自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類)公式.

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類 )公式一、隨機(jī)事件和概率1、隨機(jī)事件及其概率運(yùn)算律名稱表達(dá)式交換律ABBAABBA結(jié)合律(AB ) CA(BC )ABC( AB)CA(BC ) ABC分配律A(BC )ABACA(BC )(AB)( AC )德摩根律ABABABAB2、概率的定義及其計(jì)算公式名稱公式表達(dá)式求逆公式P( A)1P( A)加法公式P (AB )P(A) P(B)P( AB)條件概率公式P(B A)P(AB)P(A)乘法公式P( AB)P( A)P(B A)P(AB)P(B)P( A B)n全概率公式P( B)P( Ai )P(B Ai )i 1貝葉斯公式P( AjB)P( Aj)P(B

2、Aj )（逆概率公式）P( Aj )P(B Ai )i1伯努力概型公式Pn (k)C nk p k (1p)n k , k0,1,nP( AB)P( A)P(B) ； P( B A)P(B) ； P(B A)P(B A) ； P(B A)P(B A) 1；兩件事件相互獨(dú)立相應(yīng)公式P(B A)P(B A)1二、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù)性質(zhì)P( X b) F (b) P(a X b) F (b)F (a)2、離散型隨機(jī)變量分布名稱分布律0 1 分布 B(1, p)P ( Xk ) p k (1p ) 1k ,k0,1二項(xiàng)分布 B (n , p )P( X k )Cnk p k (1p) n k

3、,k0,1, , n泊松分布 P()幾何分布 G ( p)超幾何分布H ( N , M , n)3、連續(xù)型隨機(jī)變量分布名稱均勻分布 U ( a, b)f ( x)kP( Xk )e,k0,1,2,k!P( Xk )(1p) k1 p,k0,1,2,knk(k)CM CNM , kl , l1,min( n, M )P XCNn密度函數(shù)分布函數(shù)1a xb0, xa,F ( x)x a , a x bb a0,b ab其他1, x指數(shù)分布 E ()f ( x)ex, x 0F (x)0,x0x, x 00,其他1 e正態(tài)分布 N (,2)1( x)21x( t)2f ( x)22e22d texF

4、 ( x)22N (0,1)1x 21x( t) 2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布( x)2xe 22d teF ( x)22三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量邊緣分布piP( Xxi )P( Xxi ,Yy j )pijp jP(Yy j )P( X xi ,Y y j )pijjjii2、離散型二維隨機(jī)變量條件分布pi jP( Xxi Yy j )P( X xi,Yy j)pij, i1,2P (Yy j)P jp j iP(Yy j Xxi )P( X xi,Yy j)pij, j1,2P (Xxi)Pi3、連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù) F ( x, y )xyf (u , v )d

5、vdu4、連續(xù)型二維隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)分布函數(shù)： F X ( x)xf (u, v )dvdu密度函數(shù)：f X ( x)f ( x , v )dvFY ( y)yf (u, v) dudvf Y ( y)f (u , y )du5、二維隨機(jī)變量的條件分布fY X ( y x)f ( x, y) ,yf X Y ( x y)f ( x, y) ,xf X (x)fY ( y)四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望E ( X )xk p kE ( X )xf ( x) dx離散型隨機(jī)變量：k1連續(xù)型隨機(jī)變量：2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(C)C , C為常數(shù)EE(X)E(X)E(CX )

6、CE(X )(2)E( XY) E(X)E (Y ) E (aXb)aE( X ) bE(C1 X1Cn X n ) C1E ( X1 )Cn E ( X n )(3) 若 XY相互獨(dú)立則： E( XY) E( X )E(Y )(4) E(XY) 2E2(X)E2(Y)3、方差： D(X )E( X2 )E2(X)4、方差的性質(zhì)(1)D(C)0DD(X ) 0D ( aX b)a 2D ( X ) D ( X ) E ( X C )2(2)D ( XY)D(X ) D(Y)2Cov( X ,Y )若 XY相互獨(dú)立則： D( X Y) D( X ) D(Y )5、協(xié)方差： Cov ( X ,Y

7、)E(XY )E( X ) E(Y) 若 XY 相互獨(dú)立則： Cov( X ,Y )06、相關(guān)系數(shù)：Cov (X , Y)若 XY相互獨(dú)立則： XY0 即 XY不相關(guān)XY( X,Y)D(X) D(Y)7、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1) Cov( X , X )D(X)Cov( X ,Y )Cov(Y , X )(2) Cov( X 1X2,Y)Cov ( X 1, Y ) Cov (X 2 ,Y )Cov( aXc, bYd )abCov ( X ,Y )8、常見(jiàn)數(shù)學(xué)分布的期望和方差分布數(shù)學(xué)期望方差0-1 分布 B (1, p)pp(1p)二行分布 B (n , p)npnp (1p)泊松分布

