專題08隱零點(diǎn)問題解析版

1、專題08隱零點(diǎn)問題W%!匝綜跡二有一種零點(diǎn)客觀存在，但不可解，然而通過研究其取值范圍、利用其滿足的等量關(guān)系實(shí)現(xiàn)消元、換元以及降次達(dá)到解題的目的.這類問題就是隱零點(diǎn)問題典例剖折類型一根據(jù)隱零點(diǎn)化簡求范圍 典例1.已知函數(shù)f(x) ax xlnx的圖像在點(diǎn)x e (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3.(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)若 k Z，且k衛(wèi)呂對(duì)任意x 1恒成立，求k的最大值;x 1【答案】3【解析】解析:(1) f' x a 1In X，由 f (e)3 解得 a(2) f(x) Xxlnx， kf(x)XX xln X ,、 亍一飯(x)，g'(x)x 2 l n X(

2、x 1)2令 h(x) x 2ln x，有 h'(x)0,那么h(x)h(1)1.不妨設(shè)h(xo)0，由 h(3) 0，h(4)0,則可知x0(3,4)，且 Inx0 x02.因此，當(dāng)h x0時(shí)，g' xX0 ;當(dāng) h0 時(shí)，g' x 0， x x0 ；即可知z、I 、X0(lnx01)g (X) min g(X0)x0 1X0(X01)X01X0，所以kx0，得到滿足條件的k的最大正整數(shù)為3.類型二根據(jù)隱零點(diǎn)分區(qū)間討論修正版典例2已知函數(shù)f(x) x2 2tl nx (t 0)，t為何值時(shí)，方程 f(x) 2tx有唯一解.【答案】(，0) U1【解析】X2 2tl n

3、x 2tx 2t(x ln x)X2當(dāng) x In X0時(shí)，有t R ;設(shè) u(x)X In X, u'(x)110 ;又 u(1) 1Xu(1) 1e e0 ,不妨設(shè) XoIn Xo0 ,則可知X0(一,1).e當(dāng) X In X0時(shí)，得到2t2X g(x);g'(x) X In XX2Xln X)2令 g（X）X 1 2lnx，易知 g(1) 0 ,且 X 1 時(shí),X 2xln(Xx(x 1 2ln x)(X ln X)2g（X）1 時(shí)，g（X） 0;g（X）在區(qū)間（0,X0）,（X0,1）上為減函數(shù)，在區(qū)間（1,）上為增函數(shù)；畫圖函數(shù)圖像:綜上可知因此，可知所求t的范圍為（,

4、0) U1.類型三根據(jù)隱零點(diǎn)構(gòu)造新函數(shù)典例3已知函數(shù)f Xax2，當(dāng) X 0 時(shí)，f求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(,2【解析】2ax ,首先，當(dāng)a 0時(shí)，在0,)上f'0恒成立，則有其次，當(dāng)a 0時(shí)，令g2ax1，由題1可知，當(dāng)2a 1 ,h X .此0 ,同樣有f X 0 再者，當(dāng)1評(píng)，函數(shù)相交于點(diǎn)0,1 和 X0,y0同時(shí),當(dāng) X 0,x0 時(shí)，f ' X 0 ；當(dāng) XX0,時(shí)，f'x0 .即可知 f Xmin fX0X0“e1X0ax02，將X0eX01 2ax0代入得到:f x0e0 1ex0 1x0X0x00，令 F Xex 1 x0，則 F'ex 1

5、 x 12又由變式2可知1 xx xex ,那么 F' x e-e一12x在區(qū)間0,上遞減，因此有f xof 00，與 f X10矛盾，故a -不合題意.綜上可知，滿足題意的實(shí)數(shù)1a的取值范圍為(，-.猶'迤名校模機(jī)?為自然對(duì)數(shù)的底)1.已知函數(shù)？?(?= ?e?- ?(1 n?* ?) ?(?= (?+ 1)?( ? ?且為常數(shù),(1 )討論函數(shù)？?(?的極值點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)當(dāng)？?= 1時(shí)，？?(?戸？?(?對(duì)任意的？?(0, +8)恒成立，求實(shí)數(shù)？?的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)？?w 0時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)？?> 0時(shí)，有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)；(2) (- 8,0【解析】(1)

