2014年高考導數(shù)問題的題型方法盤點

1、第頁共 6 頁12014 年高考導數(shù)問題的題型方法盤點新教材引入導數(shù)的內容后，拓展了高中數(shù)學學習和研究的領域，給傳統(tǒng)的中學 數(shù)學內容注入了生機與活力，也為高中數(shù)學解題增添了新的視角，新的方法。此外， 由于導數(shù)的工具性和導數(shù)的幾何意義也使得導數(shù)與解析幾何、不等式、函數(shù)等知識 的緊密相聯(lián)，在這些知識交匯點處設計層次不同，難度可控的試題，拓寬了高考的 命題空間。近幾年的高考，加大了對導數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且 問題的難度、深度與廣度也在不斷加大， 以考查學生對知識的整體把握和綜合能力 已成為新高考中的一道靚麗的風景線。導數(shù)在高考中經?？嫉娜缦聝热?.導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見

2、函數(shù)的導數(shù) 2 兩個函數(shù)的和、差、基本導數(shù)公式，利 用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，函數(shù)的最大值和最小值 3 利用結論求參數(shù)的范 圍 4 由前面的結論證明與自然數(shù)相關的不等式下面筆者就2014年高考題談談導數(shù)問題的常見類型及其解法，以供參考。1對導數(shù)定義和求導法則的考查例1【2014江西高考理第14題】若曲線y = e上點P處的切線平行于直線2x y 0，則點P的坐標是_.（ In 2，2）點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)求導公式及導數(shù)的幾何意義，屬于低起點題，但命題形式生動活潑.只要能夠對三角函數(shù)順利求導，就能快速做出答案.2對導數(shù)的幾何意義的考查12例2曲線y和y二x在它們交點處的兩條切線與X軸所圍

3、成的三角形面積X是_ ._12解：曲線y和y=x2在它們的交點坐標是（1，1），利用求導的方法求切線的斜率得，x兩條切線方程分別是y=-x+2和y=2x1，它們與x軸所圍成的三角形的面積是3。4點評：本題涉及到函數(shù)曲線的切線問題，由于無法用傳統(tǒng)的二次方程根的判別式來求解，導數(shù)的幾何意義無疑為這類問題的解決提供了新方法、新途徑。實際上，涉及到曲線的切線尤其是三次或三次以上的曲線與對數(shù)曲線、指數(shù)曲線等曲線的切線和公切線問題，常?？紤]利用導數(shù)來求解，可謂事半功倍。3對利用導數(shù)求函數(shù)的極值或最值的考查利用導數(shù)求函數(shù)的極大（?。┲?，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間a，b上的最大最小值，或利用求導法 解決一些實際問題是高

4、中函數(shù)內容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化、 程序化，因而已逐漸成為新高考第頁共 6 頁2的一大熱點。第頁共 6 頁3./321nn例3已知函數(shù)f (x) =4x -3x cos，其中xR, v 為參數(shù)，且0 ,(I)322當COST- 0時，判斷函數(shù)f (x)是否有極值;(n)要使函數(shù)f (x)的極小值大于零，求參數(shù) 二的取值范圍;31解：(I)當COST - 0時f(x) =4x3,則f (x)在(：，：)內是增函數(shù)，故無極值。32(II)f(x) =12x2-6xcos 3令f(x)=0,得論=0公2=-.23T由0蘭日蘭二及(I),只需考慮cos日0的情況。2當x變

5、化時，f (x)的符號及f (x)的變化情況如下表:x(T0)0cos。(0) 2cos日2cos日2f(x)+0一0+f(x)極大值I極小值因此，函數(shù)f(x)在X =co空處取得極小值f(co)1且f(cos-cos丄.222432cos H111TTTT要使f( ) 0,必有cos30,可得0：cos-,所以一：2432232析和解決問題的能力。這類問題用傳統(tǒng)數(shù)學教材中的在識與方法往往難以解決, 類問題的重要工具。4運用導數(shù)解決與函數(shù)單調性有關的問題的考查運用導數(shù)的符號判斷函數(shù)單調性的知識，或者已知函數(shù)的單調性，反過來確定函數(shù)式中特定字母的值或范圍。并且在知識考核的過程中包含著對分類討論及

