DEDC2AD 圓 DB.CADBE（第 21 A 題圖）B選修4-2 ：矩陣與變換已知 a , b1al ： 2xy 3 變換為自身，求 M 1 .

10、R ，若矩陣 M所對應的變換把直線b3C選修4-4 ：坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，已知直線2cos+sin+ a0(a0) 被圓4sin截得的弦長為2，求a 的值 .D選 4-5 ：不等式選講2 y 3z 4 ，求 x2 + y2 + z2 的最小值修已知 x, y, z R ，且 x22 【必做題】本小題10 分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟如圖，在正三棱柱ABCA1 B1 C1 中，已知AA 1 6 ， AB2 ， M , N 分別是棱BB1 ， CC1 上的點，且BM4，CN2.第5頁共14頁求異面直線與1 1 所成角的余弦值；AMAC求二面角 MANA1 的正弦值 .BMB

11、1CNC1A1A（第 22 題圖）23 【必做題】本小題10 分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟已知函數(shù) f (x) C n0 x 2 n 1C1n x2n 2 Cn2 x2 n 3Cnr ( 1)r x2n1 rCnn ( 1) n x n 1 , n N 當 n 2 時，求函數(shù)f (x) 的極大值和極小值；是否存在等差數(shù)列 an ，使得 a1Cn0a2 C 1nan 1Cnnnf (2)對一切 n N 都成立？并說明理由宿遷市高三年級第三次模擬考試數(shù)學參考答案與評分標準一、填空題3. 5； 4.( 1,5) ；6.111.3；2. 0.032 ；1,1 ； 5.；7. 1；3832

12、58.55；9.9 ；10.；11.； 12.2 3+1；13. ,3)； 14. 44824二、解答題15. 因為 CE 圓 O 所在的平面，BC圓 O 所在的平面，所以 CEBC ， ?2 分因為 AB 為圓 O 的直徑，點C 在圓 O 上，所以 ACBC ， ?3 分因為 ACCE C ， AC,CE平面 ACE ，所以 BC平面 ACE ， ?5 分因為 BC平面 BCEF ，所以平面 BCEF平面 ACE ?7 分由 ACBC ，又因為 CD 為圓 O 的直徑，所以 BDBC ，第6 頁共14頁因為 AC,BC,BD在同一平面內(nèi)，所以ACBD ， ?9 分因為 BD平面 ACE ，

13、AC平面 ACE ，所以 BD平面 ACE ?11 分因為 BFCE ，同理可證 BF平面 ACE ，因為 BDBFB ， BD,BF平面 BDF ，所以平面BDF平面 ACE ，因為 DF平面 BDF ，所以 DF平面 ACE ?14 分16. 由 AB AC3S ，得 bccos A314分bcsin A ，即 sin Acos A ?222293代入 sin 2A + cos 2 A1 ，化簡整理得，cos 2A ?4 分由 sin A4cosA ，知 cos A3250 ，所以 cos A ?6 分35由 2ba + c 及正弦定理，得2sin Bsin A + sin C ，即 2s

14、in( A + C)sin A + sin C， ?8 分所以 2sin Acos C+ 2cos Asin Csin A + sin C 由 cos A3及 sin A4 cosA，得 sin A4， ?10 分535代入，整理得 cosC4sinC 代入 sin 2C + cos 2 C821 ，整理得 65sinC 8sin C 48 0，?12 分解得 sin C12或 sinC4 13512因為 C(0,) ，所以 sinC ?14 分1317 如圖甲，設DBC，3r3r則 BDcos， DCsin ，?2 分22所以 S BDC9 r 2 sin 2?4 分916r2，16?6 分

15、當且僅當時取等號，43此時點 D 到 BC 的距離為D 在半圓形材料r，可以保證點ABC 內(nèi)部，因此按照圖甲方案得到直角4三角形的最大面積為9 r2 ?7 分16DDAA第7頁共14頁BOCBOEC（第 17 題甲圖）（第 17 題乙圖）如圖乙，設EOD，則 OEr cos， DEr sin，所以 S BDE12(1cos)sin ?10 分r，, 232設 f ( ) 1r 2 (1cos)sin，則 f ()1r 2 (1cos)(2cos1) ，22當 () 0 ，所以E 與點 C 重合時，, 時， f時，即點32332 ?BDE 的面積最大值為3r13分8392因為3 r 2r，816

16、所以選擇圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為33 r 2 ?818 連結A2 P ，則 A2 PA1 P ，且 A2 Pa ，又 A1 A22a ，所以A 1 A2 P60 .所以POA260 ，所以直線OP 的方程為 y3 x . ?3由知，直線A2 P 的方程為 y3( xa) ， A1P 的方程為 y( x a) ，a3聯(lián)立解得 x P?.2x2因為3c323221 2e2 ，即 a2 ，所以 c4a ， b4 a ，故橢圓E 的方程為 a2 +3y( xa),a ， ?由3解得 x Qx 24 y 27a2+ a21 ,a( a )所以 PQ273 ?QA1a( a)47不妨

17、設 OM 的方程為 ykx (k 0) ，第8 頁共14頁14 分3 分5 分4 y 2a21 .7 分8 分ykx ,aak聯(lián)立方程組x24 y2解得 B(,) ，a2 +21 ,1 4k 21 4k 2a所以 OB a1 k 22 ； ?10 分14k1用代替上面的k ，得 OC a 1kk4k22同理可得， OM2a， ON2ak ?13 分1 k 21k21所以 S1 S2OB OC OMON a4k?4(1 4k 2 )(4k2 )1因為k1，(14k 2 )(4 k 2 )2154(kk2 )17a當且僅當 k1 時等號成立，所以S1 S2的最大值為4 ?an519 若 a0 時，

