第1講.特殊的平行四邊形--提高班

1、第1講特殊的平行四邊形菱形特殊的平行四邊形矩形正方形1菱形一、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.二、菱形的性質(zhì) 菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì); 菱形的四條邊都相等; 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角; 菱形是軸對(duì)稱圖形，它有 2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線.三、菱形的面積計(jì)算 利用平行四邊形的面積公式.1 菱形面積=2?a、b是兩條對(duì)角線的長度） 四、菱形的判定:+ 一組鄰邊相等=菱形）; 菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形 四條邊都相等的四邊形是菱形.幾何語言： AB=BC=CD=DA 二四邊形ABCD是菱形;). 對(duì)角線互相垂直的

2、平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”幾何語言： AC丄BD，四邊形ABCD是平行四邊形二平行四邊形 ABCD是菱形【例題精選】1. （ 2020?馬鞍山二模）在菱形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作AE丄BC,垂足為C,交BC于點(diǎn)E,若AC =V5, AE= 2，則菱形ABCD的面積為（A . 5D. 3/5【分析】由三角形面積得出坐=坐_島0B AE2由勾股定理得出方程，解方程得出BC =-2設(shè) BC =晶x,貝U OB = 2x,在 Rt OBC 中,即可得出答案.【解答】解：四邊形 ABCD是菱形,2， AC丄 BD, OA = OC = ±

3、AC =2 AE丄 BC,:, ABC的面積=2(2x) 2=(設(shè) BC =的，貝U OB = 2x,在Rt OBC中，由勾股定理得：（Jx） 2-解得：x= BC=|,菱形ABCD的面積=BC X AE =故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì),由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵2. （ 2020?文登區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連接 DF并延長，交CB的延長線于點(diǎn) E,連接AE，添加一個(gè)條件，使四邊形 AEBD是菱形，這個(gè)條件是（)A . / BAD = / BDA B . AB = DEC. DF = EFD . /

4、 BDC = / BAD【分析】由AAS證明 ADF BEF得出AD = BE,證出四邊形 AEBD是平行四邊形,再證出BD = BE,即可得出結(jié)論.【解答】解：添加一個(gè)條件/ BDC = / BAD，使四邊形AEBD是菱形；理由如下:四邊形ABCD是平行四邊形, AD / BC, AD = BC,/ BAD = / C, AD / BE,/ ADF = / BEF ,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn), AF = BF ,在 ADF和 BEF中,"ZADF=Zm,ZAFD=Zm,AF=BF ADFBEF (AAS), AD = BE,又 AD / BE,四邊形AEBD是平行四邊形,/ BDC = /

5、 BAD, / BAD = / C,/ BDC = / C, BD = BC,/ AD = BC, AD = BE, BD = BE,四邊形AEBD是菱形;【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.【隨堂練習(xí)】1. ( 2020?匯川區(qū)三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，已知B (- 3, 0)、C (2, 0),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()【解答】解:菱形4)C. (5, 3)D. (4,ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，B （- 3,0), C (2, 0),AB

6、= ad = BC, 0B= 3, OC = 2,AB= AD = BC = OB+OC = 5,AD = AB= CD = 5, oa-0B-3 = 4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5, 4）.故選：B.2.（2020春？錫山區(qū)期中）如圖，已知點(diǎn)E、F分別是四邊形ABCD 的邊 AD、BC的中點(diǎn),G、H分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn),要使四邊形 EGFH是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（)A . AB= CDB . AC= BDC. AC丄 BDD . AD = BC【解答】解：點(diǎn)E、F分別是四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn),EG= FH 誌AB, EH = FG

7、CD ,當(dāng)EG = FH = GF = EH時(shí)，四邊形 EGFH是菱形,當(dāng)AB = CD時(shí)，四邊形EGFH是菱形.故選：A.3 （ 2020?寧波模擬）菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長分別為10和24,則邊AB的長為（）A . 10B . 12C. 13D. 17【解答】解：菱形對(duì)角線互相垂直平分,:. AOB為直角三角形，且 AC = 2AO , BD = 2BO , AO= 5, BO = 12,故選：C.2矩形一、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.二、矩形的性質(zhì) 平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有; 角：矩形的四個(gè)角都是直角; 邊：鄰邊垂直; 對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等;矩形是軸對(duì)稱圖形，

8、又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.三、矩形的判定: 矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形; 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形; 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”【例題精選】1. （2020?濱海新區(qū)一模）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn)O, / AOB = 60°,A . 6B . 8c. 4/3【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)首先證明AOB是等邊三角形即可解決問題.【解答】解：

