第九章 桿類構(gòu)件的變形

1、第九章 桿類構(gòu)件的變形習(xí) 題9.1 單元體ABCD的邊長為dx、dy，其，但其切應(yīng)變?yōu)椋嚽笈cx和y都成 45方向的AC線的線應(yīng)變。解：變形后的在方向上的投影為，如下圖所示： 由題意易知， 故：在與x和y都成 45方向的AC線的線應(yīng)變9.2 圖示三角形薄板因受外力作用而變形，角點B垂直向上的位移為 mm，假設(shè)AB和BC仍保持為直線。試求沿OB方向的平均應(yīng)變，并求AB和BC兩邊在B點的切應(yīng)變。 解：變形后的圖形為：由圖易知：OB=120mm，=，=（1）OB方向上的平均應(yīng)變 （2）由角應(yīng)變的定義可知，在B點的角應(yīng)變?yōu)?9.3 在軸向壓縮試件的A及B處分別安裝兩個杠桿變形儀，其放大倍數(shù)分別為KA=

2、1200， KB=1000，標(biāo)距均為s=20 mm，受壓后杠桿儀的讀數(shù)增量為 mm， mm，試求此材料的泊松比。解：由泊松比的定義知： 本題中： 9.4 求簡單結(jié)構(gòu)（a）中節(jié)點A的橫向位移和（b）結(jié)構(gòu)中節(jié)點A的豎向位移，設(shè)各桿的抗拉（壓）剛度均為EA。 (a) (b)解：（a）結(jié)構(gòu)中A點的受力平衡，經(jīng)受力分析，易得桿AB、AC的軸力： （拉） 結(jié)構(gòu)的最終變形如下圖所示： 位移為所求。 根據(jù)胡克定律，得： 由上圖所示的變形得幾何關(guān)系，可得： （b） 由點A的平衡可得桿BA、AD的軸力分別為 ，（拉） 由點B的受力圖如下圖所示，由平衡條件，可得桿BC、BD的軸力分別為： （拉），（壓） 采用以切線

3、代替回弧線的方法，畫出B點的變形圖，如下圖所示： 由幾何關(guān)系，可得B點的垂直位移為： 點A的水平位移和鉛垂位移分別為 9.5 如圖所示的桁架，兩桿材料相同，AB 桿的橫截面面積A1=100 mm2，AC 桿的橫截面面積 A2=80 mm2，彈性模量 E =210 GPa，鉛垂力F=20 kN。求 A 點的位移。解：以點A為研究對象，作受力圖。利用靜力學(xué)平衡條件可求得桿AB和AC的軸力分別為 9.6 混凝土柱尺寸如圖所示，柱的彈性模量E=120 GPa，柱受沿軸線的壓力F=30 kN的作用，若不計柱自重的影響，求柱的壓縮量。解：設(shè)距柱體底面高度處的正方形橫截面的變?yōu)閍,面積為A，則由幾何關(guān)系可得

4、 解得 于是 柱體內(nèi)的軸力恒為 柱體的總變形9.7 如圖所示兩根粗細(xì)相同的鋼桿上懸掛著一剛性梁 AB，今在剛性梁上施加一垂直力 F。欲使梁 AB 保持水平位置（不考慮梁自重）。求：加力點位置 x與 F和l之間的關(guān)系。解：先求CK、HE桿的軸力、與x的關(guān)系，取AB桿為研究對象，其受力如圖所示，由平衡條件可得 解之得 ， .由胡克定律可得兩桿的軸向伸長量分別為要使CG桿保持水平的條件為 = 解之得 9.8 圖示結(jié)構(gòu)，已知桿的直徑，。設(shè)桿為剛桿，若桿的許用應(yīng)力，求D點的最大鉛垂位移。解：因CD桿為剛性桿，故受力后的變形圖為 則： （1） （2） （1）（2）聯(lián)立得： 由圖示變形關(guān)系易得： 即：D端的

