正方體的截面形狀.

1、正方體的截面形狀一：?jiǎn)栴}背景在家做飯時(shí)，切菜尤其是切豆腐時(shí)，發(fā)現(xiàn)截面有很多形狀。若用不同的截面去截一個(gè)正方體，得到的截面會(huì)有哪幾種不同的形狀？二：研究方法先進(jìn)行猜想，再利用土豆和蘿卜通過(guò)切割實(shí)驗(yàn)研究。三：猜想及其他可能的證明：1.正方形：因?yàn)樵摿Ⅲw幾何圖形是正方體，所以用從任意位置與該正方體上下底面平行的平面進(jìn)行截取可以得到，或者和側(cè)面平行進(jìn)行截取，由下列圖示證明：= 由圖示可知，水平方向截取正方體，得到的截面為正方形。= 由圖示可知，豎直方向截取正方體，得到的截面為正方形。2.矩形：因?yàn)檎叫我矊儆诰匦危詫?duì)正方形的證明同適用于矩形。其次，當(dāng)長(zhǎng)寬不等的矩形截面的圖示如下：由上圖所示可知，按

2、不同角度截取正方體可以得到矩形。例如，正方體的六個(gè)對(duì)角面都是矩形。3.平行四邊形：當(dāng)平面與正方體的各面都不平行時(shí)，所得截面為平行四邊形，圖示如下：=由上圖所示可知，當(dāng)截面不與正方體的各面平行時(shí)，所得截面可能為平行四邊形。4.三角形：根據(jù)一定角度過(guò)正方體的三條棱進(jìn)行截取可以得到三角形的截面，圖示如下:= 由上圖可知，正方體可以截得三角形截面。但一定是銳角三角形，包括等腰和等邊三角形特別的，當(dāng)截面剛好經(jīng)過(guò)三個(gè)面的對(duì)角線時(shí)，所得的三角形截面為正三角形，圖示如下：= 得到：正三棱錐5.猜想之外的截面形狀：（1 ）菱形：如下圖所示，當(dāng)A,B 為所在棱的中點(diǎn)時(shí)，該截面為菱形：（2 ）梯形：如圖所示，當(dāng)按一

3、定角度使截面在正方體的上下底面上所存在的線段長(zhǎng)短有異時(shí)，所得截面可能是梯形：= （ 3）五邊形：如圖所示，可以截得五邊形截面：=通過(guò)實(shí)踐及資料查詢可知，無(wú)法得到正五邊形。（ 4）六邊形：如圖所示，可以截得六邊形截面：=特別的，當(dāng)平面與正方體各棱的交點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，截面為正六邊形，如圖所示：拓展探究： 1.正方體 最大面積的截面三角形2.正方體最大面積的截面四邊形 3.最大面積的截面形狀4.截面五邊形、六邊形性質(zhì)1. 正方體 最大面積的截面三角形：如該圖所示可證明，由三角面對(duì)角線構(gòu)成的三角形。2.正方體最大面積的截面四邊形:通過(guò)猜想及查詢資料可知，正方體截面可能得到的四邊形有：正方形、矩形、梯形、平

4、行四邊形。根據(jù)四邊形的面積公式：面積=長(zhǎng) *寬聯(lián)系正方體圖形：得到：當(dāng)由兩條平行的面對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形的長(zhǎng)最大，又因?yàn)樵诟鱾€(gè)情況下的寬不變。則由猜想得到： “最大面積的截面四邊形：由兩條平行的面對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形。”3. 最大面積的截面形狀：正方體的截面可以分為：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四邊形、五邊形、六邊形、正六邊形。其中三角形還分為銳角三角型、等邊、等腰三角形。梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。首先比較三角形與五邊形和六邊形，所得這三種截面的情況有一共同特點(diǎn)：不能完整在該截面所在平面在正方體內(nèi)所截的范圍的最大值，有部分空間空出。因此可以得到：最大面積一定是四邊形。所以最大面積的截面形狀：即最大截面四邊形（猜想）。初步推斷為如圖所示的矩形：4. 截面五邊形、六邊形性質(zhì)通過(guò)課本及資料查詢知：截面五邊形：有兩組邊互相平行.截面六邊形：三組對(duì)邊平行的六邊形.正方體的截面圖四：結(jié)論如下：1、可能出現(xiàn)的：銳角三角型、等邊、等腰三角形，正方形、矩形、非