數(shù)字信號的處理參考試的題目3

1、實用標準文案第三章離散傅里葉變換1. 如圖 P3-1 所示，序列 x(n) 是周期為 6 的周期性序列，試求其傅里葉級數(shù)的系數(shù)。圖 P3-1解：5nk5j 2nk由X (k)x(n)e6x( n)W6n0n0j 2kj 2 2kj 2 3 kj 2 4kj 2 5k1412e610e68e66e610e660 ,計算求得X (0)X (1)9j 33,X (2)3j30 ,3 ,X (3)X (4)3jX (5)9j 332. 設 x(n)R4 (n) ， x(n)x(n) 6 ，試求 X (k ) ，并作圖表示x(n) ， X (k) 。解：552nkj kj2jke j k由 X (k )

2、x( n)W6nkx(n)e61 e 3e3n0n04 ,計算求得X (0)X (1)j3,X(2) 10 ,1,X (3)X (4)X (5)j 3x(n) ，| X ( k) | 如圖 P3-2所示。精彩文檔實用標準文案圖 P3-2n1,0 n 4R4 (n 2) 令 x(n)x(n) 6 ，h( n)h(n) 6 ，3. 設 x(n)，h(n)0, 其他 n試求 x(n) 與 h(n) 的周期卷積并作圖。解：在一個周期內的計算值y(n)x(n)h(n)x( m) h(nm)mx(n)123450y(n)N h(n m)00111101410011111221001111031100118

3、411100165111100104.已知 x(n) 如圖 P3-4(a) 所示，為 1，1，3，2，試畫出 x(n) 5 ， x( n) 6 R6 (n) ，x(n) 3 R3 (n) ， x( n) 6 ， x(n3) 5 R5 (n) ， x(n) 7 R7 (n) 等各序列。解：各序列如圖P3-4 （ b）所示。精彩文檔實用標準文案圖 P3-3圖 P3-4 （a）精彩文檔實用標準文案圖 P3-4 （b）5. 試求以下有限長序列的 N點 DFT（閉合形式表達式） ：(1)x(n)a cos(0 n)RN (n)(2)x(n)a n RN ( n)(3)x(n)(nn0 ),0 n0 N(

4、4) x(n) nRN (n)(5) x(n) n 2 RN (n)解：（ 1）因為 x(n)a cos(0n)RN (n) ，所以N1j2nkN 1j2X (k)a cos(n)e(k)1 a(e j 0nnk(k )0NRe j 0 n ) eNRNn0N2n01N 1j 2 k0nN 1j 2 k0 naeNeNRN (k )2n0n 01a1ej0 N1 ej0 NRN ( k)2j2kj2kN0N01e1e精彩文檔實用標準文案j0 Nj0 Nj0 Nj0 Nj0 Nj0 N1e2 (e 2e2 )e 2 (e 2e2 )aj 1 2 kj 1 2 kj 1 2 kj 1 2j 1 2

5、 kj 1 2 k2000k 0(e00e2 N(e 2 Ne 2 N) e 2 N2 Ne 2 N)j0 N1j0 N11 ae2sin0 Ne2 sin0 N1 2 k2j 1 2 k22j0101e2NsinNk0e2NsinNk022（ 2）因為 x(n)an RN (n) ，所以N1n2nk1 aNNX (k)a ejj 2kn01aeN（ 3）因為 x(n)(nn0 ),0n0N ，所以N12nkN12nk2n0 kX (k)x(n)ej(n n0 )ejjNNe Nn0n 0（ 4）因為 x(n)nRN (n) ，所以N 1N 1X ( k)nWNnk RN ( k),WNk X

6、 (k)nWN(n1) k RN (k)n 0n0N 1N 1X ( k)(1WNk )(nWNnknWN(n 1) k )RN (k )n0n0k2 k3k（N）( N 1) k2 k2 kWN2WN3WN1WN(WN2WN( N2)WN( N 1) kN1) RN (k)N 1(N 1)WNnk )R N (k)n1(N 1)W Nkk1 RN (k )NRN (k)1WN所以X (k )Nk RN (k )1WN（ 5）由 x(n)n2 RN (n)，則N1n 2WNnk RN (k )X ( k)n0根據(jù)第（ 4）小題的結論x1 (n)nRN (n)精彩文檔實用標準文案N 1則X (k

7、 )nWNnkn0N 1X (k )(1WNk )n2WNnkn 0N k RN ( k)1 WNN1n2WN( n 1)kn 0k2 k3k（2(N 1) k2 k3 kWN4WN9WN）WN4WNN 1WN（2( N1)k2N）(N 1)2 WN1) 2N11)WNnk( N( 2nn1N1N ( N2)2nWNnkn1N ( N2)2X 1 (k )N ( N2)2N1WNk所以X (k)N ( N2)WNkN 2,0kN1(1WNk ) 26. 如圖 P3-6(a)畫出了幾個周期序列x( n) ，這些序列可以表示成傅里葉級數(shù)1N1x(n)X ( k)e j (2/ N )nkN k0問

