高等數(shù)學(xué)教程 第四章無窮級數(shù)4-4 Fourier級數(shù)

1、Fourier 級數(shù)周期函數(shù)與三角級數(shù)周期函數(shù)與三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性與三角函數(shù)系的正交性與Fourier級數(shù)級數(shù)周期函數(shù)的周期函數(shù)的Fourier展開（正弦和余弦級數(shù)）展開（正弦和余弦級數(shù)）0, l上函數(shù)的上函數(shù)的Fourier級數(shù)（奇、偶延拓）級數(shù)（奇、偶延拓）Fourier級數(shù)的復(fù)數(shù)形式級數(shù)的復(fù)數(shù)形式2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2一、周期函數(shù)與三角級數(shù)一、周期函數(shù)與三角級數(shù)例：非正弦周期函數(shù)例：非正弦周期函數(shù):矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)不同頻率正弦波逐個疊加不同頻率正弦波逐個疊加,7sin714,5sin514,3sin314,si

2、n4tttt 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3tusin4 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4)3sin31(sin4ttu 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5)5sin513sin31(sin4tttu 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7)7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院

3、數(shù)學(xué)系8 10)sin()(nnntnAAtf三角級數(shù)三角級數(shù)諧波分析諧波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 三角級數(shù)三角級數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9問題：問題：n1 f(x) 滿足什么條件時，才能展開為三滿足什么條件時，才能展開為三角級數(shù)？角級數(shù)？n2 如果如果 f(x) 能展開為三角級數(shù)，展開式能展開為三角級數(shù)，展開式中的系數(shù)如何確定？中的系數(shù)如何確定？ 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系101.1.三角函數(shù)系的正交性三

4、角函數(shù)系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:上的積分等于零上的積分等于零任意兩個不同函數(shù)在任意兩個不同函數(shù)在正交正交 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系二、三角函數(shù)系的正交性和二、三角函數(shù)系的正交性和 Fourier級數(shù)級數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中正交函數(shù)系正交函數(shù)系2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系122.2.傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)

5、01( )(cossin)2kkkaf xakxbkx 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)2 f x定理定理1 1 如果以如果以在區(qū)間在區(qū)間, 上能展開為可逐項積分的級數(shù)：上能展開為可逐項積分的級數(shù)：則其系數(shù)公式為則其系數(shù)公式為 nxdxxfancos)(1 nxdxxfbnsin)(1Fourier 級數(shù)級數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或傅里葉系數(shù)傅里葉

6、系數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14三、周期函數(shù)的三、周期函數(shù)的Fourier展開展開首先考慮如下問題首先考慮如下問題: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf條件條件1 正弦級數(shù)和余弦級數(shù)正弦級數(shù)和余弦級數(shù)2 以以2L2L為周期為周期的的FourierFourier級數(shù)級數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15狄利克雷狄利克雷(Dirichlet(Dirichlet) )充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) )設(shè)設(shè))(xf是以是以 2為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .如果它滿足條件如果它滿足條件: :在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間

7、斷點在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點, ,并且并且至多只有有限個極值點至多只有有限個極值點, ,則則)(xf的傅里葉級數(shù)收斂的傅里葉級數(shù)收斂, ,并且并且( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點點時時, ,級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf; ;(2)(2) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的間斷點時的間斷點時, , 收斂于收斂于2)0()0( xfxf; ;(3) (3) 當(dāng)當(dāng)x為端點為端點 x時時, , 收斂于收斂于2)0()0( ff. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16注意注意: : 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的

8、多冪級數(shù)的條件低的多.解解例例 1 以以 2為為周周期期的的矩矩形形脈脈沖沖的的波波形形 0,0,)(tEtEtumm將將其其展展開開為為傅傅立立葉葉級級數(shù)數(shù).otumEmE 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.), 2, 1, 0(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點 kkx2mmEE 收斂于收斂于2)(mmEE , 0 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17).(,xfkx收斂于收斂于時時當(dāng)當(dāng) 和函數(shù)圖象為和函數(shù)圖象為otumEmE ntdttuancos)(1 00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm), 2 , 1 , 0(0 n ntdttubnsin)

9、(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18)cos1(2 nnEm)1(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19注意注意: : 對于非周期函數(shù)對于非周期函數(shù),如果函數(shù)如果函數(shù) 只在只在區(qū)間區(qū)間 上有定義上有定義,并且滿足狄氏充并且滿足狄氏充分條件分條件,也可展開成傅氏級數(shù)也可展開成傅氏級數(shù).)(xf, 作法作法: :(2

10、)( )( )(, )TF xf x 周周期期延延拓拓 )0()0(21 ff端點處收斂于端點處收斂于2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20例例 2 將函數(shù)將函數(shù) xxxxxf0,0,)( 展開為傅立展開為傅立葉級數(shù)葉級數(shù).解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 拓廣的周期函數(shù)的傅拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在氏級數(shù)展開式在收斂于收斂于 .)(xf, xy0 2 2 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21 nxdxxfancos)(1 00cos)(1cos)(1nxdxxfnxdxxf)1(cos22 nxn 1)1(22 nn dxxfa)

