勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全例題精講中考題目

1、勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全一基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗垂啥ɡ矸从沉酥苯侨切稳呏g的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，則，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗垂啥ɡ淼哪娑ɡ硎桥卸ㄒ粋€(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一

2、定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則ABC為銳角三角形）。（定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另

3、一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一：，化簡(jiǎn)可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡(jiǎn)得證6：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱(chēng)，為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提

4、高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）二、規(guī)律方法指導(dǎo)1勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)

5、習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）勾股定理典型例題及專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練專(zhuān)題一：直接考查勾股定理及逆定理例.在中，已知，求的長(zhǎng) 已知，求的長(zhǎng)分析： 練習(xí)：1、如圖所示，在四邊形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。2已知等腰三角形腰長(zhǎng)是10，底邊長(zhǎng)是16，求這個(gè)等腰三角形的面積。3、已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。例2：已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和12，求第三邊。練習(xí)：在A

6、BC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長(zhǎng)為多少？例3：（1）.已知ABC的三邊、滿(mǎn)足，則ABC為 三角形（2）.在ABC中，若=（+）（-），則ABC是 三角形，且 練習(xí)：1、已知 與互為相反數(shù)，試判斷以、為三邊的三角形的形狀。2、.若ABC的三邊、滿(mǎn)足條件，試判斷ABC的形狀。3.已知?jiǎng)t以、為邊的三角形是 例4：已知如圖，在ABC中，C=60°，AB=，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長(zhǎng)。如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1）（2）（3）以為三邊的三角形是直角三角形經(jīng)典圖形突破：練習(xí)

7、1.如圖，ABC中，AB=AC，A=45º，AC的垂直平分線分別交AB、AC于D、E，若CD=1，則BD等于(    )A1                         B             

8、0;      C                    D2.已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，求這個(gè)三角形的面積3.ABC中，D是AB的中點(diǎn)，若AC=12，BC=5，CD=65 求證：ABC是直角三角形4.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC，猜想AF與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由5.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部

9、分面積6.如圖2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且ADAC，求BD的長(zhǎng)7.如圖2-9，ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度數(shù)8.已知ABC中，ACB=90°，AC=3,BC=4,（1）AD平分BAC,交BC于D點(diǎn)。求CD長(zhǎng) （2）BE平分ABC,交AC于E，求CE長(zhǎng)9.如圖，在四邊形ABCD中，A600，BD900，BC2，CD3，求AB的長(zhǎng)10.如圖，P為ABC邊BC上一點(diǎn)，PC2PB，已知ABC450，APC600，求ACB的度數(shù)。11、已知ABC中，BAC750，C600

10、，BC，求AB、AC的長(zhǎng)。 12、如圖，ABC中，AD是高，CE是中線，DCBE，DGCE于G。 （1）求證：G是CE的中點(diǎn)； （2）B2BCE。 （3）若AC=6,AB=8，求DG的長(zhǎng)。專(zhuān)題二 勾股定理的證明1、利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個(gè)圖形被稱(chēng)為弦圖從圖中可以看到：大正方形面積小正方形面積四個(gè)直角三角形面積因而c2 化簡(jiǎn)后即為c2 abc2、如圖，是2002年8月北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，由4個(gè)全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為 abcl3、2002年8月2028日在北京召開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家

11、大會(huì)大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形拼成的（直角邊長(zhǎng)分別為2和3），則大正方形的面積是 4、如圖，直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）（）4（）6（）16（）55aAADAABCbc第4題圖5、一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面倒下到的位置，連結(jié)，設(shè)，請(qǐng)利用四邊形的面積證明勾股定理：.6、如圖是2002年8月在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABCD和EF都是正方形. 證：ABFDAE7、（2010年遼寧省丹東市）圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，小穎將圖圖第7題圖圖中的陰影部分拼成圖的

12、形狀，由圖和圖能驗(yàn)證的式子是（ ）A B C D專(zhuān)題三 網(wǎng)格中的勾股定理1、如圖1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（ ） ABC（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH （D）AB、CD、EF2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（ ）A 0 B 1 C 2 D 33、（2010年四川省眉山市）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為（ ）A90° B60° C45° D30&#

13、176;4、如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)得到，可得ABC，則邊AC上的高為（ ）A. B. C. D. 5、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，請(qǐng)以圖中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為3、的三角形所畫(huà)的三角形是直角三角形嗎?說(shuō)明理由6、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，在圖中畫(huà)出面積為2的三個(gè)形狀不同的三角形（要求頂點(diǎn)在交點(diǎn)處，其中至少有一個(gè)鈍角三角形）專(zhuān)題四 實(shí)際應(yīng)用建模測(cè)長(zhǎng)1、如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2、有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝

