全等三角形 輔助線做法講義1

1、 全等三角形問題中常見的輔助線的作法巧添輔助線一倍長中線【夯實基礎(chǔ)】例：ABC 中，AD 是BAC 的平分線，且BD=CD，求證AB=AC 方法1：作D E AB 于E ，作D F AC 于F ，證明二次全等 方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法倍長中線ABC 中方式 1： 延長AD 到E ， AD 是BC使DE=AD，連接BE 方式2：間接倍長 作CF AD 于F ，延長MD 到N ，作BE AD 使DN=MD， 連接BE 連接CD【經(jīng)典例題】例1：ABC 中，AB=5，AC=3，求中線AD 的取值范圍 例2：已知在ABC 中，AB=AC，D 在AB

2、 上，E 在AC 的延長線上，DE 交BC 于F ，且DF=EF，求證：BD=CE例3：已知在ABC 中，AD 是BC 邊上的中線，E 是AD 上一點，且BE=AC，延長BE 交AC 于F ，求證：AF=EF 提示：倍長AD 至G ，連接BG ，證明BDG CDA 三角形BEG 是等腰三角形B 例4：已知：如圖，在ABC 中，AC AB ，D 、E 在BC 上，且DE=EC，過D 作BA DF /交AE 于點F ，DF=AC.求證：AE 平分BAC 提示：方法1：倍長AE 至G ，連結(jié)DG方法2：倍長FE 至H ，連結(jié)CH 例5：已知CD=AB，BDA=BAD ，AE 是ABD 的中線，求證：

3、C=BAE提示：倍長AE 至F ，連結(jié)DF 證明ABE FDE （SAS ）進(jìn)而證明ADF ADC （SAS ）【融會貫通】1、在四邊形ABCD 中，AB DC ，E 為BC 邊的中點，BAE=EAF ，AF 與DC 的延長線相交于點F 。試探究線段AB 與AF 、CF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 提示：延長AE 、DF 交于G 證明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC2、如圖，AD 為ABC 的中線，DE 平分BDA 交AB 于E ，DF 平分ADC 交AC 于F. 求證：EF CF BE >+3、已知：如圖，ABC 中，C=90，CM AB 于M ，A T 平分BAC 交

4、CM 于D ，交BC 于T ，過D 作DE/AB交BC 于E ，求證：CT=BE.提示：過T 作TN AB 于N 證明BTN ECD第 1 題圖 A B F D E C第 14 題圖DFCBEAD ABCMTE 龍文教育中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家截長補短法引輔助線思路：當(dāng)已知或求證中涉及到線段a 、b 、c 有下列情況時：，如直接證不出來，可采用截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等，這兩種方法放在一起叫截長補短法。 通過線段的截長補短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來。 例1. 如圖，ABC中，ACB2B，12。 求證：AB AC CD證法一：（補短法）

5、 延長AC 至點F ，使得AF AB 在ABD和AFD中 ABDAFD（SAS ） BF ACB2B ACB2F而ACBFFDCFFDC CDCF 而AF AC CF AFAC CD ABAC CD 證法二：（截長法）在AB 上截取AE AC ，連結(jié)DE在AED和ACD中AEDACD（SAS ）例2. 如圖，在RtABC中，AB AC ，BAC90°，12，CEBD交BD 的延長線于E ，證明：BD 2CE 。分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問題，可構(gòu)造線段2CE ，轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，分別延長BA ， 龍文教育 中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家A ACE 交于F ，證

6、BEFBEC，得，再證ABDACF，得BD CF 。1、如圖，ABC 中，AB=2AC，AD 平分BAC ，且AD=BD，求證：CD AC2、如圖，AC BD ，EA,EB 分別平分CAB, DBA ，CD 過點E ， 求證;AB AC+BD3、如圖，已知在ABC 內(nèi)，060BAC =，0 40C =，P ，Q BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分別是BAC ，ABC BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD 中，BC BA,AD CD ，BD 平分ABC 求證： 0180=+C A 5. 已知：如圖，ABC 中，AD 平分BAC ，若C=2B, 證明：AB=AC+CD.6. 已知：

7、如圖，ABC 中，A=60°，B 與C 的平分線BE,CF 交于點I ，求證：BC=BF+CE.CDBA 龍文教育 中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家7. 已知：如圖，在正方形ABCD 中，E 為AD 上一點，BF 平分CBE 交CD 于F ，求證：BE=CF+AE.與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a 、對稱性；b 、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法

8、，要結(jié)合題目圖形和已知條件。（1）截取構(gòu)全等如圖1-1，AOC=BOC ，如取OE=OF，并連接DE 、DF ，則有OED OFD ，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。 例1 如圖1-2，AB/CD，BE 平分ABC ，CE 平分BCD ，點E 在AD 上，求證：BC=AB+CD。簡證：在此題中可在長線段BC 上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE 與CD 的延長線交于一點來證明。自已試一試。 例2 已知：如圖1-3，AB=2AC，BAD=CAD ，DA=DB，求證DC AC 分析：此題還

