直線的交點坐標與距離公式最新修正版

1、最新修正版§ 3.3直線的交點坐標與距離公式§ 3.3.1兩條直線的交點坐標一、教材分析本節(jié)課從知識內(nèi)容來說并不是很難，但從解析幾何的特點看，就需要培養(yǎng)學生如何利用直線方程來討論其特點，得到直線交點，以及交點個數(shù)對應于直線在平面內(nèi)的相對位置關(guān)系在教學過程中應該圍繞兩直線一般方程的系數(shù)的變化來揭示兩直線方程聯(lián)立解的情況，從而判定兩直線的位置特點，設置平面內(nèi)任意 兩直線方程組解的情況的討論，為課題引入尋求理論上的解釋，使學生從熟悉的平面幾何的直觀定義深入 到準確描述這三類情況.在教學過程中，應強調(diào)用交點個數(shù)判定位置關(guān)系與用斜率、截距判定兩直線位置關(guān)系的一致性.二、教學目標1 .

2、知識與技能_(1) 直線和直線的交點._(2) 二元一次方程組的解._2 .過程和方法_(1)學習兩直線交點坐標的求法，以及判斷兩直線位置的方法.(2 )掌握數(shù)形結(jié)合的學習法._(3) 組成學習小組，分別對直線和直線的位置進行判斷，歸納過定點的直線系方程3 .情態(tài)和價值_(1) 通過兩直線交點和二元一次方程組的聯(lián)系，從而認識事物之間的內(nèi)在的聯(lián)系.(2) 能夠用辯證的觀點看問題 ，三、教學重點與難點教學重點：根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系和已知兩相交直線求交點.教學難點：對方程組系數(shù)的分類討論與兩直線位置關(guān)系對應情況的理解.四、課時安排1課時五、教學設計(一) 導入新課思路1.作出直角坐標系

3、中兩條直線，移動其中一條直線，讓學生觀察這兩條直線的位置關(guān)系.課堂設問：由直線方程的概念，我們知道直線上的一點與二元一次方程的解的關(guān)系，那如果兩直線相 交于一點，這一點與這兩條直線的方程有何關(guān)系？你能求出它們的交點坐標嗎？說說你的看法.思路2.你認為該怎樣由直線的方程求出它們的交點坐標？這節(jié)課我們就來研究這個問題.(二)推進新課、新知探究、提出問題 已知兩直線li:Aix+Biy+Ci=0,l2：A2X+B2y+C2=0,如何判斷這兩條直線的關(guān)系? 如果兩條直線相交，怎樣求交點坐標？交點坐標與二元一次方程組有什關(guān)系？ 解下列方程組(由學生完成)：3x+4y-2=0,怒一6廠3=0,f260,(

4、i)仁 + +o c ； (ii)1 .1； (iii H 1 ,1 2x +y+ 2=0,y= x +！y = -x+-I 32132如何根據(jù)兩直線的方程系數(shù)之間的關(guān)系來判定兩直線的位置關(guān)系？ 當入變化時，方程3x+4y-2+入(2x+y+2)=0表示什么圖形，圖形有什么特點？求出圖形的交點坐標 討論結(jié)果：教師引導學生先從點與直線的位置關(guān)系入手，看下表，并填空幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點AA(a , b)直線ll: Ax+By+C=0點A在直線上直線li與l2的交點A 學生進行分組討論，教師引導學生歸納出兩直線是否相交與其方程所組成的方程組的關(guān)系.設兩條直線的方程是li：Aix+B iy+Ci=

5、0,l 2：A2X+B2y+C2=0,如果這兩條直線相交，由于交點同時在這兩條直線上，交點的坐標一定是這兩個方程的唯一公共解，那么以這個解為坐標的點必是直線li和12的交點，因此，兩條直線是否有交點，就要看這兩條直線方程所組成的方fAi X + Bi y +0=0,程組J ii '是否有唯一解.A2x + B2 y + C2 = 0(i )若二元一次方程組有唯一解，則li與l2相交；(ii )若二元一次方程組無解，則li與12平行；(iii)若二元一次方程組有無數(shù)解，則li與12重合.即唯一解pi'l相交，轉(zhuǎn)化彳無窮多解=li'l重合無解(代數(shù)問題)(幾何問題)引導學生