6、轉化與化歸等的數(shù)學思想的全面 考查，是近年來高考的必考之點。例4設x=3是函數(shù)f (x(x2ax b)e3( R)的一個極值點，求f (x)的單調區(qū)間。解：由題意得：f/(x)= -x2+(a-2)x+ba e3_x,由f(3)=0,得 一3?+(a2)3+ba e =0，即得b =32a，則:/23x23x3x評注：本小題主要考查運用導數(shù)研究函數(shù)的極值、解不等式等基礎知識,考查學生的綜合分導數(shù)成為破解第頁共 6 頁4f (x)=x2+(a2)x32aa e3 x=x2+(a2)x33a e3 x=(x3)(x+a+1)e3,第頁共 6 頁5令f/(x)=0,得x1=3或x2=-a1，由于x=

7、3是極值點，所以x+a+1豐0,那么a 4.(1)當a3=X1，則在區(qū)間(一a,3) 上,f/(x)0,f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間(一a1，+a)上,f/(x)4時，X23=xi,則在區(qū)間(一a,a1) 上,f/(x)0,f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間(3,+)上，f (x)0,f(x)在(一，+a)為增 函數(shù)，所以a=;223(ii)若厶=128a 0,f(x)在(a，+a)為增函數(shù)，所以a ,6f)U (于于,+ a )，一 _2卄J66入 c,、e&力仆a32a?a+/3-2a?(iii)若厶128a 0,即一ma0,f(X)為增函數(shù)；當x(X1,X2)時，f(X)0且x2w1，由x

8、10得a32 a2，解得1avf；由X21得.32a2w3a,解得一vav；6，從而a 口,- 綜上a的取值范圍為(一a)Ur6,+aU三三6，即a(a,)U1,a。點評：可導函數(shù)f (x)在(a,b)上是單增(或單減)函數(shù)的充要條件是：對于任意x(a,b),都有f (x)一0(或f (x)豈0)，且f (x)在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為零。在高中階段主要出現(xiàn)的即a(a第頁共 6 頁6是有一個或多個(有限個)使f (x) =0的點x的情況。上述兩題主要考查了學生應用導數(shù)研究函數(shù)單調性的方法以及分類討論及轉化與化歸的數(shù)學思想。這種命題方式是今后高考命題的一種趨7向，體現(xiàn)了咼考能力立意”的思

9、想，復習中應引起咼度重視。5對利用導數(shù)處理含參數(shù)的恒成立問題的考查恒成立問題中的參數(shù)取值范圍，其解決方式較多，如果我們在短時間內難以很快尋得正確的解題思路時，可以考慮試試從導數(shù)知識入手，解題或許將鋒回路轉，柳暗花明，這就再一次說明 導數(shù)在教材中的引入，拓寬了高考的命題空間，受到命題教師的青睞。例6已知函數(shù)f x=L_ex，若對任意xW0,1恒有f x 1，求a的取值范圍。1 -x2解：f(x)的定義域為(一8,1)U(1,+8)，對f(x)求導數(shù)得f (x)=ax+一: eax. (1x)當00, f(x)在(8,1)和(1,+8)為增函數(shù).，對任意x(0,1)恒有f(x)f(0)=1;a一2

10、-，一a,-)為減函數(shù)，取xo= 2 (0,1)，則由(I)知f(xo)1且e一ax1，得f(x)=戶e一ax嚴1.;1x1x 1x綜上當且僅當a(8,2)時，對任意x(0,1)恒有f(x)1。點評：含參數(shù)的恒成立不等式問題，常規(guī)解法涉及到分類討論和建立較復雜的不等式組，對學生的要求比較高.導數(shù)的引入，給傳統(tǒng)的參數(shù)取值范圍注入了生機與活力，為恒成立不等式中的參數(shù)取值范圍的研究提供了新的視角、新的方法，本題就是運用求導法研究恒成立問題的一個很好的例證。6與導數(shù)有關的創(chuàng)新試題的考查類比思想是根據兩個對象之間存在的某種關系，從一個對象具有的屬性類比到另一個對象也 具有類似屬性的創(chuàng)新思維方式，即數(shù)學問