18、 a2 ， a，所以2a2a，且 a 0 1n 12n 1nn兩邊取對數(shù)，得lg2 + 2lg a n 1lg a n ，?化為 lg an 1 + lg21(lg a+ lg2)2n，因為 lg a 1 + lg22lg2，所以數(shù)列 lgan + lg2是以 2lg 2為首項，1 為公比的等比數(shù)列 ?2所以 lg an + lg22(1 ) n 1 lg2 ，所以 a n 222 n 1 ?2由 a n 1an + a ，得 2an2 1an + a ，2當 n 2 時， 2a n2an 1 + a ，14 分16 分2 分4 分6 分第9 頁共14頁 ，得 2(a n 1 + an )(a

19、n 1 an ) an an 1 ，?8 分由已知 an0 ，所以 an 1an 與 a nan 1 同號 ?10 分因為 a 2a + 1 ，且 a0 ，所以 a 12a22( a + 2) 2(a + 1) a 2 + 3a + 3 0 恒成立，所以 a 2a10 ，所以 an 1an0 ?12 分aa因為 b nn 1n ，所以 bn(an 1 an) ，所以 S n( a 2a1 ) + (a3 a2 ) + + ( a n 1 an )(an 1a1 )a1an1a1 ?120 f ( x)12ax12ax 2 + x( x 0)， ?xx只需要 2ax 2x1 0，即1111 21

20、 ，12a x2x(x2 )4所以 a ?8因為 f ( x)1x2ax1所以切線 l的方程為 y(1)( x2)ln 24a2 4a21ax 2令 g ( x)ln xx( 4a)(x2)ln 24a2 ，則 g(2) 0 22ax2111(4a2) x 1g (x)2ax4a ?x2x若 a0 ，則 g ( x)2x，2x當 x(0,2) 時， g ( x)0；當 x(2, +) 時， g ( x)0 ，所以 g( x) g(2)0 ， c1 ,c2 在直線 l 同側，不合題意；?2a( x 2)( x1 )若 a0 ， g ( x)x4a ，16 分2 分4 分6 分8 分第10頁共14

21、頁x1) 2(若 a12 0， g (x) 是單調(diào)增函數(shù)， g ( x)8x當 x(2, + ) 時， g ( x)g (2)0；當 x(0,2) 時， g (x)g(2) 0 ，符合題意；?10 分若 a11,2) 時， g (x)0 ， g( x) g (2)0，當 x (，84a當 x(2,) 時， g (x)0 ， g ( x)g (2)0，不合題意；?12 分1若 1a0 ，當 x (2,) 時， g ( x)0 ， g( x)g(2)0 ，84a當 x(0,2) 時， g ( x)0 ， g (x)g(2)0 ，不合題意；?14 分若 a0 ，當 x(0,2)時， g ( x)0

22、， g( x)g (2)0 ，當 x(2.) 時， g ( x)0 ， g( x)g (2)0 ，不合題意1故只有 a符合題意?16 分8附加題21 A 由已知， ACBC ，因為ACD +BCD90，ACAE，BCBD ，C所以ACDE， BCDBDC ，A D因為ADEBDC ，所以E+ ADE90，BF所以 AEAB . ?5 分E延長DB交B于點 F，連結 FC ，則 DF2DB ，DCF90，（第 21 A 題圖）所以ACDF ，所以EF ，所以 Rt ADE Rt CDF，所以ADDE，所以 DEDCAD DF，因為 DF2DB ，CDDF所以 DE DC2 AD DB . ?10

23、 分BM 對于直線 l 上任意一點x, y，在矩陣對應的變換作用下變換成點 x , y，1axx + ayx則，b3ybx + 3yy因為 2 xy3 ，所以 2(x + ay)(bx + 3 y)3 ，?4 分第11頁共14頁所以2b2,解得 a1 ,2a31,b4.所以 M11， ?7 分43所以 M131 .?10 分41C 直線的極坐標方程化為直角坐標方程為2x + y + a0 ，?3 分圓的極坐標方程化為直角坐標方程為x2 + y24 y ，即 x2 + ( y2) 24 ， ?6 分因為截得的弦長為2，所以圓心(0,2)到直線的距離為4 13 ，2 + a3 ，因為 a0，所以

24、a15 2.?10 分即5D 由柯西不等式，得x + (2) y+ (3) z 2 1 2 + ( 2)2 + ( 3) 2 ( x 2 + y2 + z2 ) ，即 ( x 2 y3z)2 14( x2+ y2 + z2 ) ，?5 分即 16 14( x 2 + y2 + z2 ) .82 + y2 + z2 的最小值為8所以 x 2 + y2 + z2 ，即 x.?10 分7722 以 AC 的中點為原點 O ，分別以 OA ,OB 所在直線為x, z 軸，建立空間直角坐標系Oxyz （如圖） . 則 O(0,0,0)， A(1,0,0) ， C( 1,0,0)， B(0,0,3)， N

25、 ( 1,2,0)， M (0,4,3)，A1(1,6,0) ，zC1 ( 1,6,0).BMB1所以 AM( 1,4,3)， AC(2,0,0) .CNC111所以 cosAM,AC 11AM A 1C125Oy，AMA C2 2010A111A（第 22 題圖）所以異面直線與 1 15. ?x5 分AMAC 所成角的余弦值為10平面 ANA 1 的一個法向量為m(0,0,1) .設平面 AMN的法向量為 n( x, y, z) ，因為 AM( 1,4,3)，AN (2,2,0) ，第12頁共14頁n由AM,得x + 4y +3z 0, 令 x1 ，則 n (1,1, 3) .nAN,2x + 2 y