江西考生代數(shù)學(xué)習(xí)困難的心理學(xué)分析及解決措施

1、代數(shù)學(xué)習(xí)困難的心理學(xué)分析及解決措施作者：章建躍數(shù)量關(guān)系的符號表示是代數(shù)的靈魂，它能使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變化規(guī)律得到簡明表示，而且符號和表達式還能夠在探索解決問題的途徑中提供線索。代數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過式、方程、函數(shù)、不等式、數(shù)列等學(xué)習(xí)內(nèi)容，接觸到語言的、數(shù)字的、符號的和圖像的等各種數(shù)學(xué)表示，在學(xué)習(xí)這些表示的過程中，體會和理解用符號語言、構(gòu)造方程或函數(shù)的手段來表述各種關(guān)系、描述各種變化的方法。 一、代數(shù)學(xué)習(xí)困難的心理學(xué)分析 代數(shù)學(xué)習(xí)是在算術(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上進行的。從心理學(xué)角度看，代數(shù)學(xué)習(xí)要以學(xué)生抽象邏輯思維的發(fā)展為基礎(chǔ)。學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)接觸過某些代數(shù)思想，例如用“設(shè)未知量為x”建立方程的方法解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，

2、當然，對“未知量x”含義的了解是非常膚淺的。進入初中后學(xué)生要學(xué)習(xí)比較系統(tǒng)的代數(shù)內(nèi)容，學(xué)習(xí)中會產(chǎn)生許多困難。1 學(xué)生思維發(fā)展水平方面的原因。字母代數(shù)是由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的開端。通過有關(guān)數(shù)、式、方程、函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生不但要掌握各種概念、運算法則，而且要學(xué)習(xí)各種代數(shù)變形的思想方法。通過代數(shù)學(xué)習(xí)，使學(xué)生的歸納、演繹、抽象、概括等思維形式都獲得發(fā)展。從運算的角度說，代數(shù)運算（特別是式的運算和函數(shù)運算）主要是一種形式化的符號變換，其抽象程度較高，不像小學(xué)數(shù)學(xué)的運算那樣，有現(xiàn)實背景作為思維的強有力依托。因此，代數(shù)學(xué)習(xí)在促進學(xué)生邏輯思維發(fā)展的同時，又要以形式邏輯思維能力的發(fā)展作為基礎(chǔ)。心理學(xué)家曾經(jīng)

3、從（1）數(shù)學(xué)概念形成水平的發(fā)展；（2）數(shù)學(xué)命題演算水平的發(fā)展；（3）數(shù)學(xué)推理能力水平的發(fā)展等三個方面研究了中學(xué)生形式邏輯思維水平的發(fā)展情況，研究表明：在概念形成水平的發(fā)展上，要經(jīng)歷了解與認識概念、理解與掌握概念和靈活運用概念等階段。當前，學(xué)生（特別是初中學(xué)生）對概念的認識較多停留在感性的、初步的水平上，而對概念的發(fā)生發(fā)展過程、概念的內(nèi)涵與外延，特別是對概念間的內(nèi)在聯(lián)系的認識水平普遍較低。在數(shù)學(xué)命題演算水平的發(fā)展上，要經(jīng)歷能對帶有全程量詞的簡單命題進行演算但不能理解命題演算過程中邏輯連接詞含義、能進行簡單命題的合并和否定演算、能進行符合命題的否定演算等三級水平。通過循序漸進的命題形式的演算，學(xué)生

