河北省唐山市唐山一中2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

1、河北省唐山市唐山一中2019.2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題題號*"7*總分得分評卷人 得分一、選擇題 本大題共12道小題。1.在等差數(shù)列a/中，若的=-8,公差d = 2,則2=（）A. 10B. 12C. 14D. 162.太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案，它形象化地表達了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化根源的 哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美.按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓。被函數(shù)y = 2sin石x的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案（如圖），其中陰影部分小圓的周長均為4兀，現(xiàn)從 82a - c cos C在AABC中，角月、B、C所對的邊分別為、

2、c,若=一一力=4,則ABC的面積的最大值b cos B為（）A. 4、/JB. 2x/3C.2D.已知號,乙是兩個單位向量，且夾角為q,則召+e與1+備數(shù)量積的最小值為()A-5.坐標(biāo)原點。(0,0)在動直線0-2) + ()，-2) = 0上的投影為點，若點Q(那么|PQ|的取值范圍為()A.立3&C.12夜,3點D. 1,3問6.如果關(guān)于k的不等式( - 2)f+2(。-2)工一4<0對一切實數(shù)工恒成立，則實數(shù)的取值范困是(A. (oo,2B. ( oo,2)C (- 2,2D. (2,2)7.已知數(shù)列如為正數(shù)項的等比數(shù)列，&是它的前項和，若% =4,且%+2% =

3、 ,則邑=(A. 34B. 32C. 30D. 288.直線/的方程為居+ 3>一1 = 0,則直線/的傾斜角為A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°9.數(shù)列詼滿足+2 = % + 24，且 = 1,2=2,則。6=(A. 24B. 25C. 26D. 271010.x若對于任意Q。,一7T恒成立，則”的取值范圍是()1A.二，+85>D. (5,+8)C. (0,+oc)在ABC 中，a, b, c 分別是角 A, B, C 的對邊，e+O + c/a + c = 3j 則角 B=D.716A 2兀A.312.直線4：以一），

4、-3 = 0和直線，2：x + 5 + 2）y + 2 =。平行，則實數(shù)的值為（）D.3 或一 1A. 3B. -1C. -2評卷人 得分一、填空題 本大題共4道小題。2 + 34+ 313.若兩個等差數(shù)列，“，d的前項和分別為S，Tn，若對于任意的£N都有 b5 +b7 4 + ”414.過點A/d，l）的直線/與圓C （x-1） 2+y=4交于A、B兩點，C為圓心，當(dāng)NAC3最小時，直線/的 2方程為.15.三角形A3C中，|A8| = 2, |47| = 2&, ZBAC = 45%尸為線段AC上任意一點則方.正的取值范圍是.16.兩個男生一個女生并列站成一排，其中兩男

5、生相鄰的概率為評卷人 得分二、解答題 本大題共6道小題。17.已知圓C的圓心C在x軸的正半軸上，半徑為2,且被直線4），-4 = 0截得的弦長為2JL（1）求圓。的方程；（2）過點（1,3）作圓C的切線，求切線方程.18.每當(dāng)我心永恒這首感人唯美的歌曲回蕩在我們耳邊時，便會想起電影泰坦尼克號中一暮暮感人 畫面，讓我們明白了什么是人類的“真、善、美”為了推動我市旅游發(fā)展和帶動全市經(jīng)濟，更為了向外界 傳遞遂寧人民的“真、善、美”我巾某地將按“泰坦尼克號'原型1:1比例重新修建,為了了解該旅游開發(fā)在大眾中的熟知度，隨機從本市2070歲的人群中抽取了 “人，得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如

6、圖所示，現(xiàn)讓他們回答問題“該旅游開發(fā)將在我市哪個地方建成？“，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組20,30)100.5第2組30,40)X0.9第3組40,50)54m第4組50,60)n0.36第5組60,70)y0.2（1）求出?（x+y+）的值：（2 ）從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2,3,4組每組抽取的人數(shù)；（3）在（2）中抽取的6人中隨機抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有年齡在30,40）段的概率.19.“有黑掃黑、無黑除惡、無惡治亂”，維護社會穩(wěn)定和和平發(fā)展.掃黑除惡期間，大量違法分子主動投案, 某巾公安機關(guān)對某月

