無窮級數總結

1、、概念與性質1.定義:2.性質設常數無窮級數總結對數列U1,U2（,U|，ZUn稱為無窮級數，Un稱為一般項；若部分和n=1數列Sn有極限 S，即 lim Sn= S，稱級數收斂，否則稱為發(fā)散.n_咨30CH0，則送Un與送CUn有相同的斂散性;n =1nA設有兩個級數CoCoCoCZ Un與送Vn，若S Un=s，送VCT，n4n nAn4貝U送（UnVn） =SCr；nA若S Un收斂,n iZ Vn發(fā)散，貝U送（UnVn）發(fā)散;n4nA若藝Un，Z Vn均發(fā)散，則送（UnVn）斂散性不確定;n ztn z1n=1添加或去掉有限項不影響一個級數的斂散性;設級數Un收斂，則對其各項任意加括號

2、后所得新級數仍收斂于原級數的和.nz1注：一個級數加括號后所得新級數發(fā)散，則原級數發(fā)散;一個級數加括號后收斂，原級數斂散性不確定.級數送Un收斂的必要條件：nim Un=0;n壬nT注：級數收斂的必要條件，常用判別級數發(fā)散;c若lim Un=0，則送Un未必收斂;nnzic若汕發(fā)散，則nmUn=0未必成立、常數項級數審斂法1.正項級數及其審斂法定義：若un0，則2 Un稱為正項級數.n 4審斂法:(i)充要條件：正項級數 Un收斂的充分必要條件是其部分和數列有界n 4A.B.C.CUnn比較審斂法：設2 Un與Z Vn都是正項級數，且UnN 時有Un N 時有UnkVn(kA0)成立，則發(fā)散;

3、OC1設 SUn為正項級數，若有 P使得 Un-P( n=1,2 川)，則送Un收斂；若n呂nPUn工一(n = 1,2HI)，則藝Un發(fā)散.nn呂CoC極限形式：設2 Un與送Vn都是正項級數,n=1n=1Unn呂lim b =丨(01時2P-級數：2 飛L嶺門時；nrnnP(發(fā)散P蘭1時r 1oC調和級數：S1=1+1+丄十發(fā)散.n#n2n(iii)比值判別法(達郎貝爾判別法)設Z an是正項級數，若nTa_ -be 1-be 1lim =1，lim 07 =1，但S-發(fā)散，而送一收斂.Jannn心門2-ben _(iv)根值判別法(柯西判別法)設 S an是正項級數，厚= P，若 P 1

4、則級數發(fā)散.(V)極限審斂法：設 Un0，且 lim nP山=1，則lim門卩un=1 0且p蘭1，則級n_咨n_-be數發(fā)散；如果P1，而nmnpzogf則其收斂.(書上 P317-2-(1)注：凡涉及證明的命題，一般不用比值法與根值法，一般會使用比較判別法.正項級數的比(根)值判別法不能當作收斂與發(fā)散的充要條件， 是充分非必要條件.2.交錯級數及其審斂法1定義：設Un0( n =1,2,川)，則送(-1)2un稱為交錯級數.審斂法：萊布尼茲定理：對交錯級數Z (-1)nUn，若UnXUn41且 lim 比=0，心則送(-VUn收斂.nzt注：比較Un與Un+的大小的方法有三種: 比值法，即

5、考察啞是否小于 1；Un2差值法，即考察Un-Un十是否大于 0；-be=r ；1，則送an發(fā)散.n4a_ 1乂1注：若lim丑=1，或 lim 廟=1,推不出級數的斂散.例送-與 2 占，雖然limnTcanan +an七 Ca=r 1，則送an收斂；lim上17ann由Un找出一個連續(xù)可導函數f(x)，使Un=f( n),( n =1,2,)考察f(x)是否小于 0.3. 一般項級數的判別法: 若2；Un絕對收斂，則送Un收斂.n 2n 4若用比值法或根值法判定2|Un|發(fā)散，則S Un必發(fā)散.n 4n二、冪級數1.定義：h anXn稱為幕級數.n zO2.收斂性-be 阿貝爾定理：設幕級

