有理數及其運算知識點及練習.

1、一對一授課講義授課科目學生姓名授課教師授課時間授課內容有理數及其運算知識點 1：有理數的概念及其分類（ 1）整數可以分為正整數，零，負整數（ 2）分數可以分為正分數和負分數（ 3）整數和分數統(tǒng)稱為有理數例 1. 把下列各數填入相應的大括號內0.05,1,-5 ,-126,72.1,0,-12, 5 ,+729,-628,-33 ,3. 14 ,-1000.0133248（1）正整數集合：（）（2）負分數集合：（）（3）整數集合：（）（4）非負數集合：（）知識點 2：數軸(1) 數軸的 三要素：原點、正方向、單位長度（三者缺一不可） 。(2) 任何一個有理數，都可以用數軸上的 一個點來表示。（反

2、過來，不能說數軸上所有的點都表示有理數）(3) 如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數。（0 的 相反數是 0）(4) 在數軸上，表示互為相反數的 兩個點，位于原點的側，且到原點的距離相等。(5) 數軸上兩點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數在原點的右邊，負數在原點的左邊。例 1. 如果數a 和b 在數軸上的位置如圖所示，那么下列式子中成立的是（）（） a b （） a b （ab 0 （）a0b0ab例 2. 已知 a 是最小的正整數， b 的相反數還是它本身， c 比最大的負整數大3，計算1 （2a+3c）b 的值基 知識點 3：絕對值礎 1

3、. 絕對值的定義：一個數 a 的絕對值就是數軸上表示數 a 的點與原點的距離。數 a知的絕對值記作 |a| 。識 2. 正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的數；0 的絕對值是 0。2a(a0)a(a0)| a | 0( a0)或| a |0)a(a0)a(a越來越大-3-2-10123題 3. 絕對值的性質：除 0 外，絕對值為一正數的數有兩個，它們互為相反數；互為相反型 數的兩數（除 0 外）的絕對值相等；任何數的絕對值總是非負數，即|a| 0講 4. 比較兩個負數的大小，絕對值大的反而小。比較兩個負數的大小的步驟如下：解 先求出兩個數負數的絕對值；比較兩個絕對值的大??；根據“兩個負數，

4、絕對值大的反而小”做出正確的判斷。5. 絕對值的性質：對任何有理數a，都有 |a| 0；若 |a|=0 ，則 |a|=0 ，反之亦然；若 |a|=b ，則a=±b；對任何有理數a, 都有 |a|=|-a|例 1. 實數 a，b 在數軸上的位置如圖所示，則化簡代數式aba 的結果為（）b 0a例 2.絕對值最小的數是（）例 3.3 =（）例 4.若 a3，則 a=（）例 5.已知 a3b 30, 求 ab 的值。ab例 6. 已知 x=8，y=-4 ，求 x2 y的值知識點 4：有理數的加法 有理數加法法則： 同號兩數相加，取相同符號，并把絕對值相加。異號兩數相加，絕對值相等時和為 0

5、；絕對值不等時取絕對值較大的數的符號，并用較大數的絕對值減去較小數的絕對值。一個數同 0 相加，仍得這個數。 加法的交換律、結合律在有理數運算中同樣適用。靈活運用運算律，使用運算簡化，通常有下列規(guī)律：互為相反的兩個數，可以先相加；符號相同的數，可以先相加；分母相同的數，可以先相加；幾個數相加能得到整數，可以先相加。例 1. 下列結論不正確的是（）A. 若 a0，b0，則 a+b0B.若 a0，b0，則 a+b 0C.若 a0，b0，則 a b ，則 a+b0 D. 若 a0，b0，且 a b ，則 a+b0例 2. 已知 a 的相反數是 3 ，b 的絕對值為 4，c 是最大的非正數，求a+b+

6、c 的值。5例 3. 已知 a =5， b =6，且 ab，求 a+b 的值知識點 5：有理數的減法 有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。有理數減法運算時注意兩“變”：改變運算符號；改變減數的性質符號（變?yōu)橄喾磾担┯欣頂禍p法運算時注意一個“不變”：被減數與減數的位置不能變換，也就是說，減法沒有交換律。例1.若xy=0，則 ()Ax=yBx=-yCx=y=0Dx=y或x=-y例 2. a =5， b =8 且 a b =- （a+b）求 a-b 的值abcabc 的值。例 3. 思考題已知 a，b，c 都是有理數，且滿足b1，求代數式acabc知識點 6：有理數的混合運算有理數的

7、加減法混合運算的步驟：寫成省略加號的代數和。在一個算式中，若有減法，應由有理數的減法法則轉化為加法，然后再省略加號和括號；利用加法則，加法交換律、結合律簡化計算。 （注意：減去一個數等于加上這個數的相反數，當有減法統(tǒng)一成加法時，減數應變成它本身的相數。）例 1. 已知 a =3， b =1， c5 ，且 abab, ac(ac) ，求 a-b+c 的值例 2. 若數軸上的三個點 A，B，C表示的數分別為 a，b，c 且點 c 在點 A，B，之間，試說明 a cc ba b知識點 7：有理數的乘法有理數乘法法則： 兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。任何數與 0 相乘，積仍為 0。如果兩個