11、題解決中從條件出發(fā)，通過觀察、試驗、歸納、類比、 猜測、聯(lián)想來探路，從而達到解題目標，當然，無論是題目本身還是題目的求解過程，其創(chuàng)新成 分都比較高，很好地考查了學生的創(chuàng)新思維能力。例7半徑為r的圓的面積S(r)=r2,周長C(r)=2二r，若將r看作(0,+8)上的變量，則 (二r2)=2二r,3式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0,+8)上的變量，請你寫出類似于O1的式子:3式可以用語言敘述為：_ 。解：球=今二R3，又(今二R)=4二R2故3式可填(纟二R3/ =4二R2，用語言敘述為“球3 33的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)。”點評

12、：本題是一道類比創(chuàng)新試題，它啟示廣大數(shù)學教師在平時的教學中要根據教材特點，在傳 授新知識時，有意識地引導學生，通過類比與歸納得出新的知識，逐步學會類比推理的方法,從而拓展學生的數(shù)學能力， 提高學生的發(fā)現(xiàn)問題、 分析問題和 解決問題的能力，培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新精神。7利用導數(shù)處理實際生產生活中的優(yōu)化問題的考查對于實際生產生活中的優(yōu)化問題， 如果其目標函數(shù)為高次第頁共 6 頁當a2時,利用導數(shù)易得：f(x)在(一R,),(/號,1), (1,+8)為增函數(shù)，f(x)在(第頁共 6 頁8多項式函數(shù)，簡單的分式函數(shù)，簡單的無理函數(shù)，簡單的指數(shù)，對數(shù)函數(shù)，或他們的復合函數(shù),均可以考慮利用導數(shù)法求其最

13、值.由此可見，導數(shù)的引入，大大拓寬了中學數(shù)學知識在實際優(yōu)化問題中的應用空間.例8請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當帳篷的頂點0到底面中心0!的距離為多少時，帳篷的體積最 大？解：設00為x m,則由題設可得正六棱錐底面邊長為32(x1)2=,8 2xx2(單位：m于是底面正六邊形的面積為(單位：01)匚2 2 32x23 32、.3 (x -1)=6(、8 2x - x )(8 2x - x )42求導數(shù)，得V (x) (12 -3x2)，令V (x) =0解得x=-2(不合題意，舍去),x=2.2當1x2時，V(X)0

14、,V(x)為增函數(shù)；當2x4時，V (x) : 0,V(x)為減函數(shù)。所以當OO=x=2時,V(x)最大。點評：這是一道實際生活中的有關立體幾何的優(yōu)化問題，建立的目函數(shù)模型是三次函數(shù)， 用過去的知識求其最值往往沒有簡潔方法，即使能求出，也要涉及到較高的運算技能和技巧。 而運用導數(shù)知識，則非常容易解決該問題。8導數(shù)與其它知識的融合例9設函數(shù)f(x) =-X33x 2分別在兒、x2處取得極小值、極大值.xoy平面上點A、B的_I T坐標分別為(為()、(x2, f(x2)，該平面上動點P滿足PA?PB=4,點Q是點P關于直線y =2(x-4)的對稱點.求：(I)求點A、B的坐標；(II)求動點Q的

15、軌跡方程.解：(I)令f (x)二(-X33x 2 -3x2 3 =0，解得x=1或x =-1,當x：-1時，f (x)：0,當一1：X：1時，f (x)0,當x 1時,f (x) : 0,所以，函數(shù)在X = -1處取得極小值，在X=1取得極大值，故帳篷的體積為寧(8”?？邸?1詩(16 12x-x3)第頁共 6 頁9X1= -1,X2=1,f(-1) =0, f (14，所以，點A、B的坐標為A(-1,0),B(1,4)。(n)設p(m, n) , Q(x, y),PA PB-1 - m, -n 1 - m,4 - n = m2-1 n2- 4n = 4 kpQ = -1，所以 土工=一1，又PQ的中點在y =2（x一4）上，所以孔=2上 廠- 42 x-m