11、(10 00)(1)(1dxxfdxxf, 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin)(1sin)(1nxdxxfnxdxxf, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23利用傅氏展開式求級數(shù)的和利用傅氏展開式求級數(shù)的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx時時當(dāng)當(dāng) 222513118,4131211222 設(shè)設(shè)),8(5

12、13112221 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24,6141212222 ,41312112223 ,44212 ,243212 21 ,62 132.122 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25 一般說來一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項弦項,又含有余弦項又含有余弦項.但是但是,也有一些函數(shù)的傅里葉也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.1 正弦級數(shù)和余弦級數(shù)正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 注意到奇函數(shù)和偶函數(shù)在對稱區(qū)間積分的性注意到奇函數(shù)和偶函數(shù)在對稱區(qū)間積分的性質(zhì)，可以得

13、到下面的結(jié)論質(zhì)，可以得到下面的結(jié)論2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系26(2)(2)當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級展開成傅里葉級數(shù)時數(shù)時, ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann(1)(1)當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的奇函數(shù)的奇函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時時, ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27定義定義 如如果果)(xf為為奇

14、奇函函數(shù)數(shù), ,傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)nxbnnsin1 稱稱為為正正弦弦級級數(shù)數(shù). .如果如果)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), , 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxaanncos210 稱為稱為余弦級數(shù)余弦級數(shù). .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系28解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點 kkx2)0()0( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點在連續(xù)點 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系29 2 2 3 3xy0,2)()12(為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù)是以是以

15、時時 xfkx和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象), 2 , 1 , 0(, 0 nan2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系30 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 觀觀察察兩兩函函數(shù)數(shù)圖圖形形2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系32解解所給函數(shù)滿足狄利克雷

16、充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個在整個數(shù)軸上連續(xù)數(shù)軸上連續(xù).,)( 為偶函數(shù)為偶函數(shù)tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E), 2 , 1( n2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02,1)2(42knknkE當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)), 2 , 1( k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1( n2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系34 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE,

17、0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu)( x.142cos21212 nnnxE2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系35,2lT .2lT 定理定理式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開定理的條件定理的條件滿足收斂滿足收斂的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入代入Fourier級數(shù)中級數(shù)中2 以以2L2L為周期為周期的的FourierFourier級數(shù)級數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系36為為其其中中系系

18、數(shù)數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(為奇函數(shù)為奇函數(shù)如果如果xf則有則有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1( n2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系37,)()2(為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果xf則有則有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1 , 0( n證明證明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfx

19、f 設(shè)設(shè).2)(為周期為周期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系38)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其中其中)()(xfzFlxz 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系39k2 xy2044 解解., 2 滿滿足足狄狄氏氏充充分分條條件件 l 2002021021kdxdxa,k 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系40 202c

20、os21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng))25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系41解解,10 xz作變量代換作變量代換105 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的定義的定義補充函數(shù)補充函數(shù) zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作周期延拓作周期延拓然后將然后將,收收斂斂定定理理的的條條件件這這拓拓廣廣的的周周期期函函數(shù)數(shù)滿滿足

21、足).()5, 5(zF內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于且且展展開開式式在在 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系42x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系43另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn

22、, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系44四、四、0, l上函數(shù)的上函數(shù)的Fourier級數(shù)級數(shù)非周期函數(shù)的周期性延拓非周期函數(shù)的周期性延拓F(x).函數(shù)為周期的2l延拓成以,上l0,定義義f(x)設(shè),0)(0)()(xlxglxxfxF令),()2(xFlxF且則有如下兩種情況. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系45奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xlxfx

23、lxxfxF則xy0ll的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf 1sin)(nnnxbxf)0(lx 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系46偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xlxflxxfxF則的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0(lx xy0ll2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系47解解 (1)(1)求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). .,)(進(jìn)行奇延拓進(jìn)行奇延拓對對xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)20

24、07年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系483sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x1 xy5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxxx 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系49(2)(2)求余弦級數(shù)求余弦級數(shù). .,)(進(jìn)行偶延拓進(jìn)行偶延拓對對xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系501 xy)7

25、cos715cos513cos31(cos4121222xxxxx 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系51五、五、Fourier級數(shù)的復(fù)數(shù)形式級數(shù)的復(fù)數(shù)形式以以2L為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)為為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)為),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn ), 2 , 1 , 0(cos)(1 ndxlxnxflalln ), 3 , 2 , 1(sin)(1 ndxlxnxflblln 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系52代入歐拉公式代入歐拉公式,2cosititeet ,2sinieetitit )sincos(2)(10lxnblxnaaxfn

