基礎(chǔ)知識(shí)精講

1、對(duì)數(shù)【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1.基礎(chǔ)知識(shí)圖表2. 對(duì)數(shù)的定義定義：若 ab= N(aO,a豐1)，則數(shù) b 叫做以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)，記作 logaN= b.其中 a 叫做對(duì)數(shù)的底數(shù), 真數(shù)3. 對(duì)數(shù)式、指數(shù)式與根式指數(shù)式a= N,根式v N= a 和對(duì)數(shù)式 logaN= b(N0,a0,a豐1)是同一種數(shù)量關(guān)系的三種不同表達(dá)形式表達(dá)形式abN對(duì)應(yīng)的運(yùn)算ab= N底數(shù)指數(shù)幕乘方，由 a、b 求 NVN= a方根根指數(shù)被開方數(shù)開方，由 N b 求 alogaN= b底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)，由 N a 求 b由此可見:(1) 開方運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算都是乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算.(2) 弄清對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互換是掌握對(duì)數(shù)

2、意義及運(yùn)算的關(guān)鍵4.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) logaN(a0,a豐1),當(dāng)?shù)讛?shù)(1)a = 10 時(shí)，叫做常用對(duì)數(shù)，記作lgN ;(2)a = e時(shí)，叫做自然對(duì)數(shù)，記作 lnN. 在常用對(duì)數(shù)中，我們省去了底數(shù)不寫.例如:=-1 等等.5.對(duì)數(shù)恒等式：logaak= k(a0,a豐1). N aloga= N(a0,a 工 1)6. 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果 a0,0, M0,N0,那么(1) loga(MN) = logaM+logaN(2) loga= logaM-logaNN(3) logaM= nlogaM(n R)要注意公式的逆用及公式證明的思路(見教材)7. 對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的理解與運(yùn)用須注

3、意的問題(1) 對(duì)于一條運(yùn)算性質(zhì)，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)記號(hào)都有意義時(shí)，等式才成立(2) 要把握住運(yùn)算性質(zhì)的本質(zhì)特征，防止應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤(3) 要學(xué)會(huì)用語言準(zhǔn)確地?cái)⑹鲞\(yùn)算性質(zhì).(4) 禾 U 用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以把乘、除、乘方、開方的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，反之亦然,這種運(yùn)算的互化可以簡(jiǎn)化計(jì)算方法，加快計(jì)算速度N 叫做.請(qǐng)見2lg10 = log1o10= 1, lg100 = log1010 = 2 , log0.1 = log10(10)特別注意的是換底公式的證明與運(yùn)用【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1.正確理解、 熟悉ab= N與b = logaN的內(nèi)在關(guān)系，迅速互化是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的關(guān)

4、鍵.指數(shù)式 ab= N 與對(duì)數(shù)式 log aN= b 中 a、b、N 三者間的關(guān)系實(shí)質(zhì)如下 (0a 且 1)式子名稱意義abN指數(shù)式a=N底數(shù)指數(shù)幕a 的 b 次幕等于 N對(duì)數(shù)式log aN= b底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)等于 b根式a= v N根式根指數(shù)被開方數(shù)N 的 b 次方根等于 a2. 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：00.即 b = logaN 中的真數(shù)應(yīng)為正數(shù)在指數(shù)中特別有 a0= 1,a1= a,則在對(duì)數(shù)中特別有：loga1 = 0,logaa= 1.這在運(yùn)用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 解決問題需要化同底時(shí)是很重要的 3. 準(zhǔn)確熟練記憶對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則，要注意其形式及適用的條件，也要注意

5、法則的逆用例 1 若 log2 log1(log 次)2=log3 log1(logsy)= log5 log1(log5Z)= 0.35試比較 x、y、z 的大?。糠治鰧⒁阎獥l件分別看作關(guān)于x、y、z 的方程，分別求出 x、y、z 再比較.a例 2 已知 a、b、x 為正數(shù)，且 lg(bx)lg(ax)+1 = 0 求 的范圍.b分析 將 lg(ax)變形轉(zhuǎn)化為 lg 旦(bx)，出現(xiàn)我們所需要的-，再利用二次方程的相關(guān)理論，求-的范圍.ILbbb解：由 lg(ax) lg(bx)+1 = 0 變形得:2a整理得 lg (bx)+lg lg(bx)+1 = 0b由于 a、b、x 為正數(shù)，所以

6、 bx0，則 lg(bx)為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)方程有實(shí)根，則0fX2即： =lga -4 0,解之得 旦的取值范圍是：21556，由幕函數(shù) y= x 在(0 , +8)上遞增知，yxz.解：log2log1(log22X)同理可得 y =3_3= (310)lg_b(bx)-lg(bx)+1x例 3 已知 lgx+lgy = 2lg(x-2y), 求 log2y的值.分析 不要遺忘了在解題過程中，對(duì)數(shù)定義中,“對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于零”這一前提， 在運(yùn)算過程中,x0,y0,x-2y0 ，因而有 x2y0.解: Igx+lgy = 2lg(x-2y)/ xy = (x-2y)2,即卩 x2-5xy+4y2=