6、 ?(?的定義域?yàn)?0,+8) ?(?)= (?+1)?- ?：1?+1)=寫(？?- ?, 因?yàn)楹瘮?shù)？?= (? = ?+ ?> 0在(0, +S)上恒成立, 所以函數(shù)？?= ?在區(qū)間(0, +8)上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?0, +8), 當(dāng)？?W 0時(shí)，？?他?> 0在區(qū)間(0, +8)上恒成立, 即?(?)> 0, 故?(?在(0, +8)上單調(diào)遞增, 所以無極值點(diǎn);當(dāng)？?> 0時(shí), 方程?- ?= 0有唯一解，設(shè)為?(?> 0), 當(dāng)0< ?< ?時(shí)，？?(?)< 0,函數(shù)？?(?單調(diào)遞減, 當(dāng)？?> ?時(shí)，？?(?)> 0,函數(shù)

7、？?(?單調(diào)遞增, 所以？?是函數(shù)？?(?的極小值點(diǎn), 即函數(shù)?(?只有1個(gè)極值點(diǎn).(2)當(dāng)？?= 1時(shí)，不等式？?(?戸？?(?對(duì)任意的？? (0, +8)恒成立, 即？?處I n?- 1 > (? + 1)?對(duì)任意的？(0,+8)恒成立,即？?-寫2?+ 1對(duì)任意的？ (0, +8)恒成立,In ?+1記？(？= ?-?C In?Hn?(?) = ?+= ?記？(?)= ?+ In?因?yàn)?(?)= 2?+ ?+ 1?> 0在? (0, +8)恒成立,所以？(?)在(0, +8)上單調(diào)遞增,1 1 1 1 2且?(? = (?2?- 1 = ? - 1 < 0, ?(1)

8、= ?> 0,1所以存在？ (刊1)使得?(?) = 0,且？? (0, ?)時(shí)，?(?)< 0, ?(?)< 0，函數(shù)？?(?單調(diào)遞減;當(dāng)？? (?,+8 )時(shí)，？(?)> 0, ?(?)> 0,函數(shù)？?(?單調(diào)遞增；.所以？?(?min = ?)，即？?(?min = ?-In ?)+1?又因?yàn)椋?？?)= 0 ? ? = -In?0,?=-罟1? ? = In 丄？?,?0所以?= In?,1+?3-1=1? ,因此?(?min = ?朋-呼=?他?；?0-1? 0所以1 > ?+ 1，解得? < 0.綜上，實(shí)數(shù)？?的取值范圍是(-8,0.12

9、.已知?(?= ?- 2 (In?)2 - ?In? 1 (? ?)(1 )若?(?是(0, +8)上的增函數(shù)，求？的取值范圍;(2)若函數(shù)?(?有兩個(gè)極值點(diǎn)，判斷函數(shù)?(?零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1) (-1 (2)三個(gè)零點(diǎn)【解析】,1O/?-In?-?(1 )由?(?)= ? 2(In?)2- ?In? 1 得?(?)=/ / 1 由題意知?(?) > 0恒成立，即？? In?- ?> 0,設(shè)？(?= ? In?- ? ?(?)= 1 - ?(0,1)時(shí)？?(?)< 0, ?(?遞減，？(1,+m)時(shí)，？?(?)> 0 , ?(?遞增;故?(?min = ?(1)=

10、1 - ?> 0,即？?W 1，故？的取值范圍是(-m,1.(2)當(dāng)？?w 1時(shí)，？?(?單調(diào)，無極值;當(dāng)?> 1 時(shí)，？?(1)= 1 - ?< 0, 一方面，？?)= ? > 0,且?(?在(0,1)遞減，所以？?(?在區(qū)間(?,1)有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，？霍=?- 2?設(shè)？?(?= ?- 2?(?> 1)，則?(?)= ?- 2 > 0，從而?(?) 在(1, +m)遞增，貝y ?(?> ?(1)= ? 2 > 0，即？?3 > 0，又?(?在(1, +m)遞增，所以 ?(?在區(qū)間(1, ?)有一個(gè)零點(diǎn).因此，當(dāng)？?> 1時(shí)?(

11、?)在(?,1)和(1,?各有一個(gè)零點(diǎn)，將這兩個(gè)零點(diǎn)記為?, ? (? < 1 < ?)，當(dāng)？(0,?)時(shí)?(?> 0，即？?(?)> 0;當(dāng)？(?,?)時(shí)？(?< 0,即 ?(?)< 0 ；當(dāng)?(?，+m )時(shí)？?(?> 0，即?(?) > 0：從而？?(?在(0,?)遞增，在(？,？?) 遞減，在(?，+m )遞增；于是？?是函數(shù)的極大值點(diǎn)，？?是函數(shù)的極小值點(diǎn).F面證明：？?)> 0, ?) < 0由?(?) = 0得?- In? - ?= 0，即？?= ?-In?,由?) = ?- 2(1 n?)2- ?| n?- 119=?