9、四邊形 ABCD是矩形, AC= BD, OA = OC, OD = OB , OA= OB,/ AOB= 60 ABO是等邊三角形,OA= AB= 4, AC= 2OA = 8,AOB是故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)等邊三角形.【隨堂練習(xí)】1. （ 2020?寧波模擬）如圖，矩形 ABCD的對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn) O,/ ACD = 30° .如果 ABC的周長比 AOB的周長大10,那么矩形 ABCD的邊AB的長是（A . 5fB . 10C. 10FD. 20【解答】解：四邊形 ABCD是矩形, AO= CO= DO = B

10、O , AD = BC，/ ABC = 90°, AB/ CD ,/ BAC=/ ACD = 30° AB = V BC,/ ABC 的周長=AB+AC+BC = AB+AO+OC + BC , AOB 的周長=AB+AO + BO ,又 ABC的周長比 AOB的周長長10, AB+AC+BC = AB+AO+OC + BC -( AB+AO+BO)= BC= 10, AB = VBC = 1話;2. （ 2020?莆田二模）矩形 ABCD的邊BC上有一動(dòng)點(diǎn) E,連接 AE、DE,以AE、DE為邊A .先變大后變小B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，？AEDF的面積（B .先變小后變大C

11、 .一直變大D .保持不變【解答】解：過點(diǎn)E作EG丄AD于G,如圖所示:則/ AGE= 90四邊形ABCD是矩形,/ ABC=/ BAD = 90°四邊形ABEG是矩形, EG= AB,四邊形AEDF是平行四邊形,ABCD 的平行四邊形 AEDF的面積=2 ADE的面積=2 AD X EG= AD X AB =矩形面積,即?AEDF的面積保持不變;DAC、BD3. （ 2020春？江陰市期中）已知：如圖，矩形 ABCD中，AB= 5, BC= 12,對(duì)角線相交于點(diǎn) 0 ,點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn)，且PE丄AC于點(diǎn)E, PF丄BD于點(diǎn)F，則PE + PF等于（6013B .曙【解答】解

12、：連接P0,矩形 ABCD 的兩邊 AB= 5, BC = 12 ,二 S 矩形 ABCD = AB?BC= 60, 0A = 0C, OB = OD , AC = BD, AC=13,11S4AOD= S矩形 ABCD= 15, OA = OD =AC=,422SAOD= SA OP+S4DOP = 2OA?PE+1OD?PFOA (PE+PF)222JLx鑒 X( PE+PF)2 2=15,故選：A.pE+pF 41，3正方形一、正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.二、正方形的性質(zhì)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角;正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，

13、并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角; 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形, 兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形, 有四條對(duì)稱軸.三、正方形的判定方法: 先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等;先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角.還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定.【例題精選】1. （ 2020?臺(tái)州）下列是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：它的對(duì)角線相等；它是一個(gè)正方形；它是一個(gè)矩形.下列推理過程正確的是（A.由推出，由推出B .由推出，由推出C .由推出，由推出D .由推出，由推出【分析】根據(jù)對(duì)角線相等的四邊形推

14、不出是正方形或矩形即可判斷.【解答】解：對(duì)角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形,故選項(xiàng)B, C, D錯(cuò)誤,【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.2. （ 2020春？高新區(qū)期中）如圖，已知正方形ABCD邊長為1,連接AC、BD, CE平分/B .75-1【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì),可以得到/BCE和/ BEC的度數(shù)，根據(jù)ACD交BD于點(diǎn)E,貝U DE長為（D 血-1勾股定理，可以得到 BD的長，然后即可得到 DE的長.【解答】 解：四邊形 ABCD是正方形，AB = BC = CD = DA = 1 ,/ B

15、CD = 90°- BD =也嚴(yán)燦2=匹AC為正方形 ABCD的對(duì)角線，CE平分/ ACD ,/ BCE= 67.5°，/ DCE = 22.5° ,/ BEC=/ EDC + / DCE = 45° +22.5° = 67.5°/ BEC=/ BCE, BC= BE, BC= 1, BE= 1 , DE = BD - BE =應(yīng)-1,【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.【隨堂練習(xí)】1. （ 2020春？建湖縣期中）如圖，在 ABC中，/ ACB = 90°, BC的垂直

16、平分線 EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E,且BE = BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形【解答】解:DFC. AC=BFD. CF丄BF BE= EC, EF垂直平分BC,BF = CF,/ BF = BE, BE= EC = CF = BF,四邊形BECF是菱形;當(dāng)BC = AC時(shí),/ ACB= 90則/ A= 45°時(shí)，菱形BECF是正方形./ A= 45°,/ ACB = 90°/ EBC= 45/ EBF = 2/ EBC = 2X 45°= 90菱形BECF是正方形.故選項(xiàng)A正確，但不符合題意;當(dāng)BD = DF時(shí)，利用正方形的判

