維也納香腸函數

1、維也納香腸的維也納香腸半徑是隨機過程定義為在這里,是標準的布朗運動在為和表示開球的半徑為中心的在。諾伯特·維納的名字命名,這個術語也用來描述視覺:事實上,對于一個給定的布朗運動 ,本質上是一個臘腸管的半徑有作為中央線。布朗運動一個實值隨機過程是一個布朗運動開始在哪里如果滿足以下屬性:1。 .2。為所有的時間的增量 , , .,都是獨立的隨機變量.3所示。對所有 ,的增量是正態(tài)分布與期望價值零,方差 .4所示。這個函數是連續(xù)幾乎無處不在。的布朗運動如果是標準嗎 .很容易從上面所示標準布朗運動有許多獨特的自然不變性屬性

2、包括縮放不變性和在時間反演不變性。此外,布朗運動滿足一個大數定律這幾乎無處不在。此外,盡管看起來真實乍一看,布朗運動是持有人連續(xù)的幾乎無處不在對于所有的值。相反,任何布朗運動可微的幾乎可以肯定.上面的定義擴展自然得到高維布朗運動。更準確地說,鑒于獨立的布朗運動開始在,一個可以定義一個隨機過程通過這樣一個被稱為維布朗運動開始 .參見:維納過程一個連續(xù)時間的隨機過程為與增量等高斯均值為0,方差嗎對于任何,增量不重疊的時間間隔是獨立的。布朗運動(即。隨機游走,隨機步驟大小)是最常見的一個維納過程的例子。維納測量概率法在連續(xù)函數空間與誘導的維納過程.參見:自已避免走連接常數我們的數量隨機漫步

3、在一個- d hypercubic晶格的開始起源從未落在同一個格點兩次步驟是表示。第一個值(1)(2)(3)一般來說,(4)(伯尼茲和Tittman 2000),更嚴格的邊界由馬德拉斯和斯萊德(1993)?？低凸诺侣羰?1996)枚舉的長度51。在任何晶格,打破了自已避免走在兩個收益率兩個自已避免走,但是連接兩個自已避免走不一定保持自已避免財產。讓表示自已避免走的步驟的晶格維度。然后上面的觀察告訴我們,Fekete引理證明(5)稱為連接晶格常數,并存在有限的。這些常數的最佳范圍(6)(7)(8)(9)(10)(拜爾和富國1972年,1998年努南,芬奇2003)。的上限提高2.6939發(fā)現(xiàn)

4、努南(1998)和計算了伯尼茲和Tittman(2000)。三角晶格的飛機,1993年(Alm),六角平面點陣,猜想(11)(馬德拉斯,斯萊德1993)。也認為存在以下限制和有限的:(12)在臨界指數為(馬德拉斯,斯萊德1993)和猜想(13)定義平均平方位移要自已避免走作為(14)(15)認為存在以下限制和有限的:(16)在臨界指數為(馬德拉斯,斯萊德1993),有推測說(17)參見:自已避免走自已避免行走路徑從一個點到另一個,從來沒有相交本身。這樣的路徑通常被認為發(fā)生在格,所以步驟只允許在某些離散的方向和長度。考慮一個自已避免走在一個二維方格網(即。晶格的道路,從來沒有訪問同一個格點兩次)

5、,從原點開始,需要積極的水平方向的第一步,只是限于非負網格點。這樣的路徑的數量,2,步驟1、2、5、12日,30日,73年,183年,456年,1151年(OEISA046170).同樣,考慮一個自已避免走在原點開始,需要積極的水平方向的第一步,并不局限于非負網格點,但僅限于采取了措施下的第一步。這樣的路徑的數量,2,步驟1、2、5、13日,36歲,98年,272年,740年,2034年(OEISA046171).自已避免車走是走一個網格,從,結束,只由水平和垂直的步驟。下表給出了前幾個數字這樣走的小和。的值,2,2、12、184、8512、1262816(OEISA007764).23456

6、2234124838184年516125年976年8512年632414年5382年79384年1262816有許多已知的公式計算對小。例如,(1)有一個遞歸關系為,由 , , ,(2)為,以及生成函數(3)(阿伯特1978年漢森,芬奇1978)。一個相關的序列是形狀的數量可以由彎曲線的長度在飛機上,彎曲0或和線可能在直角交叉本身而不是經過本身。形狀的導線長度的數量1,2,是1、2、4、10、24日,66年,176年,493年(OEISA001997).考慮一個自已避免走在一個二維方格網從一個角落到另一個,沒有兩個連續(xù)的步驟是在同一個方向。這樣的路徑的數量,2,是