4、的命題演算水平獲得了發(fā)展，而且呈現(xiàn)年齡特征。初二學(xué)生大都集中在第一級水平上，初三學(xué)生雖然在同一級水平層次上有所發(fā)展，但仍以第一級水平上的人數(shù)為多。進入高中后，第一級水平的發(fā)展似乎停止，后兩級有一個飛速發(fā)展。這與學(xué)生的思維水平趨向成熟有關(guān)，也與高中數(shù)學(xué)課程中直接學(xué)習(xí)集合、簡易邏輯等與命題演算直接相關(guān)的內(nèi)容有關(guān)。所以，大多數(shù)初中學(xué)生的邏輯思維能力發(fā)展的水平較低。另外，學(xué)生掌握命題結(jié)構(gòu)的能力普遍較低。數(shù)學(xué)推理可以分為似真推理和邏輯推理兩個方面。在解決問題的過程中，分析問題、選擇解法往往以似真推理為主，而解題方法的具體實施則多與邏輯推理相關(guān)。邏輯推理的發(fā)展要經(jīng)歷四級水平：直接推理水平，即套用公式直接推

5、出結(jié)論；間接推理水平，即需要進行條件轉(zhuǎn)化、尋找依據(jù)、經(jīng)過多個步驟得出結(jié)論；迂回推理水平，即需要深入分析條件及相互關(guān)系，提出假設(shè)，反復(fù)驗證后才得出結(jié)論；綜合性推理水平，即要按照一定的數(shù)理邏輯規(guī)則、格式進行推理，追求推理過程的簡練、合理。研究表明，中學(xué)生邏輯推理水平普遍較低，初一學(xué)生有一半以上不能套公式做題，高中學(xué)生還有人不能按公式進行一步推理；多步推理成為普遍難題，綜合性推理更是困難重重。由上所述可知，學(xué)生形式邏輯思維發(fā)展水平不夠是造成代數(shù)學(xué)習(xí)困難的主要原因之一。由于學(xué)生的思維發(fā)展有其自身的規(guī)律性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)受到這種發(fā)展規(guī)律的制約，因此，在數(shù)學(xué)課程、教材和教學(xué)中，對學(xué)生提出恰當?shù)囊笫欠浅Ｖ匾摹?/p>

6、2自然語言、數(shù)學(xué)語言的理解能力以及轉(zhuǎn)換能力方面的原因。數(shù)學(xué)知識使用專門的數(shù)學(xué)語言來表述，數(shù)學(xué)思維必須借助于數(shù)學(xué)語言才能進行。因此，數(shù)學(xué)語言既是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，又是數(shù)學(xué)思維的工具。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的就是要學(xué)會一套具有一定系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)語言符號體系，并能在遇到問題時采用恰當?shù)臄?shù)學(xué)符號對問題作出表示。這種學(xué)習(xí)是建立在自然語言能力基礎(chǔ)上的。研究表明，數(shù)學(xué)語言及自然語言理解能力低、數(shù)學(xué)語言與自然語言的相互轉(zhuǎn)換困難等都會導(dǎo)致代數(shù)學(xué)習(xí)的困難。首先，自然語言常常是模糊的，有不確定性。將自然語言不加限定而直接應(yīng)用到數(shù)學(xué)中來，就有可能造成錯誤。有人舉過這樣一個例子：“一粒麥子構(gòu)不成一堆，對于任何一個數(shù)字n來說，如果n粒

7、麥子構(gòu)不成一堆的話，那么，n1粒麥子也構(gòu)不成一堆。因此，任意多的麥粒都不能形成堆?！痹斐蛇@個悖論的原因就是因為用了自然語言中“堆”這個模糊概念。因為n粒麥子與n1粒麥子是否構(gòu)成“堆”的界限是模糊的。為了克服這種模糊性，數(shù)學(xué)中常常對自然語言進行改造，加以限定、修飾，使其精確化，從而形成了數(shù)學(xué)語言簡練、明白、準確、形式化的特點。例如，“abba”表示交換律， “yf（x）”表示一元函數(shù)，等等。這些內(nèi)容如果用自然語言來敘述的話，不僅復(fù)雜，而且還不一定準確。對數(shù)學(xué)語言表述的理解，學(xué)生之間有差異性。例如，有人以“2元紙幣的數(shù)目是5角紙幣數(shù)目的7倍，5角紙幣的總值比2元紙幣的總值多3.60元，列方程求解2