6、觀察三組方程對應系數(shù)比的特點：直線ll、12聯(lián)立得方程組轉(zhuǎn)化li、l平行.342 6(i )工；(ii)-=21133 2-6 i=;(iii)=工一-i丿 i -i i232般地，對于直線 li：Aix+Biy+Ci=O, l2：A2X+B2y+C2=0(AiBiCiM OABzCz* 0有唯一解二AA?B2l1l2相交,方程組Aix + Biy+Ci =0A2x + B2 y +C2 =0=旦無窮多解二A2B2iii2平行.A2B2C2注意：(a)此關(guān)系不要求學生作詳細的推導(b)如果Ai，A2，Bi，B2，Ci，C2中有等于零的情況，方程比較簡單，兩條直線的位置關(guān)系很容易確定(a)可以用

7、信息技術(shù)，當入取不同值時，通過各種圖形，經(jīng)過觀察，讓學生從直觀上得出結(jié)論，同時發(fā)現(xiàn)這些直線的共同特點是經(jīng)過同一點.(b)找出或猜想這個點的坐標，代入方程，得出結(jié)論.(C)結(jié)論：方程表示經(jīng)過這兩條直線li與12的交點的直線的集合.，因為過程比較繁雜，重在應用(三)應用示例例1 求下列兩直線的交點坐標 ，li： 3x+4y-2=0,l2： 2x+y+2=0.3x + y - 2 = 0解:解方程組4'得x=-2 , y=2，所以li與l2的交點坐標為 M(-2 , 2).I2x+y+2 =0，變式訓練求經(jīng)過原點且經(jīng)過以下兩條直線的交點的直線方程.l1：x-2y+2=0,l 2：2x-y-2

8、=0.解:解方程組x-2y+2=0,2x-y-2=0,得 x=2,y=2,所以l1與l2的交點是(2,2).設經(jīng)過原點的直線方程為y=kx,把點(2,2)的坐標代入以上方程，得k=1,所以所求直線方程為y=x.點評：此題為求直線交點與求直線方程的綜合運用，求解直線方程也可應用兩點式.例2判斷下列各對直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點坐標(1) l 1: x-y=0 , l2： 3x+3y-10=0.(2) l 1: 3x-y+4=0 , I2 : 6x-2y-1=0.(3) l 1: 3x+4y-5=0 , l2： 6x+8y-10=0.活動：教師讓學生自己動手解方程組， 講評.看解題是否規(guī)范

9、，條理是否清楚，表達是否簡潔，然后再進行解:(1)解方程組x-y=0,：3x+3y-10 =0,5X =一，得355 5所以I1與l2相交,交點是(二工).3 33x -y +4 =0,(2)解方程組j yi6x-2y-1 =0,X2-得9=0,矛盾，方程組無解，所以兩直線無公共點(1)，ll/ I2.3x +4y -5 = 0,(3)解方程組1i6x+8y-10=0, X2 得 6x+8y-10=0.因此,和可以化成同一個方程變式訓練,即和表示同一條直線,ll與12重合.判定下列各對直線的位置關(guān)系，若相交，則求交點(1) 11：7x+2y-1=0,l 2：14x+4y-2=0.(2) l 1

10、：( 73 - 72 )x+y=7,l 2：x+( 73 + 72 )y-6=0.(3)1 i:3x+5y-1=0,l 2：4x+3y=5.答案：(1)重合，平行，相交，交點坐標為(2, - 1).例3 求過點A(1 , - 4)且與直線2x + 3y+ 5=0平行的直線方程.22解法一：直線2x+ 3y + 5=0的斜率為-,所求直線斜率為-.又直線過點A(1 , - 4),由直線方33程的點斜式易得所求直線方程為2x + 3y+ 10=0.解法二：設與直線2x + 3y + 5=0平行的直線l的方程為2x + 3y+ m=0,.T經(jīng)過點A(1 , - 4), 2X1 + 3* 4) + m

11、=0.解之，得 m=10. 所求直線方程為 2x + 3y+ 10=0.點評：解法一求直線方程的方法是通法，須掌握.解法二是常常采用的解題技巧.一般地，直線 Ax + By+ C=0中系數(shù)A、B確定直線的斜率.因此，與直線 Ax + By + C=0平行的直線方程可設為Ax + By + m=0 ,其中m待定.經(jīng)過點A（X0, y。），且與直線 Ax + By + C=0平行的直線方程為 A（x X0）+ B（y y0）=0. 變式訓練5求與直線2x +3y+ 5=0平行，且在兩坐標軸上截距之和為一的直線方程.6答案：2x+3y-1=0.（四）知能訓練課本本節(jié)練習1、2.（五）拓展提升問題：已

