基礎知識精講

1、對數【基礎知識精講】1.基礎知識圖表2. 對數的定義定義：若 ab= N(aO,a豐1)，則數 b 叫做以 a 為底 N 的對數，記作 logaN= b.其中 a 叫做對數的底數, 真數3. 對數式、指數式與根式指數式a= N,根式v N= a 和對數式 logaN= b(N0,a0,a豐1)是同一種數量關系的三種不同表達形式表達形式abN對應的運算ab= N底數指數幕乘方，由 a、b 求 NVN= a方根根指數被開方數開方，由 N b 求 alogaN= b底數對數真數對數，由 N a 求 b由此可見:(1) 開方運算和對數運算都是乘方運算的逆運算.(2) 弄清對數式與指數式的互換是掌握對數

2、意義及運算的關鍵4.常用對數與自然對數對數 logaN(a0,a豐1),當底數(1)a = 10 時，叫做常用對數，記作lgN ;(2)a = e時，叫做自然對數，記作 lnN. 在常用對數中，我們省去了底數不寫.例如:=-1 等等.5.對數恒等式：logaak= k(a0,a豐1). N aloga= N(a0,a 工 1)6. 對數的運算性質：如果 a0,0, M0,N0,那么(1) loga(MN) = logaM+logaN(2) loga= logaM-logaNN(3) logaM= nlogaM(n R)要注意公式的逆用及公式證明的思路(見教材)7. 對數運算性質的理解與運用須注

3、意的問題(1) 對于一條運算性質，都要注意只有當式子中所有的對數記號都有意義時，等式才成立(2) 要把握住運算性質的本質特征，防止應用時出現錯誤(3) 要學會用語言準確地敘述運算性質.(4) 禾 U 用對數的運算法則，可以把乘、除、乘方、開方的運算轉化為對數的加、減、乘、除運算，反之亦然,這種運算的互化可以簡化計算方法，加快計算速度N 叫做.請見2lg10 = log1o10= 1, lg100 = log1010 = 2 , log0.1 = log10(10)特別注意的是換底公式的證明與運用【重點難點解析】1.正確理解、 熟悉ab= N與b = logaN的內在關系，迅速互化是學習對數的關

4、鍵.指數式 ab= N 與對數式 log aN= b 中 a、b、N 三者間的關系實質如下 (0a 且 1)式子名稱意義abN指數式a=N底數指數幕a 的 b 次幕等于 N對數式log aN= b底數對數真數以 a 為底 N 的對數等于 b根式a= v N根式根指數被開方數N 的 b 次方根等于 a2. 由指數函數的性質：00.即 b = logaN 中的真數應為正數在指數中特別有 a0= 1,a1= a,則在對數中特別有：loga1 = 0,logaa= 1.這在運用指數函數與對數函數的性質 解決問題需要化同底時是很重要的 3. 準確熟練記憶對數運算的法則，要注意其形式及適用的條件，也要注意

5、法則的逆用例 1 若 log2 log1(log 次)2=log3 log1(logsy)= log5 log1(log5Z)= 0.35試比較 x、y、z 的大??？分析將已知條件分別看作關于x、y、z 的方程，分別求出 x、y、z 再比較.a例 2 已知 a、b、x 為正數，且 lg(bx)lg(ax)+1 = 0 求 的范圍.b分析 將 lg(ax)變形轉化為 lg 旦(bx)，出現我們所需要的-，再利用二次方程的相關理論，求-的范圍.ILbbb解：由 lg(ax) lg(bx)+1 = 0 變形得:2a整理得 lg (bx)+lg lg(bx)+1 = 0b由于 a、b、x 為正數，所以

6、 bx0，則 lg(bx)為實數，實數方程有實根，則0fX2即： =lga -4 0,解之得 旦的取值范圍是：21556，由幕函數 y= x 在(0 , +8)上遞增知，yxz.解：log2log1(log22X)同理可得 y =3_3= (310)lg_b(bx)-lg(bx)+1x例 3 已知 lgx+lgy = 2lg(x-2y), 求 log2y的值.分析 不要遺忘了在解題過程中，對數定義中,“對數的真數必須大于零”這一前提， 在運算過程中,x0,y0,x-2y0 ，因而有 x2y0.解: Igx+lgy = 2lg(x-2y)/ xy = (x-2y)2,即卩 x2-5xy+4y2=