26、nn 10222nlxnilxninlxnilxnineeibeeaa 10222nlxninnlxninneibaeibaa2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系53), 3 , 2 , 1( n 10nlxninlxnineCeCC ,200aC 令令,2nnnibaC ,2nnnibaC ,)(lxninneCxf 于是有于是有), 2, 1, 0()(21 ndxexflClllxnin 傅里葉系數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉系數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系54解解 1121dxeecxinxn 11)1(21dxexin

27、 coscos1121122 nenenin , 1sinh11)1(22 ninn 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系55.1sinh11)1()(22xinnneninxf ), 2, 1, 0, 12( kkx2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系56播放播放1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數(shù)的意義傅氏級數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系57思考題思考題 若函數(shù)若函數(shù))()(xx ，問：，問：)(x 與

28、與)(x 的傅里葉系數(shù)的傅里葉系數(shù)na、nb與與n 、n ), 2 , 1 , 0( n之間有何關(guān)系？之間有何關(guān)系？2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系58思考題解答思考題解答 nxdxxancos)(1 )()cos()(1tdntt nxdxx cos)(1 nxdxx cos)(1n ), 2 , 1 , 0( n2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系59 nxdxxbnsin)(1 )()sin()(1tdntt nxdxx sin)(1 nxdxx sin)(1n ), 2 , 1( n,nna .nnb 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系60一、一、

29、設(shè)周期為設(shè)周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù))(xf在在), 上的表達(dá)式上的表達(dá)式為為)0(0,0,)( baxaxxbxxf常數(shù)常數(shù)試將試將其展開成傅里葉級數(shù)其展開成傅里葉級數(shù) . .二、二、 將下列函數(shù)將下列函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù): : 1 1、 xxexfx0 , 10,)(； 2 2、)sin(arcsin)( xxf. .練練 習(xí)習(xí) 題題2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系61一、一、)(4)(baxf 112sin)()1(cos)()1(1 nnnnxnbanxnab ), 2, 1, 0,)12( nnx. .二、二、1 1、nxneexfnncos

30、1)1(1121)(12 nxnnennnnsin)1(11)1(112 ( ( x) )練習(xí)題答案練習(xí)題答案2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系622 2、),(sin2)1()(11 nxnxfnn. . ( (提示提示: : xxxxf,)sin(arcsin)() )2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系63一、一、 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù), ,它在它在), 上的表上的表達(dá)式為達(dá)式為 xxxxxf2,222,2,2)(. .二、二、 將函數(shù)將函數(shù))0(2)(2 xxxf分別展開成正弦級數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)和余弦級數(shù) . .練習(xí)題

31、練習(xí)題2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系64三、三、 將以將以 2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)2)(xxf 在在),( 內(nèi)展開成內(nèi)展開成傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù), ,并求級數(shù)并求級數(shù) 01121)1(nnn的和的和 . .四、四、 證明證明: :當(dāng)當(dāng) x0時時, , 1222624cosnxxnnx. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系65一、一、nxnnnxfnnsin2sin2)1()(121 . . ), 2, 1, 0,)12( nnx二、二、nxnnnxfnsin2)2()1(4)(323 )0( x； )0(cos)1(832)(122 xnxnxfnn. .三、

32、三、),(sin1)1(211 xnxnxnn； 4 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系66一、一、 設(shè)周期為設(shè)周期為2的周期函數(shù)的周期函數(shù))(xf在一個周期內(nèi)的表達(dá)式在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為為 121,1210,101,)(xxxxxf, ,試將其展開成傅里葉級試將其展開成傅里葉級 數(shù)數(shù) . .二、二、 試將函數(shù)試將函數(shù) lxlxllxxxf2,20,)(展開成正弦級數(shù)和余展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)弦級數(shù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系67三、三、 將函數(shù)將函數(shù) 232,22,)(xxxxxf展開成展開成傅里葉級數(shù)傅里葉

33、級數(shù) . .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系68練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、 4)(xf 122sin2cos21cos2sin2)1(1nnxnnnxnnnn ), 2, 1, 0,212,2( kkxkx. .二、二、)0(sin2sin14)(122lxlxnnnlxfn ；2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系69 lxnnnllxfnn cos)1(12cos2124)(122 )0(lx . .三、三、 12)2)(12cos()12(14)(nxnnxf )0(lx . .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系70小結(jié)小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.

34、傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數(shù)的意義傅氏級數(shù)的意義整體逼近整體逼近2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系71小結(jié)小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數(shù)的意義傅氏級數(shù)的意義整體逼近整體逼近2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系72小結(jié)小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數(shù)的意義傅氏級數(shù)的意義整體逼近整體逼近2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系73小結(jié)小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數(shù)的意義傅氏級數(shù)的意義整體逼近整體逼近2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系74小結(jié)小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展