8、：（ 1）哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有的X (k ) 成為實數(shù)？（ 2）哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有的X (k ) ）（除 X (0) 外）成為虛數(shù)？（ 3）哪些序列能做到X (k) 0， k=± 2，± 4，± 6， 精彩文檔實用標準文案圖 P3-6 （ a）解：（1）要使 X (k ) 為實數(shù)，即要求X * (k )X ( k)根據(jù) DFT的性質， x( n) 應滿足實部偶對稱，虛部奇對稱 （以 n=0 為軸）。又由圖知， x(n) 為實序列，虛部為零，故x(n) 應滿足偶對稱x( n)x( n)即 x( n) 是以 n=0 為對稱軸的偶對稱，可看

9、出第二個序列滿足這個條件。如圖 P3-6(b) 所示。圖 P3-6（ b）（2）要使 X (k ) 為虛數(shù)，即要求X * (k )X (k )根據(jù) DFT 的性質， x(n) 應滿足實部奇對稱，虛部偶對稱（以n=0 為軸）。又已知 x(n) 為實序列，故x( n)x( n)即在一個周期內，x(n) 在一圓周上是以n=0 為對稱軸的奇對稱，所以這三個序列都不滿足這個條件。（3）由于是8 點周期序列，對于第一個序列有3j 2nk1 eX 1 (k )e8j k11kn 01 e() 0。當k2,4,6 時，X1k對于第二個序列有j k4jk1e4精彩文檔實用標準文案2j nkX 1 (k )e4n

10、 0()0。當k2,4,6 時，kX 11 e1 e3jkj k4對于第三個序列有x3 (n)x1 (n)x1 (n4)根據(jù)序列移位性質可知e j k(1 e jk ) 11kX 3 (k)X 1 (k)X 1 (k )k1je4當 k2, 4, 6 時，X 3 (k) 0。綜上所得，第一，第三個序列滿足X ( k) 0, k2,4,7. 在圖 P3-7(a) 中畫了兩個有限長序列，試畫出它們的六點圓周卷積。圖 P3-7（ a）5解：y(n)x1 (m)x2 ( n m) 6 R6 (n)m 0結果如圖P3-7(b) 所示。圖 P3-7 （ b）8. 圖 P3-8(a) 表示一個 5 點序列

11、x(n) 。（ 1）試畫出 x(n) * x(n) ；精彩文檔實用標準文案（ 2）試畫出 x(n)x(n) ；（ 4） 試畫出 x(n)x(n) ；圖 P3-8 （ a）解：個小題的結果分別如圖P3-8(b) ， P3-8(c),， P3-8(d) 所示。圖 P3-8 （ b）圖 P3-8 （ c）圖 P3-8 （ d）精彩文檔實用標準文案9. 設有兩個序列x(n)x( n),0 n50,其他 ny(n)y( n),0 n140, 其他 n各作 15 點的 DFT，然后將兩個 DFT相乘， 再求乘積的 IDFT ，設所得結果為f (n) ，問f (n) 的哪些點（用序號n 表示）對應于x(n)

12、 * y( n) 應該得到的點。解：序列 x(n) 的點數(shù)為 N1=6， y(n) 的點數(shù)為 N2=15，故 x(n) * y(n) 的點數(shù)應為NN1N2120又 f (n) 為 x(n) 與 y(n) 的 15 點的圓周卷積，即L=15。所以，混疊點數(shù)為N-L=20-15=5 。即線性卷積以15 為周期延拓形成圓周卷積序列f (n) 時，一個周期內在n=0 到 n=4(=N-L-1)這 5 點出發(fā)生混疊，即f (n) 中只有 n=5 到 n=14 的點對應于x(n) * y(n) 應該得到的點。10.已知兩個有限長序列為n 1,0n3x(n)n60,41,0n4y(n)n61,5試作圖表示

13、x(n) ， y(n) 以及 f ( n)x(n)y(n) 。解：結果如圖P3-10 所示。精彩文檔實用標準文案圖 P3-1011. 已知 x(n)序列 y(n)是 N 點有限長序列，X ( k)DFT x(n) ?，F(xiàn)將長度變成rN 點的有限長y(n)x(n),0 nN10, NnrN1試求 rN 點 DFTy(n) 與 X k的關系。解：N 12nkj由X (k)DFT x(n)x( n)eN,0kN 1n 0rN 1N1Y (k )DFT y(n)y(n)WrNnkx(n)WrNnk可得n 0n 0N 12kX kx(n)ejn, klr ,l0,1, ,N 1Nrn 0r所以在一個周期內

14、，Y(k ) 的抽樣點數(shù)是X (k) 的 r倍（ Y( k) 的周期為 Nr），相當于在X (k)的每兩個值之間插入r-1個其他的數(shù)值（不一定為零） ，而當 k 為 r 的整數(shù) l 倍時，Y (k )與 Xk相等。r12. 已知 x(n) 是 N 點的有限長序列，X (k )DFT x( n) ，現(xiàn)將 x(n) 的每兩點之間補進 r-1 個零值點，得到一個rN 點的有限長序列y(n)精彩文檔實用標準文案x(n / r ), n ir , n ir , i0,1, ,N 1y(n)其他 n0,試求 rN 點 DFT y(n) 與 Xk的關系。解：N 1由X (k ) DFT x( n)x(n)W