7、連續(xù)7天主動投案的人員進行了統(tǒng)計，y表示第x天主動投案的人數(shù)，得到統(tǒng)計表 格如下：Xi234567y3455567（1）若y與工具有線性相關(guān)關(guān)系，請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y = bx + ci x（2）判定變量x與），之間是正相關(guān)還是負相關(guān).（寫出正確答案，不用說明理由）（3）預(yù)測第八天的主動投案的人數(shù)（按四舍五入取到整數(shù)）.A a = y-bx.參本八個公_ Z若一可一/.一，兩 會 Z# 了 20.已知不等式|2x "v2的解集與關(guān)于x的不等式一 px + q>0的解集相同.（1）求實數(shù)值；1 4（2）若實數(shù)a.bwR+,滿足a + /，

8、= + 4q,求一 十 一的最小值. a b設(shè)向量沅=卜，,），萬=（。-2,一2）,在aABC中心從c分別為角A、B、C的對邊，且 2c sin C = （27? - a） sin B + （2a - b） sin A .（I）求角c：（2）若m_Ll,邊長c = 2,求ABC的周長/和面積S的值.22.已知數(shù)列”“滿足：«A.1 +2an -a =0（w > 2,n e N）, %=數(shù)數(shù)列阿滿足：是等比數(shù)列:（1）證明：數(shù)列上+1（2）求數(shù)列斯的前項和S”并比較工與2的大小.試卷答案1.B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求解即可得到結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列q中，/=一8,公差d

9、=2,，a = % +10" = 一8 + 20 = 12.故選B.【點睛】等差數(shù)列中的計算問題都可轉(zhuǎn)為基本量（首項和公差）來處理，運用公式時要注意項和項數(shù)的 對應(yīng)關(guān)系.本題也可求出等差數(shù)列的通項公式后再求出的值，屬于簡單題.2.D【分析】2笈=Io 乃7根據(jù)幾何概型的概率公式，求出大圓的而積和小圓的面積，計算面積比即可.【詳解】由己知，可得大圓的直徑為y=3sin三x的周期，由丁 8可知大圓半徑為8, 則面積為S=64兀, 一個小圓的周長/ = 2萬r=4.r = 2故小圓的而積9=叱22=4兀,在大圓內(nèi)隨機取一點，此點取自陰影部分的概率為:251841p - 一 一 一丁一命一年

10、故選：。.【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題，關(guān)鍵是明確測度比為而積比，是基礎(chǔ)題.3.A【分析】 由己知式子和正弦定理可得從再由余弦定理和基本不等式可得“T16,代入三角形的而枳公式可得最大值.【詳解】在A3C中,2a-c _ cosC b cosB:.(2a - c) cosB=bcosC9，(2sinA - sinC) cosB=sinBcosC,A 2siii4cosB=sinCcosB+sinBcosC= sin ( B+C) =sinA,約掉sinA可得cos8=L ,即5=三，3由余弦定理可得 16=t/2+c2 - 2accosB=u2+c2 - ac>2ac - a

11、c,，wW16,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，AABC 的而積 S= ! ucsinB= -t/c<4>/3 24故選A.【點睛】本題考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面積公式，屬中檔題.4.A【分析】通過數(shù)量積運算律，可將數(shù)量枳化為1/+2/ + ?,根據(jù)二次函數(shù)可求得最小值.22詳解由題意：（4+忘2）,（宿+號）=局+（，2+1招4+局+(/+)同同 COS+ 啊=；產(chǎn)+2/ + 1 乙乙113二當(dāng)/=-2時，最小值為：x4 4 + = 222本題正確選項：A【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算律，結(jié)合二次函數(shù)求得最值，關(guān)鍵是能通過運算律將問題轉(zhuǎn)化為模 長和夾角運算的