7、1、2、2、4、10,36歲,188年,(OEISA034165,計算路徑的數量點“點陣”1),這些路徑的最大長度是0,2,4,10,12,26歲,36歲,(OEISA034166).隨機漫步三維在一個三維的晶格,隨機漫步不到統(tǒng)一的概率達到任何時候(包括起點)步驟的數量趨于無窮。再次到達起點的概率是0.3405373296 .這是一個聚(隨機漫步的常數.隨機漫步二維在一個飛機,考慮一筆二維向量與隨機取向。使用相量符號,讓各自的階段向量是隨機。假設單位措施(即在任意方向。的角均勻分布在而不是一個晶格),正如上文所述。這個職位在復平面后然后給出的步驟(1)已絕對的廣場(2)(3)(4)因此,(5)

8、每個單元步驟同樣可能在任何方向(和)。位移是隨機變量與相同的意味著零,他們的差異也是一個隨機變量。在這個分布平均,等可能積極的和負值產生一個預期值為0,所以(6)后的均方根距離因此單元步驟(7)所以的步長,這就變成了(8)為了旅行的距離 ,(9)因此所需的步驟。令人驚訝的是,已經證明在一個二維的晶格,隨機漫步統(tǒng)一的概率達到任何時候(包括起點)數量的步驟方法.隨機游走,維讓步驟相同的長度沿行。讓是向右邁出一步的概率,向左一步的概率,采取正確的步驟的數量,步驟的數目。的數量 , , ,是相關的(1)和(2)現(xiàn)在檢查的概率步驟的向右。有的方式向右,步驟向左,是

9、一個二項式系數。采取特定的命令序列的概率和步驟。因此,(3)在哪里是一個的階乘。但這只是一個二項分布,所以的意思是許多步驟正確的是(4)和左邊是意味著數量的步驟(5)類似地,方差是由(6)和均方根偏差是(7)現(xiàn)在考慮距離的分布旅行一個給定數量的步驟之后,(8)而不是步驟的數量在一個給定的方向。以上情節(jié)展示為和三個值 ,分別。顯然,權重的步驟向一個方向或另一影響總體趨勢,但仍有大量的隨機散射,強調下面的情節(jié),顯示所有與三個隨機漫步 .令人驚訝的是,最可能的數量的變化跡象散步是0,其次是1、2等。對于一個隨機游走的概率給定距離的旅行后在下表中給出的步驟。步驟0123450110

10、200300040000500000在這個表中,后續(xù)行被發(fā)現(xiàn)通過添加一半每個細胞在一個給定的行下面對角的兩個細胞。事實上,它是簡單的帕斯卡三角形墊與零干預和每一行的1/2乘以一個額外的因素。的系數在這個三角形的(9)(Papoulis 1984,p . 1984)。的時刻(10)這種分布的距離然后由簽署(11)(12)(13)(14)因此,的意思是是,偏態(tài)是,峰度多余的是(15)后的期望價值絕對距離因此給出的步驟(16)(17)這個和可以單獨考慮象征性的情況下完成甚至和奇怪的。首先,考慮甚至這。然后(18)(19)(20)(21)但這和可以評估分析(22)寫作堵回去,簡化了(23)在哪里是雙!

11、.現(xiàn)在考慮奇怪的,所以。然后(24)(25)(26)(27)(28)但這和可以評估分析(29)寫作堵回去,簡化了(30)(31)(32)這兩個甚至和奇怪的解決方案可以寫的作為(33)或顯式的作為(34)(35)的頭幾個值為,1,因此0,1,1,3/2,3/2,15/8,15/8,35/16,35/16,(OEISA086116和A060818普雷沃斯特1933;阿布拉莫維茨和Stegun 1972年,休斯1995),每一對給出的條款生成函數(36)這些數字也會出現(xiàn)heads-minus-tails分布.現(xiàn)在,檢查的漸近性態(tài)。的漸近展開函數比例是(37)(Graham et al . 1994年

12、),所以插入的表達式給出了漸近級數(38)頂部跡象在哪里了甚至和底部的跡象奇怪的。因此,對于大 ,(39)也是格林鮑姆(1960)所示,Mosteller et al。(1961年,p . 14),和康尼錫et al。(1999)。托斯(2000)已經證明,沒有超過三個訪問最多的網站在一個簡單的對稱隨機漫步在一維單元步驟。參見:隨機漫步一個隨機過程組成的固定長度的序列的離散步驟。隨機熱擾動在液體中負責一個隨機游走的現(xiàn)象稱為布朗運動,和氣體分子的碰撞是一個隨機游動擴散負責。隨機漫步有趣的數學特性,根據維度的不同,有很大的行走發(fā)生以及是否僅限于晶格。參見:量子隨機微積分讓 ,一