8、元、5角紙幣的數(shù)目”為題，要求學(xué)生列出方程，結(jié)果出現(xiàn)三種情況：（1）設(shè)x為5角紙幣的數(shù)目，方程為：5x20×7x36；（2）設(shè)x為5角紙幣的數(shù)目，方程為：20×7x5x36；（3）題目錯誤，不能求解。分析顯示，得出（1）的學(xué)生是根據(jù)語言表述的結(jié)構(gòu)直接列方程；得出（2）的學(xué)生考慮了語言表述的實際內(nèi)容，從符合實際的角度列出方程；得出（3）的學(xué)生綜合考慮了上述兩種情況。因此，心理學(xué)家認為，理解數(shù)學(xué)語言表述的句子，應(yīng)從三方面進行：數(shù)學(xué)語言的句法結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)語言表達的實際內(nèi)容（稱為語義內(nèi)容）、句法與語義的關(guān)系。從學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)的表現(xiàn)看，他們在上述三個方面都存在困難。3.數(shù)字運算不過關(guān)的原

9、因。小學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)字運算，即正有理數(shù)的加、減、乘、除等，是代數(shù)學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)。所謂“數(shù)字運算過關(guān)”主要有三方面含義，一是能夠在一定算理的指導(dǎo)下，根據(jù)算法正確地完成運算任務(wù)；二是能夠根據(jù)題目特點，選擇恰當?shù)乃惴ǎ侠?、迅速地進行運算；三是能夠?qū)\算結(jié)果進行評估。這里特別強調(diào)正確前提下的運算速度問題，因為它不僅反映了學(xué)生對運算原理、法則理解的程度差異，而且還反映了運算習(xí)慣、思維概括能力等方面的差異。數(shù)字運算速度、運算習(xí)慣主要應(yīng)當在小學(xué)階段培養(yǎng)。顯然，數(shù)字運算中內(nèi)涵的這些關(guān)于運算的正確性、合理性、敏捷性、靈活性等品質(zhì)，對于中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)是至關(guān)重要。調(diào)查表明，由于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)措施不當，導(dǎo)致許多學(xué)生錯

10、過了養(yǎng)成良好運算習(xí)慣、形成必備運算技能的機會，致使后續(xù)的代數(shù)運算出現(xiàn)困難。4.數(shù)字記憶廣度方面的原因。數(shù)字記憶廣度是指在一定的時間內(nèi)所能夠記憶的數(shù)字容量，它反映了一個人對數(shù)字材料進行加工和處理、儲存和檢索的能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生能夠迅速而穩(wěn)定地記憶學(xué)習(xí)材料。這里不僅需要他們能夠記住以往學(xué)過的定理、公式、法則等“結(jié)果”，而且還能夠?qū)Α敖Y(jié)果”的來龍去脈、作用等有良好的記憶。做到這些的前提是在學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料進行充分的加工，通過對數(shù)學(xué)語言的句法結(jié)構(gòu)、語義及其兩者之間聯(lián)系的分析、對解題方案的深加工、挖掘數(shù)學(xué)思想方法等認知活動，盡量將學(xué)習(xí)材料中各種信息組合成“信息組快”，從而增加記憶容量、擴大記

11、憶范圍、延長記憶時間。研究表明，代數(shù)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生普遍存在記憶容量少、記憶線索模糊、記憶層次不清、記憶順序混亂、記憶時間短等問題。造成這些問題的原因，主要是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料中各種信息的組織、加工處理能力不足，長時記憶處于內(nèi)容無序、結(jié)構(gòu)混亂、提取線索不清晰的狀態(tài)等。 二、解決代數(shù)學(xué)習(xí)困難的措施 1.加強中小學(xué)數(shù)學(xué)的銜接。小學(xué)算術(shù)教學(xué)已經(jīng)滲透了一些代數(shù)的基礎(chǔ)知識，不過，學(xué)生對這些知識的認識還非常膚淺。例如，許多學(xué)生認為，2x7與2y7的意義不同，因為它們所含的“未知數(shù)”不同。因此，初中代數(shù)入門教學(xué)，既要強調(diào)在學(xué)生已有代數(shù)知識基礎(chǔ)上開展新的代數(shù)教學(xué)，又要注意糾正學(xué)生在以往學(xué)習(xí)中形成的不恰當概念。負數(shù)的