8、數互為倒數，則它們的乘積為 1。 乘法的交換律、結合律、分配律在有理數運算中同樣適用。有理數乘法運算步驟：先確定積的符號；求出各因數的絕對值的積。乘積為 1 的兩個有理數互為倒數。注意：零沒有倒數求分數的倒數，就是把分數的分子分母顛倒位置。一個帶分數要先化成假分數。正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。例1.已知a 與b 互為相反數，x 與y 互為倒數，c 的絕對值等于2，求abxy1 c 的23值例 2. 已知： a 與 b 互為相反數， x 與 y 互為倒數， m =5，求： m（a+b）+xy-2m知識點 8：有理數的除法有理數除法法則：兩個有理數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

9、0 除以任何非 0 的 數都得 0。0 不可作為除數，否則無意義。例 1.已知 a，b 互為相反數， c，d 互為倒數， m3,求 - 4 ab m - cd9例 2.用字母 x，y，z 表示任一數，若 x 0， y 0，則 x （）0yzz例 3.已知非零的有理數 a，b，c，滿足 abc1,則 abc （）abcabc知識點 9：有理數的乘方n個aa aaaan指數 有理數的 乘方底數冪注意：一個數可以看作是本身的 一次方，如 5=51；當底數是負數或分數時，要先用括號將底數括上，再在右上角寫指數。乘方的運算性質：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；任何數的偶數

10、次冪都是非負數； 1 的任何次冪都得 1，0 的任何次冪都得 0；-1 的偶次冪得 1；-1 的奇次冪得 -1 ；在運算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。例 1. （1）已知： x 5 ( y 6)20, z216,2008z 的值求（ x - y）（2）已知 x3 ，y 的平方等于16，求 x2y 2 的值例 2. 若 x2( 4) 2 , y 3( 2)3 , a2 ，求代數式 5x+4y-2a 的值5知識點 10：有理數的混合運算及科學記數法有理數混合運算法則：先算乘方, 再算乘除 , 最后算加減。如果有括號 , 先算括號里面的。科學記數法： 一般地，一個大于 10 的

11、數可以表示成a×10n 的形式，其中 1a<10，n 是正整數，這種記數方法叫做科學記數法。例 1. （1）（-10 2)53 1 5( 4)539399（2）112211222353（3）279912311241123412例 2. 已知 a，b 互為相反數， c，d 互為倒數， m24,求 abm - a b 2008cd 2009 的值cd例 3. 已知 a 1 (b 2)20, c3, 求（ a5的值b） - 4c例 4. 若（ a+1） 2 (2b 3) 2c 10, 求 aba c 的值3cb例 5. 用科學記數法表示下列各數（1）579 900 000（2）5 9

12、00000 000（3）350 000 000（4）0.000005 13把下列各數填入分別填在相應的大括號內1.1,- 4 ,8.9,5 ,-3.2,+1008, ,-0.05,0,-9,2856正整數集合：（）負整數集合：（）正分數集合：（）負分數集合：（）3 2. 在數軸上距離原點為2 的點所對應的數為（），它們互為（）3. 已知 m與 n 互為倒數， a 與 b 互為相反數， c 的絕對值為 3，求 amn-5c+b的值隨堂4. 1 -7×22192222757練710.5123 2(2)-14習711212(3)-321 92 33335.4課后作業(yè)13 690 00020

13、.0973300 000 0001.-1 4.3 +72 01-1257 26 1223 -6.46 26347 .2.3.02-1 01-1 012 34.abb0a（）ab（）a b （）ab 0 （）a0b5.如果 aa ，那么a 是，如果 aa ，那么a 是6.若a ，則 a；若a ，則 a 17.設a1，b1 ， c 是的相反數，則a, b, c 的大小關系是（）（） abc（） ab c（） a b c（） a b c8.若一個數a 的絕對值是，且a 在數軸上的位置如圖所示，試求a 的相反數a0 19. 若a2 ，給出下面4 個結論：aa ；aa ； 1a ； 1a 其中不正確的有

14、aa10.若 m 1 m1，則m1 ；若 m 1m 1，則m1 ；若 x4 ，則x；若 x1 ，則x2b0a c11.已知 a2,b2,c3，且有理數在數軸上的位置如圖所示，計算b c的值a, b, ca12.已知 x5， y3，且 x yx y ，求 xy 的值13.若 a3 , b2 ,則 ab14.（1）若m0 , n 0 ，則m n0；（2）若m 0 , n0，則m n（3）若a0 , b 0 ，且 ab ，則a b0；（4）若a0 , b 0 ，且 ab ，則a b015.已知ab0 ，且a0b ，則 ab 16.已知 a2b 30 ，則 ab 的相反數是17.若a ,bc , d互為倒數，則 a b2a bcdcd互為相反數，0；18.(1)111111112334200720082(2).41311；3 5 0.125537827(3). 01211612773a 0 , b 0，那