12、+ - (In?*?)2 - ?ln? - 1 ,(1-?)In?得?) = ?- 2(|n?)2- (?- In?)ln? - 11 /令?(?)= ?H 2(1 n?)2- ?ln? 1，則? (?)=當(dāng)？?(0,1)時(shí)？?'(?)< 0, ?(?遞減，則?(?)> ?(1) = 0，而? < 1，故?) > 0 ;當(dāng)？(1,+m)時(shí)？?'(?)< 0, ?(?遞減，貝 U ?(?)< ?(1) = 0,而?> 1，故?) < 0 ;一方面，因?yàn)椋?？?)= ?-2? - 1 < 0,又?) > 0，且?(?在(0

13、,?)遞增，所以？?(?在(?-2?, ?)上有一個(gè)零點(diǎn)，即？?(?在(0,?)上有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，根據(jù)？?> 1 + ?(?> 0)得?> 1 + ?則有:3 2 7? = ?- 12?!- 1 > (1 + ?4- 12?< 1 = ? + 4?- -) + 4 ?> 0,又?) < 0，且？?(?在(？?,+8)遞增，故？?(?在(？,？?9上有一個(gè)零點(diǎn)，故？?(?在(?，+m)上有一個(gè)零點(diǎn).又?(1)= 0,故？?(?有三個(gè)零點(diǎn).3 .已知函數(shù)?(?= ?ln? In?, ?(?= ? ?(I)令？(?) = ?(?3 ?(?)當(dāng)？?= 1

14、時(shí)，求函數(shù)？(?在點(diǎn)(1,?(1)處的切線方程;若？?= |?|?> 1|時(shí)，?(?)? 0恒成立，求？的所有取值集合與？?勺關(guān)系;(n)記？?(?)= (?(?> ? (?(?)- 2?)，是否存在？ ?，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù) ？(?,+8),函數(shù)？?(?在(1, +8)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出滿足條件的最小正整數(shù)?，若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)？?=-?+ 1 ;見解析；(2 ) 2【解析】(1 )由題意，可得？(?)= ?(?- ?(?= ?ln? In?- ?+ ?/d!則？ (?)= In?- ?所以？ (1) = -1 , ?(1) = 0所以?(?)在 (1

15、, ?(1)處的切線方程為？?= -? + 1由？(?) > 0,即?> ?- ?ln ?+ I n?= ?(?)/ 1則? (?)= ?- In? ? (1, +8),因?yàn)椋?(?)= ?- In?在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以？(?)< ?(1) = 1,存在? (1, +8),使得?(?) = 0,函數(shù)？?(?在？? (1,?)上單調(diào)遞增，在？? (?,+8)上單調(diào)遞減，?> ?(?),/44由?(?) = 0得In?=亦,?) =?+- 1 > 1 , ?> ?(?) > 1，所以？?勺所有取值集合包含于集合?(n)令?(?) ?= ?In?

16、In?- ? ?(?-莎=?- ?爲(wèi)? (1,+8)? 1 ?(1 ) (?(?)- ? = In?+ 1 - ?+?> 0, ? (1, +8由于？ (?,+s) , ? ?> 1, ?(1)= -? < 0, ?R,?(?嚴(yán) +8由零點(diǎn)存在性定理可知，？?？ (1, +8)，函數(shù)？?(?在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(2) (?(?)- 2?)=?3?1 + 2?2> 0，?(1 ,+8 ),?(1)= 1 - y < 0, ?R +8 , ?(?戸+8同理可知？?？ (1,+8)，函數(shù)？?(?在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)一 ？ ？(3)假設(shè)存在? (1, +8)，

17、使得？?)- - = ?)-藥=0,?= ? ?則" “2?，消?得1n?- 2?= 0.2?- ?=厲2?4? +2令？?(?= In?- 2?；2，?(?)= ?+(2?；.?； )2 > 0，所以？?(?單調(diào)遞增.41322一/ ?(2) = In2 - 5= 5'n?< 0, ?(v2 +1) = 0.8814 -可> 0, ? (2, v2+ 1), 此時(shí)？?=?g1=?+2+4(?1 (5,2),所以滿足條件的最小正整數(shù)？= 2.4.已知函數(shù)?= ? = 2?- !?. 1 (?為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1 )記？= In?+ ?，求函數(shù)?在區(qū)間1,3