5、最大豎直位移為9.9 鋼制空心圓軸的外徑 D =100 mm，內(nèi)徑 d =50 mm。要求軸在 2 m 內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)角不超過 1.5，材料剪切彈性模量 G =82 GPa。求：（1）該軸所能承受的最大扭矩；（2）此時軸內(nèi)的最大切應(yīng)力。解：（1）設(shè)該軸所能承受的最大扭矩為Tmax 由公式得： （2）由題意知： 9.10 如圖所示為鉆探機鉆桿。已知鉆桿的外徑 D = 60 mm，內(nèi)徑 d =50 mm，功率 P =10 馬力，轉(zhuǎn)速 n =180 r/min。鉆桿鉆入地層深度 l=40 m，G =81 GPa，=40 MPa。假定地層對鉆桿的阻力矩沿長度均勻分布。求：（1）地層對鉆桿單位長度上的阻力

6、矩 Me；（2）作鉆桿之扭矩圖，并進行強度校核；（3）A、B 兩截面之相對扭轉(zhuǎn)角。 解：（1）由公式得： 由力矩平衡可得： 故有：（2）底層以上轉(zhuǎn)桿的扭矩為=用截面法對AB段的任意一截面O進行分析： 由力矩平衡可得： 由的表達式可畫出相應(yīng)的扭矩圖如下： 強度校核： 探桿上的最大扭矩為： 由公式得： 滿足強度要求。 （3）如圖所示，取任意截面x，該截面處的扭矩為： 段長度上的扭轉(zhuǎn)角為： AB面的相對轉(zhuǎn)角9.11 圖示鋼軸所受扭轉(zhuǎn)力偶分別為 kNm， kNm及 kNm，已知，G=80GPa。試求軸的直徑D。解：對AB段進行分析：由力矩平衡得：=0.8 kNm 同理對BC進行分析：易得： =-0.4

7、 kNmAB的扭矩圖為：經(jīng)比較知：AB段危險（1） 由公式和得： （2） 由公式和得： 故：軸的最小直徑的取值為9.12 如圖所示傳動軸的轉(zhuǎn)速 n 為 200 r/min，從主動輪 2 上輸入功率 55 kW ，由從動輪 1、3、4 及 5 輸出的功率分別為 10 kW 、13 kW 、22 kW 及 10 kW 。已知材料的許用切應(yīng)力= 40 MPa，剪切彈性模量 G =81 GPa，要求 /m。試選定軸的直徑D。解：由公式得：從動輪 1、2、3、4 及 5 處所傳遞的扭矩分別為：用截面法分別對AB、BC、CD、DE段進行受力分析，由力矩平衡易得該軸的扭矩圖：（單位：）由扭矩圖知危險截面應(yīng)位

8、于2、3輪之間的BC段，該段上（1）由公式和得： 故（2）由公式和得： 為了安全起見，軸的直徑應(yīng)滿足條件：9.13 某圓截面鋼軸，轉(zhuǎn)速，所傳功率，許用切應(yīng)力，單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角，切變模量。試確定軸的直徑D。解：由該軸所傳遞的扭矩的大小為：（1）由公式和得： （2）由公式和得： 綜上分析：軸的直徑應(yīng)滿足條件 （約合68mm）9.14 直徑d=25 mm的鋼圓桿受軸向拉力60 kN作用時，在標(biāo)距 m的長度內(nèi)伸長了 mm kNm作用時，相距 m ，試求鋼材的E， G和。解：由題意易知 應(yīng)變 面積應(yīng)力（1）由胡克定律得：（2）由轉(zhuǎn)角公式得：（3）由E、G關(guān)系式得：9.15 一薄壁鋼管受外力偶作用。已

9、知外徑，內(nèi)徑，材料的彈性模量，現(xiàn)測得管表面上相距的兩橫截面相對扭轉(zhuǎn)角，試求材料的泊松比。解:由題意知：內(nèi)外徑之比 由轉(zhuǎn)角公式得： 由E、G關(guān)系式得：9.16 傳動軸外徑，長度，段內(nèi)徑，段的內(nèi)徑，欲使兩段扭轉(zhuǎn)角相等，則的長度應(yīng)為多少？解：用截面法易得該傳動軸的扭矩圖即傳動軸任意截面的扭矩均為設(shè) 、段的轉(zhuǎn)角分別為、，由轉(zhuǎn)角公式得： 欲使應(yīng)有： 其中，故： （其中，） 又因解得：9.17 寫出圖示各梁的邊界條件。 (a) (b) (c) (d)解： x=0, =0x=, =0 x=a, =0x=a+, =0 x=0, =0x=, =0x=+3a, =0 x=0, =0x=a+, =09.18 和為常