17、定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng) B正確,但不符故選項(xiàng) C錯(cuò)誤，符合題意;合題意;當(dāng)AC = BF時(shí)，無法得出菱形 BECF是正方形,當(dāng)CF丄BF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng) D正確,但不符合題意.故選：C.2. （2020春？西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E, F在對(duì)角線BD上,且/ DAE = 67.5°，貝U BE的長為（四邊形AECF是菱形,A .麗D . 6 - 4/2【解答】解：在正方形ABCD 中，/ ABD =/ ADB = 45°,/ DAE = 67.567.5 ° = 67.5°在

18、ADE 中，/ AED = 180°- 45°-/ DAE = / AED, AD = DE = 4,正方形的邊長為 4, BD = 4西, BE= BD - DE = W2- 4.故選：C.3. （ 2019秋？龍華區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD是正方形,E是AB延長線上一點(diǎn)，且BE= BD，則/ BDE的度數(shù)是（A . 22.5B . 30C. 45D. 67.5°【解答】解： BE = DB,BDE = / E,DBA =/ BDE + Z BED = 45°BDE = Ax 45°= 22.52故選：A.綜合練習(xí)1. （ 2020春？

19、如東縣校級(jí)月考）如圖，菱形ABCD對(duì)角線 AC= 8cm, BD = 6cm,則菱形高DE長為（）B. 10cmC. 4.8cmD. 9.6cm【解答】解：菱形ABCD 對(duì)角線 AC = 8cm, BD = 6cm, AC丄 BD,OA =貧C =護(hù) 8 = 4cm,OB =6 = 3cm,根據(jù)勾股定理，AB=寸0 A? +0B2 = 5cm,菱形 ABCD 的面積=AC?BD = AB?DE ,即 Jlx 8X 6= 5DE ,2解得 DE = 4.8cm.故選：C.2,若周長為8，則此菱形2. （2020春？西城區(qū)校級(jí)期中）在菱形 ABCD中，/ A: / B = 1 :中較短的那條對(duì)角線

20、長為（C. 1A . 2/3【解答】解：如圖:四邊形ABCD是菱形, AB/ CD , AD = AB = BC = CD , AC丄 BD ,菱形ABCD的周長為8, AB= 2, AD / BC,/ DAB+ / ABC = 180°/ DAB : / ABC = 1: 2,/ DAB = 60 ABD是等邊三角形,BD = AB= 2,在 RtA OAB 中，/ OAB =丄/ DAB = 30 OB= 1, OAOB =庾, AC= 2OA = 3, > 2,較短的那條對(duì)角線長為2,3. （ 2020春?西城區(qū)校級(jí)期中）在四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC, BD互相平分，

21、若添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個(gè)條件可以是（A . / ABC = 90°B . AB = BCC. AB = CDD . AB / CD【解答】解：在四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC, BD互相平分,四邊形ABCD是平行四邊形,當(dāng)/ ABC= 90時(shí)，平行四邊形 ABCD是矩形.當(dāng)AB = BC時(shí),平行四邊形ABCD是菱形.當(dāng)AB = CD時(shí),平行四邊形ABCD還是平行四邊形.當(dāng) AB / CD 時(shí),平行四邊形ABCD還是平行四邊形.故選：B.4. （ 2020?靜安區(qū)二模）如圖,?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,那么下列條件中,能判斷？ABCD是菱形的為（

22、63;）A . AO= COB . AO= BOC.Z AOB = / BOCD . / BAD = / ABC【解答】解：選項(xiàng)A，由平行四邊形的性質(zhì)可知，對(duì)角線互相平分，故A不符合題意;選項(xiàng)B，由？ABCD中AO = BO可推得AC = BD，可以證明?ABCD為矩形，但不能判定?ABCD為菱形，故B不符合題意;選項(xiàng) C,當(dāng)/ AOB = / BOC 時(shí)，由于/ AOB+ / BOC= 180°,故/ AOB = / BOC = 90°,而對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C符合題意;選項(xiàng)D,由平行四邊形的性質(zhì)可知，/BAD + / ABC = 180，故當(dāng)/ BAD = / ABC 時(shí),/ BAD = / ABC = 90°,從而可判定？ABCD為矩形，故 D不符合題意.綜上，只有選項(xiàng) C可以判定？ABCD是菱形.故選：C.5. （ 2020春？云夢縣期中）菱形的周長為52cm，它的一條對(duì)角線長為 10cm，則此菱形的面積為（）2A . 120cm22B . 130cm2C . 210cm2D. 260cm【解答】解：如圖所示:菱形ABCD的周長為52cm,AB= 13cm,AC= 5cm, OB = !BD,四邊形ABCD是菱形,AB= BC = CD = DA