7、 0 即 (x-y)(x-4y)= 0,得 x = y 或 x = 4y./ x0,y0,x-2y0,/ x2y0 xx = y 應舍去， x = 4y,即 =4ylog2y= log2(2 ) 4=4.例 4 (1)用 logaX,loga表示 loga揚設 lg2 = a,lg3 = b，求 lg .54；(3)已知 lgx = 2lga+3lgb-51gc, 求 x.:廠解：(1)loga|va1 11+ logax-logay.4 3121313 -=lg2+ lg3 = a+ b.22222b3由已知得 lgx = Iga2+lgb3-lgc5= lga5c2a bx=-c評析 第

8、小題由 54 = 2x33,進而將 lg. 54用 lg2 與 lg3 表示，以達到化未知為已知的目的；第 小題 利用了下述結論：同底的對數相等，則真數相等【難解巧解點撥】5評析本題的另一解法是：logaA= loga(x12y3) = log121 1 = logaa4+logax3-logay4y112lg1x33)2=-lg(2x33)2分析解:對數式化指數式，便得/ logax = 4,log51 A = x12y3= (a4)x,y.4ay5, x a ,y512(a5)-a3= 1.1 51ax-logay =x4-x5 = 0 = loga1,故 A= 1.3123已知 loga

9、x = 4,log科=5, 求 A=的值.最后一步利用了結論：若同底的對數相等，則真數相等2 1例 2 設 3x= 4y= 36,求一+的值.x y分析由已知式中分別求出x 和 y.解：T3x= 36,4y= 36, x = log336,y = log436,22log363+log364= log36(3 x 4) = log3636= 1.評析指數式化為對數式后，兩對數式的底不相同，但式子兩端取倒數后，利用對數的換底公式可將差異消 除111例 3 設 a,b,c 為正數，且 ax= by= cz,求證：若一+ = ，貝 U c = ab.xyz111分析 由已知式解出 x,y,再將它們代

10、入 丄+丄=1，化簡便得證xyz證：由已知，xyz豐0,若 a = 1,貝 U b= c = 1,此時 c= ab 成立.若 a,b,c 均不為 1，貝 U/ ax= cz,by= cz, x = logaCz,y = logbCz, x = zlogaC,y = zlogbC,1111 .,=-logca, = logcb,xzyz,1 1 1+ = (logxyzca+logcb)=1logc(ab),z又111+ =xyz- logc(ab) = 1, c = ab.評析若 a,b,x,y,z為正數，且1 1 1a,b 均不為 1,ax= by= (ab)z,則一+ =-.特別地，若 x

11、,y,z 為正數，且xyz3x= 4y= 6z,則丄+丄=丄.1c1.21log363,log364，+xyx yx 2y z【課本難題解答】課本 84 頁，習題 2.7 節(jié)第 3 題:loga(x-logay+3log242c c2 2 1又-1 =log6(9x4)=2,= 1.abcab解法 3:不妨令 c = 1,則11=1,=log63,b=log46.cb(3)ioa(xy1 22 -31y22z3) = logax+loga - log23loga2xy2= logax+logay-loga(x+y)-loga(x-y)x - y(1)lgxmm=lg(ab),x = ab (2

12、)logax = logan,x =n(3)lgx33p b=lg(n m),x = nm (4)logax = logac,x =【典型熱點考題】例 1設 a,b,c 都是正數，且3a= 4b= 6c,那么()A.11 1o221= +B.=+ca bcabC.12 2212= +D.= +ca bcab.設 3a= 4b= 6c= k(k0),-,-，證得2+- = 2,得解法 2;a b a b取特殊值，如令 c = 1,排除 A、C、 解法 1:設 3 =4= 6 = k(a,b,c a= log3k,b = log4k,c = log6k,D 得解法 3.均為正數，k0），則顯然2l

13、ogk3+logk4= 2logk6,二=logk6.c2 12+=.2:對 3a= 4b= 6解法abclg3 = lg4 = lg6 .同時取以 10 為底的對數，得alg3 = blg4 = clg6.也=log63,lg6=log64.b第 6 題:分析 本題考查了指數概念、對數概念，重點考查了利用對數性質進行運算的能力得解法1;又對把指數式轉化為對數式，解出 a,b,c=log64 = 2log62.b=log63+2log62= 1+log右-2 21122+= 2+log64 工,+= 1+3log62豐a bcabc排除AC D,. 應選 B2x_1例 2 函數 y = log

