第八章 圓錐曲線的方程

1、第八章 圓錐曲線的方程網(wǎng)絡體系總覽考點目標定位1.掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數(shù)方程.2.掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質.3.掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質.復習方略指南“應用性問題”和“探索性問題”將會出現(xiàn)在今后的高考中.學好本章的關鍵在于正確理解和掌握由曲線求方程和由方程討論曲線的性質這兩個問題.為此建議在學習中做到：1.搞清概念（對概念定義應“咬文嚼字”）；2.熟悉曲線（會“速寫”出符合題目數(shù)量特征要求的曲線）；3.熟練運用代數(shù)、三角、幾何、向量的知識；“大處著眼”（即在整體上把握問題的綜合信息和處理問題的數(shù)學思想）“小處

2、著手”（即在細節(jié)上能熟練運用各種數(shù)學知識和方法）.8.1 橢圓知識梳理定義F1、F2的距離之和等于定長（|F1F2|）的點的軌跡F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（0，1）的點的軌跡方程1. +=1（ab0），c=，焦點是F1（c，0），F(xiàn)2（c，0）2.+=1（ab0），c=，焦點是F1（0，c），F(xiàn)2（0，c）x=acos，為參數(shù) y=bsin 性質E：+=1（ab0）1.范圍：|x|a，|y|b2.對稱性：關于x，y軸均對稱，關于原點中心對稱3.頂點：長軸端點A1（a，0），A2（a，0）；短軸端點B1（0，b），B2（0，b）4.離心率：e=（0，1）5.準線：l1：x=，l2：x=6

3、.焦半徑：P（x，y）Er1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=aex思考討論 對于焦點在y軸上的橢圓+=1（ab0），其性質如何？焦半徑公式怎樣推導？點擊雙基1. （2007北京文4）橢圓的焦點為，兩條準線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）解析：橢圓的焦點為，兩條準線與軸的交點分別為，若，則，該橢圓離心率e，取值范圍是。答案：D2. （2007江西理9文12）設橢圓的離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點（）必在圓內必在圓上必在圓外以上三種情形都有可能解析：由=得a=2c，b=，所以，所以點到圓心（0，0）的距離為，所以點P在圓內.答案：A（為參數(shù)）的焦點坐

4、標為 x=4+5cos，y=3sin A.（0，0），（0，8） B.（0，0），（8，0）C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）解析：消參數(shù)得橢圓+=1，c=4.易得焦點（0，0），（8，0）.答案：Dx2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_.解析：橢圓方程化為+=1.焦點在y軸上，則>2，即k<1.又k>0，0<k<1.答案：0k15. （2007湖南理9）設分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在 使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）ABCD解析:由已知P，所以的中點Q的坐標為，由 當時，不存在，此時

5、為中點，綜上得答案：D典例剖析【例1】 已知F1為橢圓的左焦點，A、B分別為橢圓的右頂點和上頂點，P為橢圓上的點，當PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時，求橢圓的離心率.剖析：求橢圓的離心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一個量表示.本題沒有具體數(shù)值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1F1A，POAB易得b=c，a=b.解：設橢圓方程為+=1（ab0），F(xiàn)1（c，0），c2=a2b2，則P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.評述：由題意準確畫出圖形，利用橢圓方程及直線平行與垂直的性質是解決本題的關鍵.【例2】(2007浙江文21)如圖，

6、直線ykxb與橢圓交于A、B兩點，記AOB的面積為S ()求在k0，0b1的條件下，S的最大值； （)當AB2，S1時，求直線AB的方程本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓與直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力滿分15分 (I)解：設點A的坐標為(，點B的坐標為，由，解得所以當且僅當時，S取到最大值1（）解：由得AB 又因為O到AB的距離所以代入并整理，得解得，代入式檢驗，0 故直線AB的方程是 或或或【例3】（2007天津文22）設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，原點到直線的距離為（）證明；（）求使得下述命題成立：設圓上任意點處的切線交橢圓于，兩點，則本小題主

7、要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力滿分14分（）證法一：由題設及，不妨設點，其中，由于點在橢圓上，有， 即，解得，從而得到，直線的方程為，整理得 由題設，原點到直線的距離為，即，將代入原式并化簡得，即證法二：同證法一，得到點的坐標為，B過點作，垂足為，易知，故由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即（）圓上的任意點處的切線方程為當時，圓上的任意點都在橢圓內，故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，因此點，的坐標是方程組的解當時，由式得 代入式，得，即，于是，若，則所以，由，得在區(qū)間內此方程

8、的解為當時，必有，同理求得在區(qū)間內的解為另一方面，當時，可推出，從而綜上所述，使得所述命題成立闖關訓練夯實基礎1橢圓+y2=1的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|等于A. B. C. 解法一：（如下圖）設橢圓的右焦點為F1，左焦點為F2，過F1垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限的交點為P.+y2=1，a=2，b=1，c=.F1（，0）.設P（，yP）代入+y2=1，得yP=，P（，），|PF1|=.又|PF2|+|PF1|=2a=4，|PF2|=4|PF1|=4=.解法二：橢圓的左準線方程為x=.=e=，|PF2|=.解法三：由解法一得P（，），又F2（