7、 0 即 (x-y)(x-4y)= 0,得 x = y 或 x = 4y./ x0,y0,x-2y0,/ x2y0 xx = y 應(yīng)舍去， x = 4y,即 =4ylog2y= log2(2 ) 4=4.例 4 (1)用 logaX,loga表示 loga揚(yáng)設(shè) lg2 = a,lg3 = b，求 lg .54；(3)已知 lgx = 2lga+3lgb-51gc, 求 x.:廠解：(1)loga|va1 11+ logax-logay.4 3121313 -=lg2+ lg3 = a+ b.22222b3由已知得 lgx = Iga2+lgb3-lgc5= lga5c2a bx=-c評(píng)析 第

8、小題由 54 = 2x33,進(jìn)而將 lg. 54用 lg2 與 lg3 表示，以達(dá)到化未知為已知的目的；第 小題 利用了下述結(jié)論：同底的對(duì)數(shù)相等，則真數(shù)相等【難解巧解點(diǎn)撥】5評(píng)析本題的另一解法是：logaA= loga(x12y3) = log121 1 = logaa4+logax3-logay4y112lg1x33)2=-lg(2x33)2分析解:對(duì)數(shù)式化指數(shù)式，便得/ logax = 4,log51 A = x12y3= (a4)x,y.4ay5, x a ,y512(a5)-a3= 1.1 51ax-logay =x4-x5 = 0 = loga1,故 A= 1.3123已知 loga

9、x = 4,log科=5, 求 A=的值.最后一步利用了結(jié)論：若同底的對(duì)數(shù)相等，則真數(shù)相等2 1例 2 設(shè) 3x= 4y= 36,求一+的值.x y分析由已知式中分別求出x 和 y.解：T3x= 36,4y= 36, x = log336,y = log436,22log363+log364= log36(3 x 4) = log3636= 1.評(píng)析指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式后，兩對(duì)數(shù)式的底不相同，但式子兩端取倒數(shù)后，利用對(duì)數(shù)的換底公式可將差異消 除111例 3 設(shè) a,b,c 為正數(shù)，且 ax= by= cz,求證：若一+ = ，貝 U c = ab.xyz111分析 由已知式解出 x,y,再將它們代

10、入 丄+丄=1，化簡(jiǎn)便得證xyz證：由已知，xyz豐0,若 a = 1,貝 U b= c = 1,此時(shí) c= ab 成立.若 a,b,c 均不為 1，貝 U/ ax= cz,by= cz, x = logaCz,y = logbCz, x = zlogaC,y = zlogbC,1111 .,=-logca, = logcb,xzyz,1 1 1+ = (logxyzca+logcb)=1logc(ab),z又111+ =xyz- logc(ab) = 1, c = ab.評(píng)析若 a,b,x,y,z為正數(shù)，且1 1 1a,b 均不為 1,ax= by= (ab)z,則一+ =-.特別地，若 x

11、,y,z 為正數(shù)，且xyz3x= 4y= 6z,則丄+丄=丄.1c1.21log363,log364，+xyx yx 2y z【課本難題解答】課本 84 頁，習(xí)題 2.7 節(jié)第 3 題:loga(x-logay+3log242c c2 2 1又-1 =log6(9x4)=2,= 1.abcab解法 3:不妨令 c = 1,則11=1,=log63,b=log46.cb(3)ioa(xy1 22 -31y22z3) = logax+loga - log23loga2xy2= logax+logay-loga(x+y)-loga(x-y)x - y(1)lgxmm=lg(ab),x = ab (2

12、)logax = logan,x =n(3)lgx33p b=lg(n m),x = nm (4)logax = logac,x =【典型熱點(diǎn)考題】例 1設(shè) a,b,c 都是正數(shù)，且3a= 4b= 6c,那么()A.11 1o221= +B.=+ca bcabC.12 2212= +D.= +ca bcab.設(shè) 3a= 4b= 6c= k(k0),-,-，證得2+- = 2,得解法 2;a b a b取特殊值，如令 c = 1,排除 A、C、 解法 1:設(shè) 3 =4= 6 = k(a,b,c a= log3k,b = log4k,c = log6k,D 得解法 3.均為正數(shù)，k0），則顯然2l