6、數2 anXn在Xo工0處收斂，則其在滿足I x| Xo|的所有X處絕對收斂.反之，若幕級數2 anXn在Xi處發(fā)散，則其在滿足Ix|Xi|n二0的所有x處發(fā)散.收斂半徑(i)定義：若幕級數在x=Xo點收斂，但不是在整個實軸上收斂，則必存在一個正數R，使得當I x-Xo|R時，幕級數發(fā)散；R 稱為幕級數的收斂半徑.-be求法：設冪級數汀xn的收斂半徑為R，其系數滿足條件嗎a或niimya T，則當0 vi時，R=1；當1=0時，R=，注：求收斂半徑的方法卻有很大的差異.前一個可直接用公式，后一個則須分奇、 偶項(有時會出現(xiàn)更復雜的情況)分別來求.在分成奇偶項之后，由于通項中出 現(xiàn)缺項，由此仍不

7、能用求半徑的公式直接求，須用求函數項級數收斂性的方法.(iii )收斂半徑的類型=1，A.R=0，此時收斂域僅為一點;B.R=垃，此時收斂域為(嚴+處)；C.R=某定常數，此時收斂域為一個有限區(qū)間.3.幕級數的運算(略)4.幕級數的性質-beRAO，貝U和函數S(x)=送anXn在收斂區(qū)間(_R, R)內連續(xù).n雖-beRAO，則和函數S(x)匹anXn在收斂區(qū)間(R, R)內可導,nzO且可逐項求導，即s(x)=(送anXn) =2(anXn)=S nanXn，收斂半徑不變.n zOn zOn z1若幕級數的收斂半徑RAO，貝抑函數S(x)=送anxn在收斂區(qū)間(R, R)內可積,n zO,

8、XX址址X且可逐項積分，即fS(t)dt =(送antn)dt=送fantndt(x J-R, R)，收斂半徑不0 On占nJO變.5.函數展開成幕級數 若f (X)在含有點XO的某個區(qū)間I內有任意階導數，f (X)在XO點的n階泰勒公式為f(x) =f(Xo) +f(xo)(x-xo)+f(xXo)2十中 f“。)(x-Xo) +2!n!f(n方(b丄f(n十)(4丄(+2)(X -Xo)(n十)，記Rn(x)=+z)(X -Xo)(n十)，e介于X,Xo之間，貝U f (x)在(n +1)!(n +1)!I內能展開成為泰勒級數的充要條件為limRn(x) =0,/x引.n-bc初等函數的泰

9、勒級數(X0=O)說n(i)ex匹一，x(g,+處)nTn!-be - d n 4 2n J(ii)sinX= z2*(，-c)；若幕級數的收斂半徑若幕級數的收斂半徑(iii)(V)*e)nx2nCOSX = -, X迂(-OC,+處);to(2n)!丿；-1)nx1In(1+x)=2，x(1,1;n n +1疔嚴a (a -1)(a -n +1)n(1 +x)a=1+送 - - -xn, X迂(一1,1), (a迂R);n4n!1說1-be=ZXn,|x|1 ;=Z(1)nxn,| x| 1.1-X71+Xn衛(wèi)6.級數求和冪級數求和函數解題程序(i)求出給定級數的收斂域;(ii )通過逐項積

10、分或微分將給定的幕級數化為常見函數展開式的形式(或易看出其假設和函數s(x)與其導數s(x)的關系)，從而得到新級數的和函數;注：系數為若干項代數和的幕級數，求和函數時應先將級數寫成各個幕級數的代數和，然后分別求出它們的和函數，最后對和函數求代數和，即得所求級數的和函數.數項級數求和(i)禾用級數和的定義求和，即lim Sn=s，則 ZUn=s，其中 Y心nSn =Ui+U2十+Un匹.根據S.的求法又可分為：直接法、拆項法、遞推法.A.直接法: 適用于送Uk為等差或等比數列或通過簡單變換易化為這兩種數列;kz1B.拆項法:把通項拆成兩項差的形式，在求n項和時，除首尾兩項外其余各項對消掉.Co