8、P()幾何分布 G ( p)11ppp2超幾何分布 H ( N , M , n)n Mn M (1M ) NmNNNN1均勻分布 U (a,b)a b(ba)2212正態(tài)分布 N( ,2)2指數(shù)分布 E()112五、大數(shù)定律和中心極限定理1、切比雪夫不等式若 E(X),D(X)2 , 對(duì)于任意0有PXE(X)D(X )或P XE(X)D(X)2 122、大數(shù)定律： 若 X1X n 相互獨(dú)立且n(1) 若 X 1X n 相互獨(dú)立，E( X i )i , D ( X i )(2) 若 X 1X n 相互獨(dú)立同分布，且E ( X i )3、中心極限定理nn時(shí)， 1XiD1E( Xi )n i1n i

9、11nn22M 則：P1i 且in iXiE(X i ), (n)1n i 1i 則當(dāng) n時(shí)：1 nPX in i 1(1) 獨(dú)立同分布的中心極限定理：均值為，方差為20 的獨(dú)立同分布時(shí)，當(dāng)n 充分大時(shí)有：nX k nk1N (0,1)Ynn(2) 拉普拉斯定理： 隨機(jī)變量n (n1,2) B(n, p) 則對(duì)任意 x 有：npx1t 2lim Pnxe2 dt( x)np(1p)2xnnanX knb nbnan(3) 近似計(jì)算： P(aX kb)k 1(P(nn)n)()k 1nn六、數(shù)理統(tǒng)計(jì)1、總體和樣本總體 X 的分布函數(shù) F (x) 樣本 ( X1 , X 2X n ) 的聯(lián)合分布為

10、 F (x1, x2nxn )kF ( xk )12、統(tǒng)計(jì)量1n1n2S2X )2( X i21n( X innX )(1) 樣本平均值： XX i(2)樣本方差：n 1 i 11 i1n i 11nX ) 21nkS(X iAkX, k 1,2n1 i(4) 樣本 k 階原點(diǎn)距：ni(3) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差：1i1BkM k1n( X iX )k , k2,3(5) 樣本 k 階中心距：n i1(6) 次序統(tǒng)計(jì)量： 設(shè)樣本 ( X 1 , X 2X n ) 的觀察值 ( x1 , x2xn ) ，將 x1 , x2xn 按照由小到大的次序重新排列，得到 x(1) x( 2)x(n ) ，記取值為

11、x( i ) 的樣本分量為X ( i)，則稱 X(1)X(2)X (n)為樣本 (X1, X2X n ) 的次序統(tǒng)計(jì)量。X (1)min( X 1, X 2X n ) 為最小次序統(tǒng)計(jì)量；X (n)max( X 1, X 2X n ) 為最大次序統(tǒng)計(jì)量。3、三大抽樣分布2(1)分布：設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2X n 相 互 獨(dú) 立 ， 且 都 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 N (0,1) ， 則 隨 機(jī) 變 量2X 12X 22X n2 所服從的分布稱為自由度為n 的2分布，記為2 2 (n)性質(zhì)： E2 (n) n, D2 ( n)2n 設(shè) X 2 ( m), Y 2 (n) 且相互獨(dú)立，則 X

12、Y 2 (m n)(2)t 分布：設(shè)隨機(jī)變量 X N( 0,1),Y 2 (n) ，且 X 與 Y 獨(dú)立，則隨機(jī)變量： TX所服從的分布稱為自Y n由度的 n 的 t 分布，記為 T t( n)n1( x)2性質(zhì)： E t(n)0, D t(n), (n2) lim t (n)N (0,1)e22n22n(3)F 分布： 設(shè)隨機(jī)變量 U2 ( n1 ),V 2 (n2 ) ，且 U 與 V 獨(dú)立，則隨機(jī)變量F (n1 ,n2 )U n1 所服從的分布V n2稱為自由度 (n1 ,n2 ) 的 F 分布，記為 F F (n1 ,n2 )性質(zhì)：設(shè)X F (m, n)，則1( ,)XF n m七、參數(shù)估計(jì)1、參數(shù)估計(jì)(1)定義：用(X1,X2,X n ) 估計(jì)總體參數(shù)，稱 (X1,X 2,X n ) 為的估計(jì)量，相應(yīng)的( X 1 , X 2 , X n ) 為總體 的估計(jì)值。(2)當(dāng)總體是正態(tài)分布時(shí)，未知參數(shù)的矩估計(jì)值=未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值2、點(diǎn)估計(jì)中的矩估計(jì)法： （總體矩 =樣本矩）1n離散型樣本均值 ： XE(X)X i連續(xù)型樣本均值：XE( X)xf (x,)dxn i 1離散型參數(shù)： E( X 2 )1 nX i2n i13、點(diǎn)估計(jì)中的最大似然估計(jì)最大似然估計(jì)法：X1,X2,X n 取自 X 的樣本，設(shè)Xf (x, ) 或 P( XX i )