線性代數向量空間自測題(附答案)資料

1、精品文檔第四章向量空間自測題（75 分鐘）一、選擇、填空（20 分，每小題4 分）1. 下列向量集合按向量的加法和數乘運算構成R 上一個向量空間的是（）。（ A ） Rn 中，分量滿足 x1+x2+ +xn=0 的所有向量；（ B） Rn 中，分量是整數的所有向量；（ C） Rn 中，分量滿足 x1+x2+ +xn=1 的所有向量；（ D） Rn 中，分量滿足 x1=1 ， x2， ， xn 可取任意實數的所有向量。2設 R4 的一組基為1,2 ,3, 4,令112 ,223 ,334 ,414 ，則子空間 W k1 1k22k33k44 | kiF , i1,2,3, 4 的維數為，它的一組

2、基為。3.向量空間 Rn的子空間 W( x, x, xn 1,0) | xx20,xxn 1R的維數為，1211它的一組基為。4.設 W是所有二階實對稱矩陣構成的線性空間，即Wa11a12aijR ，則它的維數為，a12a22一組基為。a102若1為正交矩陣，且 |A|=1，則a=， b =。5A= b20001二、計算題（60 分）1. （ 15 分）設 R3 的兩組基為：1 (1,0,1)T , 2 (1,1,0)T , 3 (0,1,1)T 和 1 (1,1,1)T , 2 (1,1,2)T , 3 (1,2,1)T ，向量 =（2， 3， 3） T（1）求由基1 ,2 ,3 到基1,2

3、,3 的過渡矩陣。（2）求 關于這兩組基的坐標。（3）將1 ,2,3 化為一組標準正交基。2.（ 15 分）在 R4 中，求下述齊次線性方程組的解空間的維數和基，精品文檔精品文檔3x12x25 x34 x403x1x23x33x4 03x15 x213x311x403（ 20 分）已知1 ,2 ,3 是 3維向量空間 R3 的一組基，向量組1 ,2 ,3 滿足13123 , 1223 ,2313（1）證明：1,2,3是一組基。（2）求由基1,2,3到基 1,2 ,3 的過渡矩陣。（3）求向量1223 關于基1,2,3 的坐標。4（ 10 分）已知 A 是 2k+1階正交矩陣，且 |A|=1，求

4、 |AE|。三、證明題（ 20 分）1. （ 5 分）設 k1k 2k30，且 k1 k30。證明： L( ,)L (,) 。2. （ 5 分）設 A 為正交矩陣，證明： A * 為正交矩陣。3（ 10 分）設 A 、 B 為 n 階正交矩陣，且|A| |B|。證明： A+B 為不可逆矩陣。參考答案一、選擇、填空1 A2 dimW=3 ，一組基為1 ,2 ,3.3 dimW=n-2 ，一組基為1(1,1,0,0,0)T ,2 (0,0,1,0,0) T , n 2 (0,0, ,0,1,0) T4 dimW 3，一組基為10,00,01。0001105 a = 1 ， b =122二、計算題1

5、1021(1) 基 1, 2 ,3 到基1 ,10123 的過渡矩陣 :21112精品文檔精品文檔(2) 關于1 ,2 ,3 的坐標是（ 0， 1， 1）關于1 ,2,3 的坐標是（ 1， 1，2）1113621,1,1。（ 3）623123602解空間的維數是 2，一組基為1(1 , 8 ,1,0)T ,2(2 ,7 ,0,1)T 。93933（ 1）提示：證明1 ,2 ,3與 1,2 ,3 等價，從而r(1 ,2 ,3 )=3 ，線性無關。010（2）基 1,2 ,3 到基1,2,3 的過渡矩陣為112。100（ 3）向量關于基1 ,2 ,3 的坐標為 (2， -5， 1)。4AE AEA1E ATATE ( 1) 2k 1 A E TA EAE0。三、證明題1.提示：證明兩個向量組等價，即, , ，則生成子空間