12、引入是代數(shù)學(xué)習(xí)的第一個難點。解決這個難點的措施，一是讓學(xué)生從自己的生活經(jīng)驗出發(fā)，充分認識到客觀世界中存在著許多具有相反意義的量，為了使它們在數(shù)學(xué)上得到準確的表示，就需要在已有正數(shù)的基礎(chǔ)上引進表示相反意義的量的方法負數(shù)；二是通過一定的數(shù)學(xué)運算，使學(xué)生感覺到只在正數(shù)的范圍內(nèi)就不足以完成新的運算，從而產(chǎn)生引進負數(shù)的需要。在具體教學(xué)中，可以利用“數(shù)軸”這一有力工具，通過“順序”解決有理數(shù)的大小比較問題，在此基礎(chǔ)上，再解決“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”這個難點。例如：計算2（5），由于2在（5）的右邊，比（5）大7，因此計算結(jié)果為7，相當于25。用字母表示數(shù)是從算術(shù)到代數(shù)的重要轉(zhuǎn)折點，但是，它的學(xué)

13、習(xí)是建立在算術(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的。教師應(yīng)當通過具體數(shù)字運算，讓學(xué)生觀察，總結(jié)規(guī)律，形成對“用字母表示數(shù)”的必要性的認識。實際上，過去學(xué)過的運算律（交換律、結(jié)合律、分配律等）、簡單幾何圖形的面積、行程問題等知識，都能說明用字母表示數(shù)的重要意義：普遍性、應(yīng)用的廣泛性等。初一教師還應(yīng)當注意研究小學(xué)的教學(xué)方法。從思維發(fā)展角度看，初一學(xué)生的思維仍然處于直觀形象思維水平，與小學(xué)生基本上處于同一階段。教師應(yīng)當充分注意這一特點，使教學(xué)符合學(xué)生的思維發(fā)展水平。教學(xué)中應(yīng)充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，通過對典型的、數(shù)量足夠的實際事例的觀察、分析、概括等來理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，并讓學(xué)生有充分的反復(fù)練習(xí)機會。教學(xué)中還要注意數(shù)學(xué)思

14、想方法的銜接。例如，代數(shù)中的列方程解應(yīng)用題是從小學(xué)的算術(shù)方法解應(yīng)用題過渡而來的，它們的一個共同特點是尋找等量關(guān)系。這樣，本著比較兩種思想方法的目的，可以在開始階段讓學(xué)生用“算術(shù)法”和“代數(shù)法”解同一個問題。在教師的引導(dǎo)下逐漸使學(xué)生認識到，在“算術(shù)法”中，未知數(shù)處于特殊地位，解題時一般由已知數(shù)為先導(dǎo)，逐漸向前探索，在解題基本結(jié)束時才確立已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系，這使題目的條件無法得到充分利用，導(dǎo)致解題困難。而“代數(shù)法”解題中，先用字母代替未知數(shù)，等于增加了一個條件，這個字母成為后續(xù)的分析和解決問題的有力“拐杖”。在尋找等量關(guān)系時，未知數(shù)始終和已知數(shù)處于同等地位，這就可以在解題過程中從整體出發(fā)，全