12、問題，難度不大.5.A【分析】動直線團（1一2） + （一2）= 0過定點“（2, 2）,由條件得到P在以0M為直徑的圓上，利用中點坐標(biāo)公式求出圓心A的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出此圓的半徑/和從。1,判斷出點。與圓的位置關(guān) 系，再求出線段PQ的范圍.【詳解】動直線7同一2）+（-2） = 0過定點M （2, 2）,點0（0,0）在動直線團（1一2） + “仆2）=。上的投影為點尸，.NOPQ=90。，則尸在以0M為直徑的圓上，工此圓的圓心A坐標(biāo)為（二二，二工），即A （1, 1）,22半徑 r=；OM=&,又 0（一1,一1）.匕。1 = 2"迂，則點。在圓外，|尸0的取

13、值范圍為43應(yīng)故選：A.【點睛】本題考查了恒過定點的直線方程，圓的軌跡方程，線段中點坐標(biāo)公式，以及兩點間的距離公式,確定點P的軌跡是關(guān)鍵，屬于中檔題6.C【分析】對二次項系數(shù)進行分類討論，然后由一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系建立不等式組求解即可得到答案.【詳解】當(dāng)2 = 0即4 = 2時，有40,不等式成立：。一 20當(dāng)。一200即時，由題可得/ 門2 /、，解之得：2V4V2：2（i/-2）J -4（i/-2）（-4）0綜上，一2。2.所以實數(shù)”的取值范闈是（2,2 .故選：C.【點睛】本題考查一元二次不等式恒成立的問題，考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查分類討論思想，屬于?？碱}.7.C【

14、分析】則根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到4%=%2 =4 = 4 =2,且4+2%=*,可得到% = L,再根據(jù)等比數(shù) 24列的公式得到首項和公比，再由前n項和的公式得到結(jié)果.【詳解】數(shù)列q為正數(shù)項的等比數(shù)列，若幼的=4,則根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到4%=%2 =4 = 4 =2,且4 + 2%=?，可得到% = L,根據(jù)等比數(shù)列的公式得到2 43 11 1A c %（1Y）=： = q = 7' 4 = 16,= - = 30.4 2 q故答案為C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)的計算題，對于等比等差數(shù)列的小題，常用到的方法, 其一是化為基本量即首項和公比或者公差，其二是觀察各項間的腳

15、碼關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).8.A【分析】直線/的傾斜角為6,。曰0,外，直線/的方程為屈+ 3），-1=0,貝必= tan8 = -g,解得6.【詳解】解：直線/的傾斜角為。，。曰0,儲直線I的方程為Jit + 3），- 1 = 0 ,貝以=tan。= 一日，解得夕=江，O則直線/的傾斜角為150。，故選：4.【點睛】本題考查了傾斜角與斜率的關(guān)系、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.B【分析】利用已知結(jié)合遞推公式求解.【詳解】n=l時，% =2 + 2 = 4,n=2 時， = 4 + 4 = 8,n=3 時，=8 + 8 = 16,n=4 時，4 =16 + 16 =

16、 32 = 2.故選B【點睛】本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列的項，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能 力.10.B【分析】分子分母同時除以X，再利用基本不等式即可求解.x _1【詳解】解：因為x>0,所以+3工+ 1=二 T, 3 +x + x因為x>0,所以x + Ln2 （當(dāng)且僅當(dāng)x = l時取等號）， x1 W 1.1則” J -3 + 2 5，3 + x + xx11即_-7的最大值為二，故二.廠+3x + l55故選：B【點睛】本題主要考查函數(shù)最值的求解，以及不等式恒成立問題，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵.11.B【分析】由g+Z?+c)m + c) = 3