12、知a為實數(shù)，兩直線li：ax+y+1=0,l 2：x+y-a=0相交于一點，求證：交點不可能在第一象限及x軸上.a+1X = ,2a-1 若>0,則 a> 1.a2+1a1分析：先通過聯(lián)立方程組將交點坐標解出，再判斷交點橫、縱坐標的范圍.ax + y +1 = 0,解:解方程組1 y'，得ix+ya=0 I _ ly a-1a +1當a> 1時，一 < 0,此時交點在第二象限內(nèi)a -1又因為a為任意實數(shù)時，都有 a2+1 >> 0,故匚1豐0.a -1因為az 1否則兩直線平行，無交點）,A）不在x軸上. a 1a+1所以交點不可能在 x軸上，交點（

13、a 1（六）課堂小結(jié)本節(jié)課通過討論兩直線方程聯(lián)立方程組來研究兩直線的位置關(guān)系，得出了方程系數(shù)比的關(guān)系與直線位 置關(guān)系的聯(lián)系培養(yǎng)了同學們的數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.通過本節(jié)學習，要求學生掌握兩直線方程聯(lián)立方程組解的情況與兩直線不同位置的對立關(guān)系，并且會通過直線方程系數(shù)判定解的情況，培 養(yǎng)學生樹立辯證統(tǒng)一的觀點.當兩條直線相交時，會求交點坐標 .注意語言表述能力的訓練.通過一般形式的 直線方程解的討論，加深對解析法的理解，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化能力.以特殊”到一般”培養(yǎng)探索事物本質(zhì)屬性的精神，以及運動變化的相互聯(lián)系的觀點.（七）作業(yè)課本習題3.3 A組1、2、3,選做4題.§ 3.3.2兩

14、點間的距離一、教材分析點到平面的距離、兩個平面間.在平面直角坐標系中任意兩點它為以后學習圓錐曲線、動點距離概念，在日常生活中經(jīng)常遇到，學生在初中平面幾何中已經(jīng)學習了兩點間的距離、點到直線的距 離、兩條平行線間的距離的概念 ，到高一立體幾何中又學習了異面直線距離、 的距離等.其基礎是兩點間的距離，許多距離的計算都轉(zhuǎn)化為兩點間的距離 間的距離是解析幾何重要的基本概念和公式.到復平面內(nèi)又出現(xiàn)兩點間距離，到定點的距離、動點到定直線的距離打下基礎，為探求圓錐曲線方程打下基礎在學習解析幾何時應充解析幾何是通過代數(shù)運算來研究幾何圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的，因此， 分利用數(shù)形”結(jié)合的數(shù)學思想和方法. 在此之

15、前，學生已學習了直線的方程、兩直線的交點坐標，學習本節(jié)的目的是讓學生知道平面坐標系內(nèi)任 意兩點距離的求法公式，以及用坐標法證明平面幾何問題的知識，讓學生體會到建立適當坐標系對于解決 問題的重要性.課堂教學應有利于學生的數(shù)學素質(zhì)的形成與發(fā)展，即在課堂教學過程中，創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生 主動地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，充分調(diào)動學生學習的主動性、積極性；有效地滲透數(shù)學思想方法，發(fā)展學生 個性思維品質(zhì)，這是本節(jié)課的教學原則 .根據(jù)這樣的原則及所要完成的教學目標，下的教學方法：主要是引導發(fā)現(xiàn)法、探索討論法、講練結(jié)合法.二、教學目標1 .知識與技能：掌握直角坐標系兩點間的距離，用坐標證明簡單的幾何問題。_2

16、.過程與方法：通過兩點間距離公式的推導，能更充分體會數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。；.3 .情態(tài)和價值：體會事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，能用代數(shù)方法解決幾何問題。_三、教學重點與難點 平面內(nèi)兩點間的距離公式. 如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?如何根據(jù)具體情況建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祦斫鉀Q問題教學重點：教學難點：四、課時安排1課時五、教學設計(一)導入新課思路1.已知平面上的兩點Pi(xi,yi),P2(X2,y2),如何求Pi(xi,yi),P2(X2,y2)的距離|PiP2|?思路2.(i)如果A、B是X軸上兩點，C、D是y軸上兩點，它們的坐標分別是xA、xB> yC> y。，那么|AB|、|CD| 怎樣求？