15、面考慮情況，這為等量關(guān)系的建立提供了極大方便。另外，未知數(shù)介入運算，在列式、計算上都比較簡捷。2.重視不同語言相互轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練。首先，教師應(yīng)當注意學(xué)生在日常生活和語文學(xué)習(xí)中形成的自然語言對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響。實際上，代數(shù)學(xué)習(xí)需要學(xué)生有較強的閱讀能力，代數(shù)知識的學(xué)習(xí)，首先是從對定義、定理、公式、法則等中的字詞含義的理解開始的，因此詞匯理解能力是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)（實際上也是整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)）。教學(xué)中要注意讓學(xué)生辨析相同的文字、符號在自然語言和數(shù)學(xué)語言中語義上的差異。例如，代數(shù)中的主要概念“變量”，它不是用來表示某個具體的量，而是用來表示任意“可能的”量，字母“x”可以理解為任意實數(shù)。但在自然語言中，一個

16、詞是否表示變量則與具體語言背景有關(guān)。例如，“學(xué)生都學(xué)數(shù)學(xué)”這句話中的“學(xué)生”是一個變量，它是泛指在學(xué)校里學(xué)習(xí)的任意一個人的，但在“這個學(xué)生沒上數(shù)學(xué)課”這句話中的“學(xué)生”就不是變量了。其次，應(yīng)當豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)語言的內(nèi)涵和外延的能力，并逐漸使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表述思想。這里，數(shù)學(xué)概念的理解和掌握是豐富學(xué)生數(shù)學(xué)語言的主要途徑，教師應(yīng)當要求學(xué)生不但記住數(shù)學(xué)概念的名稱，而且要掌握概念的產(chǎn)生背景和約束條件。數(shù)學(xué)原理、公式和法則等的學(xué)習(xí)則是建立數(shù)學(xué)語言句法結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵，因為數(shù)學(xué)是從數(shù)或形的角度對客觀事物進行研究的，形式化、符號化、模型化是數(shù)學(xué)研究的主要特征，這就使得數(shù)學(xué)日益成為形式系統(tǒng)，

17、包括規(guī)定數(shù)學(xué)詞匯，建立數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)；規(guī)定數(shù)學(xué)詞匯如何構(gòu)成公理的形成規(guī)則、公式變形的邏輯規(guī)則、以及作為推理的命題演算規(guī)則等，這些規(guī)則形成了數(shù)學(xué)語言的句法結(jié)構(gòu)規(guī)則。而建立數(shù)學(xué)語言的語義與句法的邏輯聯(lián)系則主要通過數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用來完成，其中包含感知問題的視覺語言、將視覺語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)文字符號或圖形、將數(shù)學(xué)文字符號依據(jù)一定的數(shù)學(xué)原理整合成數(shù)學(xué)語句、建立數(shù)學(xué)語句與數(shù)學(xué)定理、公式、法則等之間的聯(lián)系從而找到解決問題的關(guān)鍵等不同層次的認知活動。再次，要加強自然語言、數(shù)學(xué)符號語言、圖形語言相互轉(zhuǎn)換的實踐。例如，在代數(shù)入門階段，既可以讓學(xué)生由文字語言寫出代數(shù)式，也可以讓他們說出代數(shù)式所表達的意義；在應(yīng)用題教學(xué)中，可以讓學(xué)生先用自然語言、圖表語言列式，然后引進代數(shù)符號建立等量關(guān)系，還可以讓學(xué)生用自己的語言（自然語言）敘述某個方程所表示的等量關(guān)系等。將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為自然語言（即用學(xué)生自己的語言闡述數(shù)學(xué)問題），把用符號或圖形、表格形式表示的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自然語言的形式，把自然語言表述的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號、圖形、表格的表述形式，等等，都是非常重要的數(shù)學(xué)活動，也是解決代數(shù)學(xué)習(xí)困難的重要措施。最后，為學(xué)生提供數(shù)學(xué)交流的機會。讓學(xué)生“出聲想”，說出自己對數(shù)學(xué)知識的理解過程，說出自己的解題思路、對問題的分析過程，通過在“學(xué)習(xí)共同體”中個體思維的