10、數(shù)，試用積分法求梁端部的轉(zhuǎn)角，以及最大撓度。 (a) (b) (c) (d)解： （a）如圖所示，根據(jù)平衡條件，求出支座反力彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為（因結(jié)構(gòu)和載荷均對稱，故只考慮AD段）AC段 （0a） CD段 （a3a） 由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)： 由，得 由得 由得 由得 各段撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為端截面轉(zhuǎn)角 最大撓度產(chǎn)生在跨度中點處（b）如圖所示，根據(jù)平衡條件，求出支座反力 彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為AC段 （0a） CD段 （a2a） 由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)： 由，得 由得 由得 各段撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為端截面轉(zhuǎn)角 撓度取極值的條件是，即 跨度

11、中點處撓度（c）如圖所示，根據(jù)平衡條件，求出支座A的約束反力彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為 由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)： 由，得 由得 各段撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為端截面轉(zhuǎn)角 撓度取極值的條件是，即 最大撓度產(chǎn)生在跨度中點處（d）如圖所示，分布載荷集度，撓曲線微分方程及其積分 由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)： 由，得 由得 由得 由得 各段撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為撓度取極值的條件是，即 將代入撓曲線方程，得最大撓度端截面轉(zhuǎn)角 跨度中點處撓度9. 19 和為常數(shù)，用積分法求懸臂梁自由端的撓度。 (a) (b)解 (a) 當(dāng)時 當(dāng)時當(dāng)時利用邊界條件確定積分常數(shù)： 由，得 (1)由,，得

12、 (2)由，得 (3)由，, 得 (4) 由，得 由，, 得 聯(lián)立式(1)(4)，解得 所以BC段的撓曲線方程為 B端的撓度為(b)如下圖所示，建立坐標(biāo)系。 當(dāng)時， 積分兩次，得： 當(dāng)時， 積分兩次，得： 由邊界條件確定積分常數(shù)： 當(dāng)時，所以： 當(dāng)時， 有： 所以： 當(dāng)時， 即：B端的撓度值為（）9.20 和為常數(shù)，試用積分法求圖示梁C截面的的撓度wC。 (a) (b) 解：（a）如圖所示，根據(jù)平衡條件，求出支座反力 彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為AD段 （0a） DB段 （a2a） BC段 （2a3a） 由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)： 由，得 由得 由得 由得 由得 由得 聯(lián)立上面

13、式子有各段撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為端截面轉(zhuǎn)角 C處撓度 （b）如下圖所示，以A為原點建立相應(yīng)的坐標(biāo)系。 對該結(jié)構(gòu)進行受力分析，易得： 撓曲線微分方程及其積分：（1） 當(dāng)時，有：積分兩次，得： （2） 當(dāng)時，有：積分兩次，得： 由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)： 當(dāng)時， 有： 當(dāng)時， 截面C處的撓度值為 9.21 和為常數(shù)，試用積分法求圖示梁C截面的的撓度wC和A截面的轉(zhuǎn)角。(a) (b) 解：（a）如下圖所示，以A為坐標(biāo)原點建立相應(yīng)的坐標(biāo)系： 該結(jié)構(gòu)的等效受力圖形為： 如上圖所示，根據(jù)平衡條件，求出支座反力 彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為（1）AC段 （0x2a）積分兩次得： （2）CB段

14、 （2ax3a） 積分兩次得： 由邊界條件，得： 當(dāng)x=0時，有： 當(dāng)x=3a時， 即： 解得： 當(dāng)x=2a時， 解得：所以： (b) 如下圖所示，以A為坐標(biāo)原點建立相應(yīng)的坐標(biāo)系： 該結(jié)構(gòu)的等效受力圖形為： 對上面結(jié)構(gòu)進行受力分析，易得： 彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為： （1）AD段 時，有： （2）DC段 時，有： （3）CB段 時，有： 由邊界條件確定積分常數(shù)(1) A點 時，有：（2）D點 時，有： 所以有：解得：（3）B點 時，有： （4）C點 時，有： 當(dāng)時，有：即：梁C截面的的撓度wC和A截面的轉(zhuǎn)角分別為：和。9.22 和為常數(shù)，試用疊加法求圖示外伸梁的、及wA、wD。解：設(shè)