9、，0），|PF2|=.答案：C評述：解法一和解法三為基本解法.解法二使用第二定義甚為巧妙.F1、F2為橢圓的兩個焦點，以F2為圓心作圓F2，已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓相交于M點，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率e為A. 1 B.2 C. D.解析：易知圓F2的半徑為c，（2ac）2+c2=4c2，（）2+2（）2=0，=1.答案：A3(2006年四川卷）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_;答案 35P是橢圓1（ab0）上任意一點，P與兩焦點連線互相垂直，且P到兩準線距離分別為6、12，則橢圓方程為_.解析：利用橢

10、圓的兩個定義結合勾股定理來求答案：15.橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是，求這個橢圓方程.解：由題設條件可知a=2c，b=c，又ac=，解得a2=12，b2=9.所求橢圓的方程是+=1或+=1.l過點M（1，1），與橢圓+=1相交于A、B兩點，若AB的中點為M，試求直線l的方程.解：設A（x1，y1）、B（x2，y2），則+=1， +=1. ，得+=0.=·.又M為AB中點，x1+x2=2，y1+y2=2.直線l的斜率為.直線l的方程為y1=（x1），即3x+4y7=0.培養(yǎng)能力O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓相交于

11、點P和點Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設橢圓方程為mx2+ny2=1（m>0，n>0），設P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程組y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）>0，即m+nmn>0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦長公式得2·=（）2，將m+n=2代入，得m·n=. 或解得 m=， m=，n= n=. 橢圓方程為+y2=1或x2+=1.8.（2006

12、年福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；（II）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍。解：（I）圓過點O、F，圓心M在直線上。設則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。記中點則的垂直平分線NG的方程為令得點G橫坐標的取值范圍為探究創(chuàng)新a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且=，P為GE與OF的交點（如下圖）.問是否存在兩個定點，

13、使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.分析：根據(jù)題設條件首先求出P點坐標滿足的方程，據(jù)此可判斷是否存在兩點，使得點P到兩定點距離的和為定值.解：按題意，有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）.設=k（0k1），由此有E（2，4ak），F(xiàn)（24k，4a），G（2，4a4ak）.直線OF的方程為2ax+（2k1）y=0. 直線GE的方程為a（2k1）x+y2a=0. 由消去參數(shù)k，得點P（x，y）滿足方程2a2x2+y22ay=0.整理得+=1.當a2=時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.當a2時，點P的軌跡為橢圓的

14、一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長.當a2時，點P到橢圓兩個焦點（，a），（，a）的距離之和為定值.當a2時，點P到橢圓兩個焦點（0，a），（0，a+）的距離之和為定值2a.評注：本題主要考查根據(jù)已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.在解題過程中蘊涵著方程思想、分類討論思想和構造法.思悟小結1.橢圓的定義是解決問題的出發(fā)點，尤其是第二定義，如果運用恰當可收到事半功倍之效（如關于求焦半徑的問題）.a、b、c、e的相互關系、幾何意義及與一些概念的聯(lián)系.靈活運用它們之間的關系可使問題順利解決.3.橢圓參數(shù)的幾何意義，如

15、下圖所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，=e；（2）|A1F1|=|A2F2|=ac，|A1F2|=|A2F1|=a+c；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，|PM2|+|PM1|=.教學點睛a、b、c、e的關系，及利用第二定義解決問題，關鍵是注意數(shù)形結合，函數(shù)與方程的思想，等價轉化的運用.為此建議在教學中注意以下幾點：（1）橢圓中有一個十分重要的三角形OF1B2（如下圖），它的三邊長分別為a、b、c.易見c2=a2b2，且若記OF1B2=，則cos=e.OF1B2、公式cos=e等，均不因坐標系的改變而改變.（3）橢圓的

16、定義中應注意常數(shù)大于|F1F2|.因為當平面內的動點與定點F1、F2的距離之和等于|F1F2|時，其動點軌跡就是線段F1F2；當平面內的動點與定點F1、F2的距離之和小于|F1F2|時，其軌跡不存在.（4）橢圓標準方程中兩個參數(shù)a和b確定了橢圓的形狀和大小.兩種標準方程中，總有ab0；橢圓的焦點位置決定標準方程的類型；a、b、c的關系是c2=a2b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同號，就是橢圓方程.（5）當題目中出現(xiàn)橢圓上的點與焦點的距離，焦點弦長相關時，常利用橢圓的第二定義，轉化為點到準線的距離來研究，即正確應用焦半徑公式.（6）使用橢圓的第二定義時，一定要注意動點P到焦點的距離與對應準線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點與準線不是對應的，則上述之比就不再是常數(shù)了.拓展題例【例1】（2006年全國卷I）在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：（）點M的軌跡方程；（）的最小值。解：（I）根據(jù)題意，橢圓半焦距長為，半長軸長為，半短軸長，即橢圓的方程為。 設點P坐標為（，）（其中），則切線C的方程為：點A坐標為：（，0），點B坐標為（0，），點M坐標為：（，）所以點M的軌跡方程為：（且）（II）等價于求函數(shù)