18、上的最大值與最小值;(2)若？?且?+ ?- ?> 0對(duì)任意？?!成立，求？的最大值.【答案】(1)見解析;【解析】(1 ) ?= In?+?= In?+ 2?- 5?. 1 ,，(2?-1)( ?-2)2? ?(?= (1八2)令?(?= 0，則?=12,?= 2 ,所以函數(shù)？?在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,3)單調(diào)遞增,二？?min = ?2) = -4 + In2 ,?max = max?1),?3) = -4 + ln3 .(2) ?+?- ?> 0對(duì)任意？ ?姮成立,15二?+ 2?- 2?- 1 - ?0對(duì)任意？?亙成立,4C?< ?+ 2?- rn?

19、1 對(duì)任意？?姮成立.令?(?= ?+1?-!?-1，貝U' (?= ?+ ? 5.由于？ ' (? = ?+ 1 > 0，所以？ ' (?在 ?上單調(diào)遞增.F C，3，3，11，3又？(0) = - 2< 0,? (1) = ? 2> 0,? (2) = ?- 2 < 0, ?(-)=?- ；= 0,13所以存在唯一的？ (2,4),使得？ (?) = 0 ,且當(dāng)？? (-8,?)時(shí),? (? < 0, ?(?,+s)時(shí)，？(？> 0.即?(?在(-8,?)單調(diào)遞減，在(？,+8)上單調(diào)遞增.- ?(? min = ?(?) = ?

20、 + 2 ?-52?- 1.又？ '(?)= 0,即？?？+?- 2=0, ? = 2 - ?.512512-?(?) = 2- ?+ 2?- 2?- 1 = 2(?- 7?+ 3).13271又 ?< ?+ 1?- 5?. ? ( 2,4)， ? (?) (- 32 ,- 8).1 對(duì)任意？?亙成立， ?< ?(?),又？? ?max = -1 .5.己知函數(shù)？?(?= In?-鬲(？?(1 )討論函數(shù)?(?的單調(diào)性;(2)若函數(shù)？?(?有兩個(gè)零點(diǎn)？，?，求？?勺取值范圍，并證明?+?> 2-2?.【答案】(1)見解析；(2)見證明【解析】(1 )解：因?yàn)?(?=

21、In?-彩函數(shù)?的定義域?yàn)?0,+8me，12?字+2?所以？?(?)= ?+ ?3=廠，？?> 0.當(dāng)？0時(shí)，？?(？> 0, 所以函數(shù)？?(?在(0,+ )上單調(diào)遞增.當(dāng)?< 0時(shí)，由?(?)= 0,得？?= V-2?(負(fù)根舍去)， 當(dāng)？? (0, V-2?)時(shí)，？?(？< 0，當(dāng)？?( v2?, +8)時(shí)，？?(？> 0, 所以函數(shù)？?(?在(0, V-2?)上單調(diào)遞減；在(v-2?,+8)上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)？?0時(shí)，函數(shù)？?(?在(0, +8)上單調(diào)遞增；當(dāng)？?< 0時(shí)，函數(shù)？?(?在(0, V-2?)上單調(diào)遞減，在 (“2?,+8)上單調(diào)遞增

22、(2)先求？的取值范圍: 方法1:由(1 )知，當(dāng)？?> 0時(shí)，？?(?在(0,+8)上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件.當(dāng)?< 0時(shí)，函數(shù)？(?在(0, V-2?)上單調(diào)遞減，在(v-2?,+8)上單調(diào)遞增, 1所以？?(?min = ?(/2?) = In “2?+ 2,要使函數(shù)？?(?有兩個(gè)零點(diǎn)，首先？?(?褊 1 1=Inv-2?+ ? < 0,解得-云< ?* 0.因?yàn)?2? < V-2? < 1,且?1) = -? >F面證明？-2?) = In(-2?) - 土> 0 .設(shè)？= In(-2?) - 4?則?(? = 11?+

23、4?2 =4?+14?孚.2因?yàn)?> - 2?所以?(?= ?+4?¥=零>嶋1> 0.所以?在(-2?,0)上單調(diào)遞增,1 1 ?所以?-2?) = ? >?：-/ = In 刃+ ?> 0.所以？的取值范圍是(-2?。).?方法 2:由?(?= In?-函=0，得到？?= ?ln?設(shè)？= ?1 n?則?(? = ?2In?+ 1).1 1當(dāng) 0< ?< ?2 時(shí)，？?(？< 0,當(dāng)？?> ?2 時(shí)，？?(?？> 0,1 1所以函數(shù)？?在(0, ?2)上單調(diào)遞減，在(? 2,+m)上單調(diào)遞增.1 1所以由? min = ?