14、2的定義域為3_x應填（-,3）2本題考查對數式的真數必須大于0，及解分式不等式等知識，對此類問題要做得快、準例 3 方程 log4（3X-1）= log4（x-1）+log4（3+x）的解是解：原方程轉化為 3x-1 = （x-1）（3+x）（x1）.即 x -x-2 = 0（x1）,解得 x= 2方程解是 x= 2.注本題主要利用對數運算性質公式解題，以及運用轉化思想將對數方程轉化為一元二次方程來解 2例 4 若全集 I = R, A= x 丨 Jx+1w0, B= x | lg（x -2） = lgx ,則 AAOB 是（）A.2B.-1O.x|xw-1D.解法 1 :集合 A 中的兀素

15、滿足的條件是 x = -1，又 AAGBU A，排除 A、C,將 x =-1 代入 lg（x2-2） = lgx 知不成立故 x= -1 GB. 應選 B.x2-2 0 x 72 或 x v - J2解法 2:集合 A 中兀素滿足的條件是x= -1，集合 B 中兀素滿足的條件是0即Jx 0（X2-2 xx 2 或 x -1解得 x2,于是 GB= x | xw2，所以 AAGB= -1 應選B.【知識探究學習】1某城區(qū) 2000 年底有居民住房總面積為a（平方米），現將居民住房劃分為三類，其中危舊住房占-，新型住31房占丄為了加快住房建設，計劃用10 年的時間全部拆除危舊住房（每年拆除的數量相

16、同），自 2001 年起居民住4房只建設新型住房，使得從 2001 年開始，每年年底的新型住房面積都比上一年底增加20%用 an（平方米）表示解:2x -1由竺0,3 x2x -1得0,x3（舟,3）.第 n 年底（2001 年為第一年）該城區(qū)的居民住房總面積.（1）分別寫出 a1，a2,a3的表達式，并歸納出an的計算公式（不必證明）；（2）危舊住房全部拆除后，至少再過多少年才能使該城區(qū)居民住房總面積翻兩番?（精確到年，以下數據供參考：Ig20.30,lg3 0.48,lg43 1.63)解：(1)2000 年底除了危舊住房和新型住房外的其他形式的住房面積為依題意，得a1=a(1+20%)+

17、 2 a+1a-丄 a;412330a2= (1+20%)2+a+ a- a;412330a3=a(1+20%)3+ a+1a- a;412330一般地f (1+20%)*+ +-10a(l=n 4a,412得旦x1.2na.412nlg1.2 Ig43-lg3.Ig 43 -lg 3所以 n 14.3721g2 +lg3 1故 n=15 時取 15-10=5.即至少再經過 5 年才能使該地區(qū)的居民住房總面積翻兩番【同步達綱練習】一、選擇題1. 如果點 P(lga,lgb) 關于 x 軸的對稱點的坐標是(0 , -1)，則 a1A.a = 1,b = 10B.a = 1,b =101C.a =

18、 10,b = 1D.a = ,b = 1102. 與函數 y = 10lg(x-1)的圖像相同的函數是()A.y = x-1B.y =| x-1 |C.y =4x -13.若 lgx = a,lgy = b,則 lg . x -lg( )2的值為()1011A. a-2b-2B. a-2b+222a_(1+1)a=la.4 312每年拆除危舊住房面積為11 _ aa=10330b 的值是()D.y =-232.設X=log23X，求歹-3X-2-X的值.D.1a-2b+124g(；3 . 5 +；3 - . 5 )的值為()二、填空題1. 若 log - a= -2log 37,貝 U a =. 32. 已知 log32 = log23X，貝UX=3.log0.7X = 3logo.7C-logo.7b+2ogo.7a，貝VX=4.若 log(X+1)(X+1)= 1，則X的取值范圍是三、解答題1 _ X2+ Jx2_11.設 x、y R,且 y=- ，求 lg(x+y) 的值.x+12.求值：2(1-log63) +log62 log618 log643.求值：log (log981)(1)log2:log3(log5125) ; (2)5g5(g9.33334.已知 a+b= lg 2