向量公式匯總

1、向量公式匯總平面向量1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則 AB+BC=AC 。a+b=(x+x' ， y+y')。a+0=0+a=a 。 向量加法的運(yùn)算律： 交換律： a+b=b+a ； 結(jié)合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。2、向量的減法如果 a、b 是互為相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量為 0 AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指向被減” a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').3、數(shù)乘向量實(shí)數(shù)入和向量a的乘積是一個向量，記作 入a且I X al = I

2、XI ?l a I。當(dāng)入0時，Xa與a同方向；當(dāng)XV 0時，Xa與a反方向；當(dāng)X =0時，X a=0方向任意。當(dāng)a=0時，對于任意實(shí)數(shù) 人都有X a=0注：按定義知，如果 X a=0那么X =0或 a=0。實(shí)數(shù)X叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量Xa的幾何意義就是將表示向量a的有向 線段伸長或壓縮。當(dāng)I XI > 1時，表示向量a的有向線段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上伸長為原來的I XI倍；當(dāng)I XI V 1時，表示向量a的有向線段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上縮短為原來的I XI倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律： ( X a)?b= X (a?b)=(

3、a?。 X b)向量對于數(shù)的分配律(第一分配律)：(X + 11 )a= X a+ !i a. 數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)： X(a+b)= Xa+Xb.數(shù)乘向量的消去律： 如果實(shí)數(shù)入工且X a=X，那么a=b。 如果a0且 X a= 1，!那么 X =14、向量的的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b 的夾角，記作a,b并規(guī)定Ow a,b<n定義：兩個向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，貝U a?b=|a|?|b|?cos a, b；若 a、b 共線，則 a?b=+- I all b I。向量的數(shù)量積

4、的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y。'向量的數(shù)量積的運(yùn)算律a?b=b?a（交換律）；（入a）?b=入（a?關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律）;（a+b）?c=a?c+b?c （分配律）；向量的數(shù)量積的性質(zhì)a?a=|a |的平方。a丄b = a?b=O。|a?b| w |a|?4b|向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1、 向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律， 即: （a?b）?c豐a?（b?（例如：（a?b）A2豐aA2?b22、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c （a工，）推不出b=c。3、|a?b| 工 |a|?|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b。5、向量的

5、向量積定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作axbo若a、 b不共線，則axb的模是：l axb I =|a|?|b|?sina，b> ； axb的方向是：垂直 于a和b，且a、b和axb按這個次序構(gòu)成右手系。若 a、b共線，則aXb=0。向量的向量積性質(zhì)：I ad I是以a和b為邊的平行四邊形面積。a Xa=0。a II b二a>b=0。向量的向量積運(yùn)算律axb=-b >a；（入 a x b= （a>b） =ax （入 b ；（a+b） xc=a xc+b xc.注：向量沒有除法，向量AB/向量CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式1、IIaI-I

6、bIIwIa+bIwIaI+IbI； 當(dāng)且僅當(dāng) a、b 反向時，左邊取等號； 當(dāng)且僅當(dāng) a、b 同向時，右邊取等號。2、IIaI-IbIIwIa-bIwIaI+IbI。 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，左邊取等號; 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，右邊取等號。6. 定比分點(diǎn)定比分點(diǎn)公式（向量 P1P=X?向量PP2 ）設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是I上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一 個實(shí)數(shù) 入，使 向量P1P=X?向量PP2 ,入叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1），P2（x2,y2），P（x,y），則有0P=（0P1訊0P2）（1+入）；（定比分點(diǎn)向量公式）x=（x1+ 入 x2

7、）/（1+ 入）,y=（y1+入y2）/（1+。入（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段 P1P2的定比分點(diǎn)公式三點(diǎn)共線定理若OC=X 0A +卩0B，且入+卩=1則A、B、C三點(diǎn)共線三角形重心判斷式在厶ABC中，若GA +GB +GC=0,則G ABC的重心編輯本段向量共線的重要條件若bM0,則a/b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù) 入，使a=Xba/b的重要條件是xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。編輯本段向量垂直的充要條件a丄b的充要條件是 a?b=0。a丄b的充要條件是xx'+yy'=0。零向量0垂直于任何向量.空間向量令 a=（a1,a2,a

8、3）, b匕也亠），則(a 6忌 b2,a3 b3)a ( ai, a2, a3)( R) a b a1b1 a2b2 a3b3共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合/a16忌 b2,a3 b3(R)ab1a_2b2a3b3X、y、Z，如果三個向量a,b, c不共面:那么對空間任一向量 p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組使 p xa yb zc.推論：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組X、y、z 使 OP xOA yOBzOC （這里隱含x+y+z豐1）向量垂直 a baibi a2b2a3b30。空間兩個向量的夾角公式cos a,bai bia?b2a3b3|a| |b|（a = （a1.a2.a3）, b = （b1.b2.b3）。空間兩點(diǎn)的距離公式：- 2 2 2 d .（X2 xi）（y2 yi） （Z2 zi）.利用法向量求點(diǎn)到面的距離 ：如圖，設(shè)n是平面 的法向量，AB是平面 的一條射線，其中A ，則點(diǎn)B到平面 | AB 孑|的距離為|n|.異面直線間的距離uur inrd |CD n Sil是兩異面直線，其公垂向量為n , C、D分別是li,l2上任一點(diǎn)，d為 |n|li,l2間的距離）.uui inB到平面的距離I ab n | rd r （ n為平面 的法向量，AB是