17、砒，可得+/_=.，結(jié)合余弦定理即可得到B的大小.【詳解】由(4+Z?+c)(a+c-) = 3ac,可得+c? =比，根據(jù)余弦定理得cosB =,2ac 2VBe(0,7),= p 故應(yīng)選 B.12.B【分析】由(a+2) +1=0,解得經(jīng)過驗證即可得出.【詳解】由(”+2) +1=0,即”2+2“+1=0,解得經(jīng)過驗證成立.Aa= - 1.故選：B.【點睛】本題考查了兩條直線平行的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：三-+廣三-=卜子再利用已知即可得出.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：7+r=7Tr=7LTr-=F'-b5 +b7 14 +

18、b* b5 +b7 b + bTSn 2n + 3對于任意的wN*都有U = 一K Tn 4 + 3向% + % _S_2x ll + 3_25 b5+b. "+d Tn 4x11 + 3 47 '25 故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.I14.2r - 4v+3 = 0【分析】要NACB最小則分析可得圓心C到直線,的距離最大，此時直線/與直線CM垂直，即可算出CM的斜率 求得直線I的方程.,_ 1-0 _ )【詳解】由題得，當(dāng)乙4c5最小時，直線/與直線CM垂直，此時5 = ，又kcM%=一1,故12又直

19、線/過點”(1/),所以即2x4y + 3 = 0 .故答案為2x 4y + 3 = 0【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，過定點的直線與圓相交于兩點求最值的問題一般為圓心到定 點與直線垂直時取得最值.同時也考查了線線垂直時斜率之積為-1、以及用點斜式寫出直線方程的方法.乙【分析】由于|A回=2, |AC| = 2jL ZBAC = 45°,所以把赤,衣作為基底，而P為線段AC上任意一點, 所以設(shè)定/(0W/W1),然后利用向量的加減法法則把尸反分別用基底表示出來，再求其數(shù)量 積化簡可求其最值.【詳解】解：設(shè)定=/恁(04/41),則麗=(1一。不1,因為屈=而一/=而一(1一，

20、)不守，所以兩.定=點卜證 二/麗衣(一屈二 =2x2在 cos45°-r(l-/)x(20?=8產(chǎn)-4t1 .因為0W/W1,所以一一WPBPCW4,2所以而定的取值范圍為2故答案為：4【點睛】此題考查平向量基本定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是選基底，屬于中檔題.216 .一 3【分析】基本事件總數(shù)=A；=6,兩名男生相鄰包含的基本事件個數(shù)機=A；用=4,由此能求出兩名男生相鄰 的概率.【詳解】兩名男生和兩名女生隨機站成一排照相，基本事件總數(shù)=A；=6,兩名男生相鄰包含的基本事件個數(shù)?= A；A； =4則兩名男生相鄰的概率為=- =n 32故答案為：j【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概

21、率、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.17 . (1) (x-3)2+y2=4； (2)無=1 或5x + 12y-41=0【分析】(1)設(shè)圓心坐標(biāo)，表示出圓心到直線距離，根據(jù)弦長公式，列方程求解：(2)分類討論當(dāng)斜率不存在和斜率存在兩種情況結(jié)合圓心到直線距離等于半徑，分別求切線方程.【詳解】解：(1)設(shè)圓心C(ao)(a>o),則圓心C到直線3x-4y-4 = 0的距離"=匕二.因為圓被直線3x4)，-4 = 0截得的弦長為26d = yjR，一途 =1 ,I解得。=3或。=一1 （舍）， 3二圓 C:（x-3 + y2=4.（2）當(dāng)切線斜率不存在時，直線方程為

22、：x = l，與圓相切，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)直線方程為：y-3 = Ar（x-l）,即：kx-y-k + 3 = 013 攵一 k+31 。財解得：k=-j12此時，切線方程為： 3 = = （x 1）,即：5x+12y-41 =0所以，所求切線方程為：x = l或5工+12），-41 =?！军c睛】此題考查根據(jù)圓的幾何特征，根據(jù)弦長關(guān)系求解圓的方程，過圓外一點圓的切線方程，易錯點在于漏掉考慮斜率不存在的情況.218 .（1）54 （2）2 人，3 人，1 人（3）彳 【分析】（1）利用頻率分布直方圖得各組的頻率結(jié)合回答正確的人數(shù)占本組的頻率計算（2）確定抽樣比得各組人數(shù) （3）列舉法

