全等三角形 輔助線做法講義1_第1頁
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文檔簡介

1、 全等三角形問題中常見的輔助線的作法巧添輔助線一倍長中線【夯實基礎(chǔ)】例:ABC 中,AD 是BAC 的平分線,且BD=CD,求證AB=AC 方法1:作D E AB 于E ,作D F AC 于F ,證明二次全等 方法2:輔助線同上,利用面積方法3:倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法倍長中線ABC 中方式 1: 延長AD 到E , AD 是BC使DE=AD,連接BE 方式2:間接倍長 作CF AD 于F ,延長MD 到N ,作BE AD 使DN=MD, 連接BE 連接CD【經(jīng)典例題】例1:ABC 中,AB=5,AC=3,求中線AD 的取值范圍 例2:已知在ABC 中,AB=AC,D 在AB

2、 上,E 在AC 的延長線上,DE 交BC 于F ,且DF=EF,求證:BD=CE例3:已知在ABC 中,AD 是BC 邊上的中線,E 是AD 上一點,且BE=AC,延長BE 交AC 于F ,求證:AF=EF 提示:倍長AD 至G ,連接BG ,證明BDG CDA 三角形BEG 是等腰三角形B 例4:已知:如圖,在ABC 中,AC AB ,D 、E 在BC 上,且DE=EC,過D 作BA DF /交AE 于點F ,DF=AC.求證:AE 平分BAC 提示:方法1:倍長AE 至G ,連結(jié)DG方法2:倍長FE 至H ,連結(jié)CH 例5:已知CD=AB,BDA=BAD ,AE 是ABD 的中線,求證:

3、C=BAE提示:倍長AE 至F ,連結(jié)DF 證明ABE FDE (SAS )進(jìn)而證明ADF ADC (SAS )【融會貫通】1、在四邊形ABCD 中,AB DC ,E 為BC 邊的中點,BAE=EAF ,AF 與DC 的延長線相交于點F 。試探究線段AB 與AF 、CF 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論 提示:延長AE 、DF 交于G 證明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC2、如圖,AD 為ABC 的中線,DE 平分BDA 交AB 于E ,DF 平分ADC 交AC 于F. 求證:EF CF BE >+3、已知:如圖,ABC 中,C=90,CM AB 于M ,A T 平分BAC 交

4、CM 于D ,交BC 于T ,過D 作DE/AB交BC 于E ,求證:CT=BE.提示:過T 作TN AB 于N 證明BTN ECD第 1 題圖 A B F D E C第 14 題圖DFCBEAD ABCMTE 龍文教育中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家截長補短法引輔助線思路:當(dāng)已知或求證中涉及到線段a 、b 、c 有下列情況時:,如直接證不出來,可采用截長法:在較長的線段上截取一條線段等于較短線段;補短法:延長較短線段和較長線段相等,這兩種方法放在一起叫截長補短法。 通過線段的截長補短,構(gòu)造全等把分散的條件集中起來。 例1. 如圖,ABC中,ACB2B,12。 求證:AB AC CD證法一:(補短法)

5、 延長AC 至點F ,使得AF AB 在ABD和AFD中 ABDAFD(SAS ) BF ACB2B ACB2F而ACBFFDCFFDC CDCF 而AF AC CF AFAC CD ABAC CD 證法二:(截長法)在AB 上截取AE AC ,連結(jié)DE在AED和ACD中AEDACD(SAS )例2. 如圖,在RtABC中,AB AC ,BAC90°,12,CEBD交BD 的延長線于E ,證明:BD 2CE 。分析:這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問題,可構(gòu)造線段2CE ,轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題,分別延長BA , 龍文教育 中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家A ACE 交于F ,證