13、維布朗運動。集成與尊重定義了Ito(1951)。一個基本理論是隨機的結果形式的積分方程(1)可以解釋為隨機微分方程的形式(2)差異在哪里處理Ito的公式的使用(3)(4)哈德遜和從事(1984)獲得了?？丝臻g布朗運動的代表泊松過程。玻色子福克空間在是希爾伯特空間完成指數向量的線性范圍下內積(5)在哪里和和是復共軛的 .湮滅,產生和保護符 ,和分別是定義在指數向量的如下所示,(6)(7)(8)基本的量子隨機差異 ,定義如下,(9)(10)(11)哈德森和從事(1984)定義隨機整合對噪聲的差異定義3和獲得了Ito乘法表Hudson-Parthasarathy量子隨機

14、微積分的兩個基本定理給出公式表達量子隨機積分的矩陣元素的普通勒貝格積分。第一個定理指出(12)在哪里 , , ,(總的來說)時間適應過程。我們也和指數的領域,然后(13)第二個定理指出,如果(14)和(15)在哪里 , , , , , , ,(總的來說)與時間有關的適應過程和也和指數的領域,然后(16)連接古典與量子推斷統(tǒng)計學的基本結果是過程和定義為(17)和(18)識別,通過他們的統(tǒng)計特性,如。,他們的泛函,真空特征(19)和(20)布朗運動和泊松過程的強度,分別。的框架內Hudson-Par

15、thasarathy量子隨機微積分,經典量子力學演化方程形式(21)(22)在那里,每 ,是酉算子定義的張量積一個系統(tǒng)的希爾伯特空間和噪聲(或水庫)福克空間。在這里, , ,在,有限的空間上線性算子,統(tǒng)一的和自伴的。請注意,對方程(21)減少到一個經典的隨機微分方程的形式(2)。在接下來我們確定長期有效的,有限的,系統(tǒng)空間操作符與他們的擴張來 .量子隨機微分方程(海森堡方程模擬量子力學可見)滿意的量子流(23)在哪里是一個有界系統(tǒng)空間算子,是嗎(24)(25)為 .交換關系與運營商相關流程 ,是規(guī)范(或海森堡)變換關系,即(26)這個

16、條目由聚(隨機漫步的常數讓是一個的概率隨機漫步在一個- d格回到原點。1921年,聚(證明(1)但(2)為。沃森(1939),麥克雷博士和惠普爾(1940),Domb(1954),格拉瑟和朱克(1977)顯示(3)(OEISA086230),(4)(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA086231;Borwein和貝利2003年,Ch。2例20)是第三個沃森的三重積分模一個乘法常數,是一個第一類完全橢圓積分,是一個雅可比的函數,是函數.關閉表單不知道,但Montroll(1956)表明,對嗎 ,(10)在哪里(11)(12)和是一個修改后的第一類貝塞爾函數.數值的從Montrol

17、l(1956)和Flajolet(芬奇2003)以下表中給出。斯隆3A0862300.3405374A0862320.1932065A0862330.1351786A0862340.1047157A0862350.08584498A0862360.0729126參見:絕對的公平一個隨機變量序列 ,被稱為絕對公平如果嗎2和(伐木機1971,p . 1971)。參見:鞅一個隨機變量序列 ,以有限的手段,這樣的條件期望鑒于 , , , .,等于,也就是說,(伐木機1971,p . 1971)。這個術語最初是用來描述一種賭博,賭注是增加一倍或減半后損失

18、或贏,分別。鞅的概念是由于征收,由杜布廣泛開發(fā)。一個一維隨機漫步與步驟等可能在兩個方向()是一個鞅的例子。參見:Borel-Tanner分布讓組排列1、2、,讓連續(xù)時間隨機漫步結果當隨機選擇互換率1執(zhí)行。讓是身份的距離在時間,即,返回所需的最小數量的互換。當 ,在那里(Berestycki Berestycki和Durrett 2004;2004)被稱為Borel-Tanner分布(Trott 2006,p . 2006)。Borel-Tanner分布復雜上面繪制在復平面(Trott 2006,p . 2006)。有趣的是,這個函數的值為Trott(Berestycki 2004;2004年,p . 284)。平均平方位移平均平方位移(MSD)的一組位移是由它特別是在布朗運動和出現(xiàn)隨機漫步問題。二維隨機漫步的單位采取隨機方向,默沙東公司給出的利維飛行隨機漫步由自相似跳躍軌跡。他們所描述的萊維分布.參見:萊維分布在哪里是傅里葉變換的概率為一步一步的隨