13、ogk3+logk4= 2logk6,二=logk6.c2 12+=.2:對(duì) 3a= 4b= 6解法abclg3 = lg4 = lg6 .同時(shí)取以 10 為底的對(duì)數(shù)，得alg3 = blg4 = clg6.也=log63,lg6=log64.b第 6 題:分析 本題考查了指數(shù)概念、對(duì)數(shù)概念，重點(diǎn)考查了利用對(duì)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算的能力得解法1;又對(duì)把指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，解出 a,b,c=log64 = 2log62.b=log63+2log62= 1+log右-2 21122+= 2+log64 工,+= 1+3log62豐a bcabc排除AC D,. 應(yīng)選 B2x_1例 2 函數(shù) y = log

14、2的定義域?yàn)?_x應(yīng)填（-,3）2本題考查對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于0，及解分式不等式等知識(shí)，對(duì)此類問題要做得快、準(zhǔn)例 3 方程 log4（3X-1）= log4（x-1）+log4（3+x）的解是解：原方程轉(zhuǎn)化為 3x-1 = （x-1）（3+x）（x1）.即 x -x-2 = 0（x1）,解得 x= 2方程解是 x= 2.注本題主要利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題，以及運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將對(duì)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程來解 2例 4 若全集 I = R, A= x 丨 Jx+1w0, B= x | lg（x -2） = lgx ,則 AAOB 是（）A.2B.-1O.x|xw-1D.解法 1 :集合 A 中的兀素

15、滿足的條件是 x = -1，又 AAGBU A，排除 A、C,將 x =-1 代入 lg（x2-2） = lgx 知不成立故 x= -1 GB. 應(yīng)選 B.x2-2 0 x 72 或 x v - J2解法 2:集合 A 中兀素滿足的條件是x= -1，集合 B 中兀素滿足的條件是0即Jx 0（X2-2 xx 2 或 x -1解得 x2,于是 GB= x | xw2，所以 AAGB= -1 應(yīng)選B.【知識(shí)探究學(xué)習(xí)】1某城區(qū) 2000 年底有居民住房總面積為a（平方米），現(xiàn)將居民住房劃分為三類，其中危舊住房占-，新型住31房占丄為了加快住房建設(shè)，計(jì)劃用10 年的時(shí)間全部拆除危舊住房（每年拆除的數(shù)量相

16、同），自 2001 年起居民住4房只建設(shè)新型住房，使得從 2001 年開始，每年年底的新型住房面積都比上一年底增加20%用 an（平方米）表示解:2x -1由竺0,3 x2x -1得0,x3（舟,3）.第 n 年底（2001 年為第一年）該城區(qū)的居民住房總面積.（1）分別寫出 a1，a2,a3的表達(dá)式，并歸納出an的計(jì)算公式（不必證明）；（2）危舊住房全部拆除后，至少再過多少年才能使該城區(qū)居民住房總面積翻兩番?（精確到年，以下數(shù)據(jù)供參考：Ig20.30,lg3 0.48,lg43 1.63)解：(1)2000 年底除了危舊住房和新型住房外的其他形式的住房面積為依題意，得a1=a(1+20%)+

17、 2 a+1a-丄 a;412330a2= (1+20%)2+a+ a- a;412330a3=a(1+20%)3+ a+1a- a;412330一般地f (1+20%)*+ +-10a(l=n 4a,412得旦x1.2na.412nlg1.2 Ig43-lg3.Ig 43 -lg 3所以 n 14.3721g2 +lg3 1故 n=15 時(shí)取 15-10=5.即至少再經(jīng)過 5 年才能使該地區(qū)的居民住房總面積翻兩番【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1. 如果點(diǎn) P(lga,lgb) 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(0 , -1)，則 a1A.a = 1,b = 10B.a = 1,b =101C.a =

18、 10,b = 1D.a = ,b = 1102. 與函數(shù) y = 10lg(x-1)的圖像相同的函數(shù)是()A.y = x-1B.y =| x-1 |C.y =4x -13.若 lgx = a,lgy = b,則 lg . x -lg( )2的值為()1011A. a-2b-2B. a-2b+222a_(1+1)a=la.4 312每年拆除危舊住房面積為11 _ aa=10330b 的值是()D.y =-232.設(shè)X=log23X，求歹-3X-2-X的值.D.1a-2b+124g(；3 . 5 +；3 - . 5 )的值為()二、填空題1. 若 log - a= -2log 37,貝 U a =. 32. 已知 log32 = log23X，貝UX=3.log0.7X = 3logo.7C-logo.7b+2ogo.7a，貝VX=4.若 log(X+1)(X+1)= 1，則X的取值范圍是三、解答題1 _ X2+ Jx2_11.設(shè) x、y R,且 y=- ，求 lg(x+y) 的值.x+12.求值：2(1-log63) +log62 log618 log643.求值：log (log981)(1)log2:log3(log5125) ; (2)5g5(g9.33334.已知 a+b= lg 2