23、得沒有年齡段在30,40）及基本事件總數(shù)，利用古典概型求解【詳解】（1）第1組的人數(shù)為：£ = 20人，第1組的頻率為：0.01x10=0.1/.« = = 2000.154/.x = 200x0.2x0.9 = 36,y = 200x0.2x0.15 = 6 , m = 一:= 0,9,n = 200x0.25x0.36 = 18200x0.3故?(x+y+)= 0.9x(36+6+18) = 54（2）抽樣比為:=人108 1854x± = 3 人;18，第2組抽取的人數(shù)為：36x- = 2人；第3組抽取的人數(shù)為:18第4組抽取人數(shù)為：18乂上=1人閉記30,

24、40）中2人為慶】42,40,50）中3人為&艮33,50,60）中1人為（：，則在抽取的6人中隨機抽取2人的所有事件為 A】A2, AiBh Ai機,AiB3, AC, A2B1, A2B2, A2B3, A2C, B1B2, BB,BiC, B2B3, B2C, B3c共15個，其中不含Ai,Az的有6個所抽取的人中恰好沒有年齡段在口0,40）的概率：=：=尚=1【點睛】本題考查頻率分布直方圖及應(yīng)用，考查分層抽樣，考查古典概型，考查W算能力，是中檔題 41919 .（1） y = -x + （2）正相關(guān)（3）7 人【分析】（1）先計算了，F(xiàn)，再利用公式計算/；, &,即可求

25、解回歸方程（2）利用回歸直線的斜率確定正相關(guān) （3）將x = 8代入回歸直線即可預(yù)測【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得了= g（l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7） = 4, y = l(3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 7) = 5(1-4)(3-5)4-(2-4)(4-5) + (3-4)(5-5) + (4-4)(5-5)+(5-4)(5-5) + (6-4)(6-5) + (7-4)(7-5)40 -41+(2-4,+(3_4/+(4-4/+(5-4/+(6-4+(7 -4)，7又由 6 = 5x4 = ?4 1Q 故所求回歸直線方程為y = -x+ （2

26、）正相關(guān)419 51（3）當(dāng)x = 8時，根據(jù)方程得y = x8 + =一47, ” 77 7故預(yù)測第八天有7人 【點睛】本題考查回歸直線方程，考查沖算能力，是基礎(chǔ)題3920 . (1) p = - l,q = (2) 42【分析】（1）先得到絕對值不等式的解集，根據(jù)兩者解集相同，由韋達定理得到結(jié)果；（2）原式子等價于14 1141b 4a一 + 7 = 7（一 + 7）伍+ b） = -（5 + - + ）根據(jù)均值不等式求解即可a b 2 a b2a b1313【詳解】（1）|2x-l| <2,解得一不 vx v $ ,又一/ -px + 9 > 0 = Y + px-q vO

27、解集為：一§ vx v彳，-p = 1133故-一和二是方程的兩根，根據(jù)韋達定理得到：3= = 一13=二.2 244C ,c (l. 1 41 1 4、，八 1 c b 4a、 9(2) n+Z? = 2,則一十 = 一(一 + 一)(+/?) = (5 + 十 一)2， a b 2 a b2ab 2b 4a249當(dāng)=一,即 =2。時取等號，即。=,=一時有最小值一.a h332【點睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、 湊''等技巧，使其滿足基本不等式中“正''(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、 “等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.21. (1) C = y (2)周長為 6,而積【分析】根據(jù)正弦定理得到=+/",再根據(jù)余弦定理得到結(jié)果：(2)根據(jù)向量點積的坐標(biāo)運算得到a+b = ab,結(jié)合余弦定理得到。+Z? = 4,