9、是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。 例3 已知：如圖1-4，在ABC 中，C=2B,AD 平分BAC ，求證：AB-AC=CD圖1-2DBCABC圖1-1B 分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。練習(xí) 1 已知在ABC 中，AD 平分BAC ，B=2C ，求證：AB+BD=AC2 已知：在ABC 中，CAB=2B ，AE 平分CAB 交BC 于E ，AB=2AC，求證：AE=2CE 3 已知：在ABC 中，AB>AC,AD為BA

10、C 的平分線，M 為AD 上任一點。求證：BM-CM>AB-AC4 已知：D 是ABC 的BAC 的外角的平分線AD 上的任一點，連接DB 、DC 。求證：BD+CD>AB+AC。（2）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等 過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。 求證：ADC+B=180 分析：可由C 向BAD 的兩邊作垂線。近而證ADC 與B 之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC 中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD 。 求證：BC=AB+AD分析：過D 作DE

11、BC 于E ，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。 例3 已知如圖2-3，ABC 的角平分線BM 、CN 相交于點P 。 求證：BAC 的平分線也經(jīng)過點P 。圖2-1BC圖2-2ABC圖2-3ABC 分析：連接AP ，證AP 平分BAC 即可，也就是證P 到AB 、AC 的距離相等練習(xí)：1如圖2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PD OA ，如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 2已知在ABC 中，C=90 ，AD 平分CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。3已知：如圖2-5, BA

12、C=CAD,AB>AD，CE AB ，AE=21 （AB+AD）. 求證：D+B=180 。4. 已知：如圖2-6, 在正方形ABCD 中，E 為CD 的中點，F(xiàn) 為BC上的點，F(xiàn)AE=DAE 。求證：AF=AD+CF。 5已知：如圖2-7，在Rt ABC 中，ACB=90 ,CDAB ，垂足為D ，AE 平分CAB 交CD 于F ，過F 作FH/AB交BC 于H 。求證CF=BH。 （3）、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線

13、合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。 例1 已知：如圖3-1，BAD=DAC ，AB>AC,CDAD 于D ，H 是BC 中點。求證：DH=21（AB-AC ）分析：延長CD 交AB 于點E ，則可得全等三角形。問題可證。圖2-4OA DBD圖2-6ECD圖2-7DBAB 例2 已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD 為ABC 的平分線，CE BE. 求證：BD=2CE。 分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ABC 中，AD 、AE 分別BAC

14、 的內(nèi)、外角平分線，過頂點B 作BN 垂直AD, 交AD 的延長線于F ，連結(jié)FC 并延長交AE 于M 。求證：AM=ME。 分析：由AD 、AE 是BAC 內(nèi)外角平分線，可得EA AF ，從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在ABC 中，AD 平分BAC ，AD=AB，CM AD 交AD 延長線于M 。求證：AM= 21（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD ，自然想到以AD 為軸作對稱變換，作ABD 關(guān)于AD 的對稱AED ，然后只需證DM=21EC ，另外由求證的結(jié)果AM=21（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM 關(guān)于CM 的對稱

15、FCM ，然后只需證DF=CF即可。 練習(xí)： 1已知：在ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中點，AE 是BAC 的平分線，且CE AE 于E ，連接DE ，求DE 。2已知BE 、BF 分別是ABC 的ABC 的內(nèi)角與外角的平分線，AF BF 于F ，AE BE 于E ，連接EF 分別交AB 、AC 于M 、N ，求證MN=21BC（4）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線圖3-2BC圖3-3E圖4-2圖4-1ABC BIG 有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如

16、圖4-1和圖4-2所示。例4 如圖，AB>AC, 1=2，求證：AB AC>BDCD 。例5 如圖，BC>BA，BD 平分ABC ，且AD=CD，求證：A+C=180。例6 如圖，AB CD ，AE 、DE 分別平分BAD 各ADE ，求證：AD=AB+CD。練習(xí)：1. 已知，如圖，C=2A ，AC=2BC。求證：ABC 是直角三角形。2已知：如圖，AB=2AC，1=2，DA=DB，求證：DC AC3已知CE 、AD 是ABC 的角平分線，B=60°，求證：AC=AE+CD1 CBBDCAABEC B A BD CA C CB4已知：如圖在ABC 中，A=90

17、76;，AB=AC，BD 是ABC 的平分線，求證：BC=AB+AD(5、且垂直一線段，應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD 平分ABC 交AC 于點D ，CE 垂直于BD ，交BD 的延長線于點E 。求證：BD=2CE。證明：延長BA ，CE 交于點F ，在BEF和BEC中， 1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°， BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。 又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°， ABDACF，BD=CF，BD=2CE。 注：此例中BE 是等腰BCF的底邊CF 的中線。（六）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC 中，B=60°，ABC 的角平分線AD,CE 相交于點O ，求證：OE=OD2：（06鄭州市中考