15、Nnk ,0k N1n 0可得rN1N1N 1Y( k)DFT y( n)y(n)WrNnkx irr WrNirkx(i)WNik ,0 k rN 1n0i0i 0而Y (k) X (k ) N RrN (k )所以 Y(k ) 是將 X (k) ( 周期為 N)延拓 r 次形成的，即Y(k ) 周期為 rN。13. 頻譜分析的模擬信號以 8kHz 被抽樣， 計算了 512 各抽樣的 DFT，試確定頻譜抽樣之間的頻率間隔，并證明你的回答。證明：由f ss , F0022得f ssF00其中s 是以角頻率為變量的頻譜的周期，0 是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。又f ssNF00則F0f sN對于本題

16、有f s 8kHz, N 512F0800015.625Hz51214.設由一譜分析用的信號處理器，抽樣點數(shù)必須為2 的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施，要求頻率分辨力10Hz，如果采用的抽樣時間間隔為0.1ms，試確定：（ 1）最小記錄長度； （ 2）所允許處理的信號的最高頻率； （ 3）在一定記錄中的最好點數(shù)。解：（1）因為 T01，而F010Hz ，所以F0精彩文檔實用標準文案T01 s10而最小記錄長度為 0.1s 。（2）因為 f01110310kHz ，而T0.1f s2 f h所以f h1 fs 5kHz2即允許處理的信號的最高頻率為5kHz。（3） NT00.110 3

17、1000 ，又因 N 必須為 2 的整數(shù)冪，所以一個記錄中的最少點數(shù)T0.1為N 2101024 。15. 序列 x(n) 的共軛對稱和共軛反對稱分量分別為xe (n)1 x( n) x* ( n) ， xo (n) 1 x(n) x* ( n)22長度為 N 的有限長序列x(n) （ 0 n N-1）的圓周共軛對稱和圓周共軛反對稱分量分別定義如下：1x(n)Nx* (n)N( )xep ( n)RN n2xop ( n)1 x(n)Nx* (n) N RN (n)2（1）證明xep (n) xe (n)xe (nN ) RN (n)xop (n) xo ( n)xo (nN ) RN (n)

18、（2）把 x( n) 看作長度為 N 的序列，一般說，不能從xep (n) 恢復 xe (n) ，也不能從 xop (n)恢復 xo (n) 。試證明若把x(n) 看作長度為 N 的序列，且n N/2 時 x(n)0 ，則從xep (n) 可恢復 xe (n) ，從 xop (n) 可恢復 xo (n) 。證明（ 1）方法一由于 x(n) 只在 0nN1 的范圍內有值，則有xep (n)1 x(n) N x* ( n) N RN (n) 1 x(n) 1 x* ( N n)222n=0 時x* ( Nn)x* (0)精彩文檔實用標準文案（a） 0 nN 1時xe (n)1 x(n)x* (n)

19、1 x( n)22xe (nN )1 x(nN )x* ( Nn)2所以xep ( n)1 xe (n)xe (n N ) RN (n)2（b） n=0 時x(n N )R(n)0，x*(N)( )Nn RNn則有1 x* (N n)20xep ( n)1 x(n)x* (n) RN (n)1 x(n)x* ( n)x( n N ) x* (N n) RN (n)22 xe (n) xe ( n N ) RN ( n)綜上所述xep (n) xe (n)xe (nN ) RN (n)同理可證xop (n) xo ( n)xo (nN ) RN (n)方法二（a） xep (n) xe (n)x

20、e (nN ) RN (n)xe (n)1 x(n)x* (n)2xe (n)RN (n)1 x(n)x* (0)( n)21xe (nN ) RN ( n) x(nN )x* (N n) RN (n)2因為x( nN )RN (n)0所以xe (n N ) RN (n)1 x* ( N n)x* (0) (n N )2 +得 xe (n)xe ( nN ) RN (n)1 x( n) x* ( N n) x* (0) (n) x* (0) ( n N )2（ b）由于xe (n) N1 x(n) N x* ( n) N 2x( n) N RN ( n)x(n)x* ( n) N RN ( n

21、)x* (Nn)x* (0) ( n)x* (0) (nN )(4)+(5)得精彩文檔實用標準文案xep (n)1 x(n) Nx* (n) N RN (n)21 (n)x* ()* (N n)x* (0)(n)x*(0) (n N)2xN n x(3) 與 (6)比較可知xep ( n) xe (n)xe (nN ) RN (n)同理可證xop (n) xo ( n)xo (nN ) RN (n)（2）利用（ 1）的結果xep (n) xe (n)xe (nN ) RN (n)xe (n N )1 x(n N )x* ( n N )2 按照題意 ,當 0nN / 2 時， x(n)0。此時N n NN/2，N/2n N N所以當 0nN / 2 時， x(nN )0 ， x* (nN )0 ，故xe (n N ) 0所以當 0nN/2時，xep( n)xe (n) 。 當N / 2n1 時，按共軛對稱有xe* ( n)1 x(n)x* (n)xe (n)2且由（ 1）的結論知xe