15、想沿截面B將外伸梁分成兩部分，AB部分為懸臂梁，BC部分為簡支梁，如下圖所示：參照梁在簡單荷載作用下的變形表得： 故： 所以有： 解畢。9.23 和為常數(shù)，試用疊加法求圖示外伸梁中點的撓度wC。解：題中BD段的受力可以等效為：其中： 參照梁在簡單荷載作用下的變形表得：由M1引起的C處的撓度為：由M2引起的C處的撓度為：所以，C處的總撓度值為： 9.24 如圖所示為一變截面懸臂梁，受到集中載荷F的作用，抗彎剛度分別為EIz和2EIz。試求自由端A處截面的轉(zhuǎn)角和撓度。解：將兩段分別剛化，如圖（a）（b）（c）所示：參照梁在簡單荷載作用下的變形表得： 截面A處的轉(zhuǎn)角和撓度分別為：9.25 E為常數(shù)，

16、試用疊加法計算圖示各階梯形梁的最大撓度。設(shè)慣性矩。 （a） （b） 解：（a）顯然，最大撓度在懸臂梁的端部取得。與習(xí)題9.24的解法相同， 其中，以及，端部的最大撓度為： （） （b）由于梁的受力與支座形式對稱于中截面，梁的撓曲線也對稱于該截面，其右半段的變形，與下圖所示懸臂梁的變形相同 B端的變形由以下三部分構(gòu)成： 參照梁在簡單荷載下變形表，易得： 所以，中截面處得撓度值為： 9.26 圖（a）所示簡支梁，中段承受均布載荷作用，試用疊加法計算梁跨中點橫截面的撓度。設(shè)彎曲剛度為常數(shù)。（提示：由于梁的受力與支座形式對稱于截面，梁的撓曲線也對稱于該截面，其右半段的變形，與圖（b）所示懸臂梁的變形相

17、同）解：由提示可知，（b）圖中端部B的位移等于（a）圖中點C點的撓度。查梁在簡單荷載作用下的變形表可得： 易得：截面B處的撓度值為 所以截面C處的撓度大小為：9.27 在如圖示懸臂梁，彎曲剛度為常數(shù)，求B截面的撓度及轉(zhuǎn)角wB。解：將兩段分別剛化，得相應(yīng)的受力圖：參照簡單荷載下的梁的撓度與轉(zhuǎn)角對照表可得： 故有： 9.28 在圖示懸臂梁上，載荷可沿梁軸移動。如欲使載荷在移動中始終保持相同的高度，則此梁應(yīng)預(yù)彎成什么形狀？設(shè)彎曲剛度為常數(shù)。解：設(shè)懸臂梁曲線的方程為，當(dāng)載荷F移動到x處時，懸臂梁在力F作用點處的撓度為，欲使載荷移動時總保持同一高度即沿水平（x軸）方向，則必須即 9.29 滾輪沿簡支梁移

18、動時，要求滾輪恰好走過一條水平路徑，試問須將梁的軸線預(yù)先彎成怎樣的曲線？設(shè)EI=常數(shù)。解:集中力作用下的簡支梁，其力作用點的撓度查表得：欲使?jié)L輪走水平路徑，則集中力作用點的預(yù)制高度值，應(yīng)恰好和直梁對應(yīng)點的撓度相等，所以預(yù)彎成的曲線方程應(yīng)當(dāng)就是直梁受集中力時的撓度曲線方程 變寬度懸臂梁如圖所示，其厚度（即截面高度）h 為常數(shù)，梁在自由端受有集中力 F的作用，梁在固定端的寬度為 b，F(xiàn)、b、h、l等均為已知。求：梁的撓度曲線方程。解：如下圖所示建立坐標(biāo)系： 易得截面x處的彎矩值為：X截面處的慣性矩為：懸臂梁的撓曲線方程為：兩次積分，得： 由梁的邊界條件確定積分常數(shù)：由，得由，得所以，梁的撓度曲線方程為：9.31 如圖所示之具有初曲率、不計重量的梁，初始形狀可由方程來描述，梁的左端為插入端約束，右端受有集中力 F。當(dāng)力增加時，插入端附近的梁逐漸與剛性平面接觸。F、EIz、K、l等均為已知。求：（1）在力F作用下梁與剛性平面接觸部分的長度 a。（2）在力