17、(2)求 B(3，4)到原點的距離.(3)設 A(xi,yi), B(X2,y2)，求 |AB|.(二) 推進新課、新知探究、提出問題 如果A、B是x軸上兩點，C、D是y軸上兩點，它們坐標分別是Xa、Xb、yc、y。，那么|AB|、|CD|怎樣求？ 求點B(3，4)到原點的距離. 已知平面上的兩點Pi(xi,yi),P2(X2,y2)，如何求 Pi(xi,yi),P2(X2,y2)的距離 |PiP2|. 同學們已知道兩點的距離公式，請大家回憶一下我們怎樣知道的(回憶過程).討論結(jié)果： |AB|=|XB-XA|,|CD|=|yc-yD|. 通過畫簡圖，發(fā)現(xiàn)一個Rt BMO，應用勾股定理得到點B到

18、原點的距離是5.在直角坐標系中，已知兩點P1 (X1,y1)、P2(X2,y2)，如圖1,從P1、P2分別向X軸和y軸作垂線P1M1、P1N1 和 P2M2、P2N2,垂足分別為 M1(X1，0)、N1(0，y1)、M2(X2，0)、N2(0，y2)，其中直線 P1N1 和 P2M2相交于 點Q.在 Rt P1QP2 中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.因為 |P 1Q|=|M1M2|=|x2-X1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，所以 |P 1P2|2=|X2-X1|2+|y2-y1|2.由此得到兩點 P1（X1,y1）、P2（X2,y2）的距離公式：|P1P2|=+

19、 （ y2 y1 ）. （a）我們先計算在X軸和y軸兩點間的距離.（b）又問了 B（3,4）到原點的距離，發(fā)現(xiàn)了直角三角形 .（C）猜想了任意兩點間距離公式.（d）最后求平面上任意兩點間的距離公式.這種由特殊到一般，由特殊猜測任意的思維方式是數(shù)學發(fā)現(xiàn)公式或定理到推導公式、證明定理經(jīng)常應 用的方法同學們在做數(shù)學題時可以采用?。ㄈ檬纠?如圖2,有一線段的長度是13,它的一個端點是 A（-4，8），另一個端點B的縱坐標是3,求這個端點的橫坐標.解:設 B（x，3），根據(jù) |AB|=13， 即（x+4）2+（3-8）2=132，解得 x=8 或 x=-16.點評：學生先找點，有可能找不全，丟掉

20、點，而用代數(shù)解比較全面.也可以引至到 A（-4，8）點距離等于13的點的軌跡（或集合）是以A點為圓心、13為半徑的圓上與y=3的交點，應交出兩個點.例2 已知點A（-1 , 2）, B（2 , J7）,在x軸上求一點，使|PA|=|PB|,并求|PA的值.解:設所求點 P(X，0)，于是有 J(x+1)2 +(0-2)2 =J(x-2)2 +(0-77)2 . 由 |PA|=|PB|,得 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1.即所求點為 P(1，0),且|PA|= J(1 +1)2 +(0-2)2 =2J2 .（四）知能訓練 課本本節(jié)練習.（五）拓展提升 已知0 V XV 1,0 V

21、 y< 1,求使不等式 Jx2 +y2 +Jx2 +(1_y)2 + J(1_x)2 +y2+-X）2 +0 -y）2 >22中的等號成立的條件.1答案：X=y=丄.2（六）課堂小結(jié)通過本節(jié)學習，要求大家： 掌握平面內(nèi)兩點間的距離公式及其推導過程； 能靈活運用此公式解決一些簡單問題； 掌握如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祦斫鉀Q相應問題（七）作業(yè)課本習題 3.3 A組6、7、8; B組6.§ 3.3.3點到直線的距離§ 3.3.4兩條平行直線間的距離一、教材分析點到直線的距離是 直線與方程”這一節(jié)的重點內(nèi)容，它是解決點線、線線間的距離的基礎，也是研究 直線與圓的位置關(guān)系的

22、主要工具.點到直線的距離公式的推導方法很多，可探究的題材非常豐富.除了本節(jié)課可能探究到的方法外，還有應用三角函數(shù)、應用向量等方法.因此課程標準”對本節(jié)教學內(nèi)容的要求是：探索并掌握點到直線的距離公式，會求兩條平行線間的距離.”希望通過本節(jié)課的教學，能讓學生在公式的探索過程中深刻地領(lǐng)悟到蘊涵其中的重要的數(shù)學思想和方法，學會利用數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想和分類方法，由淺入深，由特殊到一 般地研究數(shù)學問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，學習方法為接受學習與發(fā)現(xiàn)學習相結(jié)合 學生的探究并不是漫無邊際的探究，而是在教師引導之下的探究；教師也要提供必要的時間和空間給學生 展示自己思維過程，使學生在教師