14、在門(mén)上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以?xún)?nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門(mén)多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)鷶?shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30º方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過(guò)四級(jí)，則稱(chēng)為受臺(tái)風(fēng)影響.（1）該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多

15、少？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？專(zhuān)題五 梯子問(wèn)題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？AABABOA第20題圖2、一架方梯長(zhǎng)25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？ 3、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，ACBC，AC=BC，當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x與y的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 不能確定專(zhuān)題六 最短路線1、如圖，學(xué)校教學(xué)樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數(shù)同學(xué)為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花

16、鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了（）步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草A、6B、5 C、4D、32、如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20，高AB為10，BC是上底面的直徑。一螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程。3、如圖，有一個(gè)圓柱體，底面周長(zhǎng)為20，高AB為10，在圓柱的下底面A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想繞圓柱體側(cè)面一周爬行到它的頂端C點(diǎn)處，那么它所行走的路程是多少？AC4、如圖，假如這是一個(gè)圓柱體的玻璃杯， AD是杯底直徑，C是杯口一點(diǎn)，其他已知條件不變，螞蟻從外部點(diǎn)A處爬到杯子的內(nèi)壁到達(dá)高CD的中點(diǎn)E處，最短該走多遠(yuǎn)呢？(杯子的厚度不計(jì)）5、為籌備迎新生晚會(huì)，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)

17、了一個(gè)圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖，已知圓筒高108cm，其圓筒底面周長(zhǎng)為36cm，如果在表面纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長(zhǎng)油紙？BA6、如圖，一只螞蟻從一個(gè)棱長(zhǎng)為1米，且封閉的正方體盒子外部的頂點(diǎn)A向頂點(diǎn)B爬行，問(wèn)這只螞蟻爬行的最短路程為多少米？7、（2004淄博）如圖是一塊長(zhǎng)，寬，高分別是6cm，4cm和3cm的長(zhǎng)方體木塊一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（）A、（3+213）cmB、97cmC、85cmD、109cm8、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高 為20cm，點(diǎn)B到點(diǎn)C的

18、距離為5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要爬行的最短距離是多少？BCA2015109、如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？10、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為2m、0.3m、0.2m，A和B是臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，問(wèn)螞蟻沿著臺(tái)階爬行到B點(diǎn)的最短路程是多少？AB030.22.11、(2010福建泉州市惠安縣)如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm 和3cm，高為6cmBA6cm3cm1cm第17

19、題圖如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_cm；如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞3圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_cm專(zhuān)題七 折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8?，F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng) 2、如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長(zhǎng)嗎？3、三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，將AB向AC方向?qū)φ?，再將CD折疊到CA邊上，折痕CE，求三角形ACE的面積4、如圖, ABC的三邊BC=

20、3，AC=4、AB=5,把ABC沿最長(zhǎng)邊AB翻折后得到ABC，則CC的長(zhǎng)等于（ ）A. B. C. D.專(zhuān)題八 折疊四邊形1、折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,已知AB=8CM,BC=10CM,求（1）CF的長(zhǎng) （2）EC的長(zhǎng).2、在矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按圖所示方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求（1）DE的長(zhǎng)；（2）EF的長(zhǎng)。3.(2010福建泉州市惠安縣)矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)AB=4，AD=2將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為_(kāi).ABCDEG第16題圖F4、如圖2-3，把矩形ABC

21、D沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面積為_(kāi)5、如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G。如果M為CD邊的中點(diǎn)，且DE=6，求正方形ABCD的面積6、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它對(duì)折，折痕為EF，展開(kāi)后再沿BG折疊，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的長(zhǎng)。7、如圖，把矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處。（1）求證：；（2）設(shè)，試猜想之間的一種關(guān)系，并給予證明8、如圖，B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6（1） ACD是什么

22、三角形？為什么？（2） 把ACD沿直線AC向下翻折，CD交AB于點(diǎn)E，若重疊部分面積為4，求D'E的長(zhǎng)。9、邊長(zhǎng)為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對(duì)角線AC折疊后，點(diǎn)B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交x軸于點(diǎn)D，求（1）三角形ADC的面積，（2）點(diǎn)B1的坐標(biāo)，（3）AB1所在的直線解析式.10、（2010年廣東省廣州市）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E（1）記ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.CDBAEO專(zhuān)題九 旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：1、如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，若AP=3，求PP的長(zhǎng)。2、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的邊長(zhǎng).3、如圖，ABC為等腰直角三角