6、BEFBEC,得,再證ABDACF,得BD CF 。1、如圖,ABC 中,AB=2AC,AD 平分BAC ,且AD=BD,求證:CD AC2、如圖,AC BD ,EA,EB 分別平分CAB, DBA ,CD 過點E , 求證;AB AC+BD3、如圖,已知在ABC 內(nèi),060BAC =,0 40C =,P ,Q BC ,CA 上,并且AP ,BQ 分別是BAC ,ABC BQ+AQ=AB+BP4、如圖,在四邊形ABCD 中,BC BA,AD CD ,BD 平分ABC 求證: 0180=+C A 5. 已知:如圖,ABC 中,AD 平分BAC ,若C=2B, 證明:AB=AC+CD.6. 已知:

7、如圖,ABC 中,A=60°,B 與C 的平分線BE,CF 交于點I ,求證:BC=BF+CE.CDBA 龍文教育 中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家7. 已知:如圖,在正方形ABCD 中,E 為AD 上一點,BF 平分CBE 交CD 于F ,求證:BE=CF+AE.與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì):a 、對稱性;b 、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法,一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線;利用角平分線,構(gòu)造對稱圖形(如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊)。通常情況下,出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時,一般考慮作垂線;其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法

8、,要結(jié)合題目圖形和已知條件。(1)截取構(gòu)全等如圖1-1,AOC=BOC ,如取OE=OF,并連接DE 、DF ,則有OED OFD ,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。 例1 如圖1-2,AB/CD,BE 平分ABC ,CE 平分BCD ,點E 在AD 上,求證:BC=AB+CD。簡證:在此題中可在長線段BC 上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE 與CD 的延長線交于一點來證明。自已試一試。 例2 已知:如圖1-3,AB=2AC,BAD=CAD ,DA=DB,求證DC AC 分析:此題還

9、是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。 例3 已知:如圖1-4,在ABC 中,C=2B,AD 平分BAC ,求證:AB-AC=CD圖1-2DBCABC圖1-1B 分析:此題的條件中還有角的平分線,在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形,此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的,在長的線段上截取短的線段,來證明。練習(xí) 1 已知在ABC 中,AD 平分BAC ,B=2C ,求證:AB+BD=AC2 已知:在ABC 中,CAB=2B ,AE 平分CAB 交BC 于E ,AB=2AC,求證:AE=2CE 3 已知:在ABC 中,AB>AC,AD為BA

10、C 的平分線,M 為AD 上任一點。求證:BM-CM>AB-AC4 已知:D 是ABC 的BAC 的外角的平分線AD 上的任一點,連接DB 、DC 。求證:BD+CD>AB+AC。(2)、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等 過角平分線上一點向角兩邊作垂線,利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1,已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。 求證:ADC+B=180 分析:可由C 向BAD 的兩邊作垂線。近而證ADC 與B 之和為平角。例2 如圖2-2,在ABC 中,A=90 ,AB=AC,ABD=CBD 。 求證:BC=AB+AD分析:過D 作DE

11、BC 于E ,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出全等三角形,從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題,從中利用了相當(dāng)于截取的方法。 例3 已知如圖2-3,ABC 的角平分線BM 、CN 相交于點P 。 求證:BAC 的平分線也經(jīng)過點P 。圖2-1BC圖2-2ABC圖2-3ABC 分析:連接AP ,證AP 平分BAC 即可,也就是證P 到AB 、AC 的距離相等練習(xí):1如圖2-4AOP=BOP=15 ,PC/OA,PD OA ,如果PC=4,則PD=( ) A 4 B 3 C 2 D 1 2已知在ABC 中,C=90 ,AD 平分CAB ,CD=1.5,DB=2.5.求AC 。3已知:如圖2-5, BA

12、C=CAD,AB>AD,CE AB ,AE=21 (AB+AD). 求證:D+B=180 。4. 已知:如圖2-6, 在正方形ABCD 中,E 為CD 的中點,F(xiàn) 為BC上的點,F(xiàn)AE=DAE 。求證:AF=AD+CF。 5已知:如圖2-7,在Rt ABC 中,ACB=90 ,CDAB ,垂足為D ,AE 平分CAB 交CD 于F ,過F 作FH/AB交BC 于H 。求證CF=BH。 (3)、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交,則截得一個等腰三角形,垂足為底邊上的中點,該角平分線又成為底邊上的中線和高,以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線