23、和其他同學的幫助下，充分體驗作為學習主體進行探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的 樂趣.二、教學目標1 .知識與技能_理解點到直線距離公式的推導，熟練掌握點到直線距離公式,2 過程和方法.會用點到直線距離公式求解兩平行線距離._3 .情感和價值認識事物之間在一定條件下的轉(zhuǎn)化，用聯(lián)系的觀點看問題：三、教學重點與難點教學重點：點到直線距離公式的推導和應用.教學難點：對距離公式推導方法的感悟與數(shù)學模型的建立.四、課時安排1課時五、教學設計，如果已知某點P的坐標為 P到直線I的距離呢？這節(jié)課我(一)導入新課思路1.點P(0,5)到直線y=2x的距離是多少？更進一步在平面直角坐標系中 (xo,yo),直線I的方程是Ax+

24、By+C=0,怎樣由點的坐標和直線的方程直接求點 們就來專門研究這個問題.如圖1,已知點P(Xo,yo)和A、0).思路2.我們已學習了兩點間的距離公式，本節(jié)課我們來研究點到直線的距離 直線I:Ax+By+C=0，求點P到直線I的距離(為使結(jié)論具有一般性，我們假設(二)推進新課、新知探究、提出問題的距離你最容易想到的方法是什么？各種做法若A、B中有一個為零，公式是否仍然成立? (如何求兩條平行線間的距離 ) 已知點P(xo,yo)和直線l:Ax+By+C=0，求點P到直線 的優(yōu)缺點是什么？ 前面我們是在 A、B均不為零的假設下推導出公式的， 回顧前面證法一的證明過程，同學們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？活動

25、：請學生觀察上面三種特殊情形中的結(jié)論(i )xo=o,yo=o 時，d= | C |； (ii )Xo工 0,y=0 時，1=*滄十'丨Ja2+b2Ja2 + B2亠 | By0 + C |(iii )xo=O,yo*0時，d=,.J A2 +B2觀察、類比上面三個公式，能否猜想：對任意的點P(X0,y0), d=?學生應能得到猜想：d= Ax。中Byo十C .Ja2 +b2啟發(fā)誘導：當點P不在特殊位置時，能否在距離不變的前提下適當移動點P到特殊位置，從而可利用前面的公式？(引導學生利用兩平行線間的距離處處相等的性質(zhì)，作平行線，把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形來處理)證明:設過點P且與直線Cl

26、平行的直線li的方程為Ax+By+C 1=0,令y=0，得P' ( ,0).A P'|A (-字)+C|N A Ja2 +B2|C-Ci |Ja2 + B2(*) P在直線 li:Ax+By+C 1=0 上, - Axo+By o+Ci=O. - Ci=-Ax o-By o.代入(*)得'P '即 d” +Byo7C|Ja2 +b2可以驗證，當 A=0或B=0時，上述公式也成立.| c _ c | 引導學生得到兩條平行線l1:Ax+By+C 1=0與l2：Ax+By+C 2=0的距離d= 2Ja2 + b2證明：設P0(X0,y0)是直線Ax+By+C 2=0上

27、任一點，則點Po到直線Ax+By+C i=0的距離為dJAxo+Byo+C1Ja2 +B2|C1 -C2 |又 Axo+Byo+C2=o,即 Axo+Byo=-C2 , d=寸 A2 +B2討論結(jié)果：已知點P(xo,yo)和直線l:Ax+By+C=0，求點P到直線I的距離公式為 d= | Ax0c |va2 + b2當A=0或B=0時，上述公式也成立.1C _ C |兩條平行線 Ax+By+C 1=0與Ax+By+C 2=0的距離公式為d= 12Ja2 +B2(三)應用示例思路1例1求點Po(-1，2)到下列直線的距離:(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解：(1)根據(jù)點到直線的距離公式得d= 2*1)中2 10=學=2屁J52 5(2)因為直線3x=2平行于y軸，所以d=|-(-1)|=.3 3點評：例1(1)直接應用了點到直線的距離公式，要求學生熟練掌握; 性，并沒有局限于公式.變式訓練點A(a，6)到直線3x 4y=2的距離等于4,求a的值.體現(xiàn)了求點到直線距離的靈活解：13-處6-21=4= |3a-6|=20= a=20 或 a=463B(3 , 1), C(-1 , 0)，求 ABC 的面積.1解:設AB邊上的高為h,則 Sabc = |