11、coc(ii)阿貝爾法(構造幕級數法)Zanpim Z anXn，其中幕級數2 anXn，可通nFXnWnT過逐項微分或積分求得和函數S(x).因此z an = I烏s(x).四、傅里葉級數 1.定義1定義 1：設f(x)是以2兀為周期的函數，且在-兒?；?, 21上可積，則1 兀12 jan =f (x)cosnxdx = f f (x)cosnxdx,(n = 0,1,2)， 兀兀 兀01 遼12雹bn =f(x)si nnxdx f(x)si mxd,xn =1, 2,)，71兀稱為函數f(x)的傅立葉系數.稱為函數f(x)的傅立葉級數，表示為1處f(x)一a0+送(ancosnx+gs

12、in nx)2心3定義 3:設f(x)是以21為周期的函數，且在斗,1上可積，則以1 Jn兀an =T J丄f (x)cos T xdx, (n =0,1, 2)，bn =1L f (x)sin F xdx,(n =1,2)為系數的三角級數1比-a0+送(ancos x +bnsin x)稱為f (x)的傅立葉級數，表示為2n1 2l1丄n兀 丄nnf(x)一a。+ 瓦(ancosx + bnSin x).2nl12.收斂定理(狄里赫萊的充分條件)設函數f(x)在區(qū)間兒兀上滿足條件除有限個第一類間斷點外都是連續(xù)的；只有有限個極值點,則f(x)的傅立葉級數在T,兀上收斂，且有定義 2:以f(x)

13、的傅立葉系數為系數的三角級數1比-a0+W (ancosnx +bnsinnx).2nrnf (x), x是f (x)的連續(xù)點；12f(XoO) + f(Xo+0),x0是f (x)的第一類間斷點；1一f(一兀+ 0) + f(兀-0), X=兀22丿n兀an =TJ0f(x)cos-pxdx(n = 0,1,2，)，g =0(n= 1,2，).2非周期函數(i )奇延拓：A.f (x)為0,刃上的非周期函數，令F(xjf()，0蘭X：兀，則F(x)除x = 0外在一f (X), ；！ X C0處2兀-兀兀上為奇函數，f(x)藝bnsi nnx(正弦級數)，S f (x)sin nxdx(n

14、=1,2，)；B.f(x)為0,上的非周期函數，則令F(xt(；Lx)0：xx0，則F(x)除-0外a處+2 (ancosnx +bnsin nx) =2n43.函數展開成傅氏級數周期函數a比(i )以 2 兀為周期的函數f (x):f(x)才+Xancos nx + bnsi nnxnA1兀1JTan=f(x) cos nxdx(n = 0,1,2，)，S =f (x)sinnxdx(n= 1,2，);兀-71注：若f(x)為奇函數，則Cf(x)送bnsi nnx(正弦級數)，a0 (n = 0,1,2,)n42兀bn = f (x)sin nxdx兀0(n=1, 2,);若f(x)為偶函數

15、，則f(x)+2 ancosnx (余弦級數)，2n二2兀an = f (x)cos nxdx(n =0,1, 2，)，g =0 (n = 1,2，).兀 F(ii)以2l為周期的函數f(x):f(x)匹2nd：anLfW cosxdx(n= 0,1, 2，)，bn=-J f(x) sinn兀. n兀、cosx+bnsinx)lnl1n兀-1注：若f (x)為奇函數，則cf(x)2 bnsinn=t1n；!x(正弦級數),an=0 (n= 0,1, 2,)bn彳V(x)sinyxdx(n =1,2，)；若f(x)為偶函數，則f(X)也2n；!ancosn=1|X，(余弦級數)在-TT,兀上為奇函數，f(X)送bnsin罕x(正弦級數)，bn上f (x)sin巴xdxnA111(n =1,2,).(ii )偶延拓:A.f(x)為 z上的非周期函數，令尸(叫(:),0;:0,則F(x)除x=0外在7,兀上為偶函數