13、合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線段,則延長該線段與角的另一邊相交)。 例1 已知:如圖3-1,BAD=DAC ,AB>AC,CDAD 于D ,H 是BC 中點。求證:DH=21(AB-AC )分析:延長CD 交AB 于點E ,則可得全等三角形。問題可證。圖2-4OA DBD圖2-6ECD圖2-7DBAB 例2 已知:如圖3-2,AB=AC,BAC=90 ,AD 為ABC 的平分線,CE BE. 求證:BD=2CE。 分析:給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線,可延長此垂線與另外一邊相交,近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知:如圖3-3在ABC 中,AD 、AE 分別BAC

14、 的內(nèi)、外角平分線,過頂點B 作BN 垂直AD, 交AD 的延長線于F ,連結(jié)FC 并延長交AE 于M 。求證:AM=ME。 分析:由AD 、AE 是BAC 內(nèi)外角平分線,可得EA AF ,從而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。例4 已知:如圖3-4,在ABC 中,AD 平分BAC ,AD=AB,CM AD 交AD 延長線于M 。求證:AM= 21(AB+AC)分析:題設(shè)中給出了角平分線AD ,自然想到以AD 為軸作對稱變換,作ABD 關(guān)于AD 的對稱AED ,然后只需證DM=21EC ,另外由求證的結(jié)果AM=21(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可嘗試作ACM 關(guān)于CM 的對稱

15、FCM ,然后只需證DF=CF即可。 練習(xí): 1已知:在ABC 中,AB=5,AC=3,D 是BC 中點,AE 是BAC 的平分線,且CE AE 于E ,連接DE ,求DE 。2已知BE 、BF 分別是ABC 的ABC 的內(nèi)角與外角的平分線,AF BF 于F ,AE BE 于E ,連接EF 分別交AB 、AC 于M 、N ,求證MN=21BC(4)、以角分線上一點做角的另一邊的平行線圖3-2BC圖3-3E圖4-2圖4-1ABC BIG 有角平分線時,常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線,從而構(gòu)造等腰三角形?;蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交,從而也構(gòu)造等腰三角形。如

16、圖4-1和圖4-2所示。例4 如圖,AB>AC, 1=2,求證:AB AC>BDCD 。例5 如圖,BC>BA,BD 平分ABC ,且AD=CD,求證:A+C=180。例6 如圖,AB CD ,AE 、DE 分別平分BAD 各ADE ,求證:AD=AB+CD。練習(xí):1. 已知,如圖,C=2A ,AC=2BC。求證:ABC 是直角三角形。2已知:如圖,AB=2AC,1=2,DA=DB,求證:DC AC3已知CE 、AD 是ABC 的角平分線,B=60°,求證:AC=AE+CD1 CBBDCAABEC B A BD CA C CB4已知:如圖在ABC 中,A=90

17、76;,AB=AC,BD 是ABC 的平分線,求證:BC=AB+AD(5、且垂直一線段,應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線例6如圖7,ABC是等腰直角三角形,BAC=90°,BD 平分ABC 交AC 于點D ,CE 垂直于BD ,交BD 的延長線于點E 。求證:BD=2CE。證明:延長BA ,CE 交于點F ,在BEF和BEC中, 1=2,BE=BE,BEF=BEC=90°, BEFBEC,EF=EC,從而CF=2CE。 又1+F=3+F=90°,故1=3。在ABD和ACF中,1=3,AB=AC,BAD=CAF=90°, ABDACF,BD=CF,BD=2CE。 注:此例中BE 是等腰BCF的底邊CF 的中線。(六)、借助角平分線造全等1:如圖,已知在ABC 中,B=60°,ABC 的角平分線AD,CE 相交于點O ,求證:OE=OD2:(06鄭州市中考

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