求多邊形邊數(shù)的兩種方法(含答案)-

1、求多邊形邊數(shù)的兩種方法一、算術(shù)方法我們知道：對于邊數(shù)是 n的凸多邊形而言，其外角的和是常數(shù)即360o,與多邊形的邊360數(shù)無關(guān)。當已知正多邊形的一個外角（或內(nèi)角）度數(shù)大小時，可直接由 一0求出邊數(shù)。例1 .已知一個正多邊形的每個外角都是72o,求多邊形的邊數(shù)。360解：因為外角的和是 3600,所以，邊數(shù)=360 5.72例2.已知一個正多邊形的每個內(nèi)角都是1440,求多邊形的邊數(shù)。解：因為正多邊形的每個外角都是1800 144o=36o360而外角的和是3600,所以邊數(shù)=360 10.36評注：這種方法對于求正多邊形的邊數(shù)的問題是十分有效的，避免了代入內(nèi)角和公式n 2180計算時，導致的大

2、量的運算。二、代數(shù)方法我們知道：對于邊數(shù)是n的凸多邊形，其內(nèi)角的和是 n 2 180 ,與多邊形的邊數(shù)有關(guān)。利用內(nèi)角的和公式，列方程（組）求邊數(shù)。例3.凸多邊形除去一個內(nèi)角之外，其余內(nèi)角的和為25700,求邊數(shù)和該內(nèi)角的大小。解：設該內(nèi)角的度數(shù)為度，邊數(shù)為n。由內(nèi)角和公式 n 2180得:2n 2180 2570n 1650180因為n為正整數(shù)，0180所以： 50 18013050n 1616 1 17例4、已知兩個凸多邊形的內(nèi)角和是3600o,并且兩個凸多邊形的邊數(shù)比是180評注：利用隱含條件：“ n為正整數(shù)，0180 ”，求出滿足二元一次不定方程的正整數(shù)解，是解答上述類型的問題的一般方法

3、。例4、一個凸多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和是 2520o,求原多邊形的邊數(shù)。分析：一個凸多邊形截去一個角后，會出現(xiàn)三種情況：(1)邊數(shù)與原凸多邊形的邊數(shù)一樣，如圖 1;(2)邊數(shù)比原凸多邊形的邊數(shù)減少1條，如圖2;(3)邊數(shù)比原凸多邊形的邊數(shù)多1條，如圖3。解：(1)邊數(shù)與原凸多邊形的邊數(shù)一樣，設邊數(shù)為n。n 2180 2520 n 16(2)邊數(shù)比原凸多邊形的邊數(shù)減少1條，邊數(shù)為n 15；(3)邊數(shù)比原凸多邊形的邊數(shù)多1條，邊數(shù)為n 17 o評注：考慮問題必須周密，防止出現(xiàn)遺漏。-4 -1:2,求兩個多邊形的邊數(shù)。解：依題意設兩個多邊形的邊數(shù)分別是n、2n,則:n 2180

4、2n 2180 3600 n 82n =16。兩個多邊形的邊數(shù)分別為 8和16。三、同步練習：1 .個凸多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)都是150。，求它的邊數(shù)。12 .各個內(nèi)角都相等的凸多邊形中，一個外角等于它相鄰內(nèi)角的一，求這個多邊形的每2個內(nèi)角的度數(shù)和它的邊數(shù)。3 .凸n邊形的內(nèi)角和與外角和之比是 9 ： 2,求n的值。4.兩個多邊形的邊數(shù)之比是 3: 2,內(nèi)角和之比是7: 4,求兩個多邊形的邊數(shù)。同步練習答案：1 .解法1:因為多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)都是1500,所以，多邊形的每個外角的度數(shù)都是1800-1500=300,因為凸多邊形外角和 =3600,所以邊數(shù)=360 + 30=12。解法 2： n 2180=150n=122 .解法1 ：因為一個外角與它相鄰內(nèi)角的和=1800,設內(nèi)角為x度.,1所以 1x x 180 x 120, 2n 2180=120nn=6-6 -3.解:n 2 1