24、：?2)=-厲因?yàn)椋? 0+ 時(shí)，？ 7 0,且？1)=0,要使函數(shù)？?(?有兩個(gè)零點(diǎn)，必有< ?< 02? 所以？的取值范圍是(-2?。).再證明?+ ? > 2 V-2?: 方法1：因?yàn)?, ?是函數(shù)？?(?的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè) ?< ?，令? = ?,則？?> 1 .? ?2= 0,?所以?即1n? - In? = ?2-? :?2= 0,?所以Iny-并即?2=需($ 1)，1-2?< ?< 0, ?> 1.-8?.要證?+ ?> 2V-2?，即證(? + ?)2 > 即證?(1 + ?2 > -8?，即證需(占-1) (

25、1 + ?)?2 > -8?.1 1因?yàn)?2?< ?< 0,所以即證扁-1) (1 + ?2 < -8In?, 或證 8ln?+ (?- 1) (1 + ?)?2 < 0 (?> 1).設(shè)?(?)= 8In?+ (右-1) (1 + ? , ?> 1.即？(?)= 8In? ?- 2?$ 2?+ £ ?Q 1 .才、,822-2(?-1)2-2?(?-1)2?所以？(?)=亦 2? 2-百-?= -3< 0.所以?(?在 (1,+8)上單調(diào)遞減,1所以?(?)= 8ln?+ (?- 1) (1 + ?2 < ?(1) = 0, ?

26、> 1 .所以？+ ?> 2V-2?.方法2:因?yàn)?, ?是函數(shù)？?(?有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè) ？< ?，令? = ?1?,則？?> 1 .?=0? ?所以?即In?- In?=-；?.?褂=0,? ?匕廠 r、f I ? 口仃 cT?11所以 In?=兩-，即？?2=帚(？ - 1)，- 27?< ?< 0，? 1 .要證?+ ? > 2V-2?，需證 v?2 > V-2?.即證? -2?，即證？?xn?(i-1) > -2?.1 1因?yàn)?莎< ?< 0，所以即證？ ?> 2ln?(?> 1).1設(shè)？(？)= 2ln?

27、- ?H ? , / 2 1 (?-1)2則？ (?)= ? 1 - ? = -? <0, ?> 1 .所以?(?在 (1,+8 )上單調(diào)遞減, 所以？(?)= 2In?- ?+ *?< ?(1) = 0.所以?+ ?> 2V-2?.方法3:因?yàn)?, ?是函數(shù)？?(?有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè) ?< ?，令? = ?則？?> 1 .?我二 0,”“所以?即In?+In?=5+5.?視=0.?'歹要證?+ ?> 2V-2?，需證 /?> V-2?.只需證 In? + in?Q > In (-2?).? ? ? ?即證+ ? > In(-

28、2?)，即證 殲 + 齊2?> In(-2?).1 1即證？£ + 狗)？2> In(-2?).因?yàn)?lt; ?< 0，所以?1< -2?，即幵1> -2?所以?£ + ?) ?2 > ?(1 + ?)x- = - 1(1-2? 2 '+ ?) > - i(1 +1) = -1 .而 In (-2?) < In 1=-1 ,所以？£ + ?) ?2 >In (-2?)成立.所以?+ ?> 2V-2?.方法4:因?yàn)?, ?是函數(shù)？?(?有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè) ？< ?，令? = ?則？?>

29、1 .?= 0,? ?由已知得?即 In?- In? =?-?.先證明 In?-In?1?2?；?2= 0,?'蘋<一，即證明 In?< M(?> 1)?-?1壬，).2設(shè)?(?)?=冷-I n?則？ '(?？=滲0 .In ?-In? 1所以?(?)?在(1,+8 )上單調(diào)遞增，所以?(?)?> ?(1) = 0,所證不等式成立.所以有In?4= -?(? < 丄?-?1?V?即-?(?+ ?)<( V?)3.因?yàn)?V?l< ?( ?豐?), 所以-?(? + ?) < (?2?2)3，即(?+ ?)2 > -8?.所以?

30、+ ?> 2V-2?.方法 5:要證? + ? > 2 V-2?，其中？ (0, V-2?) , ? (“2?, + 即證?> 2 V-2? - ?.利用函數(shù)？?？的單調(diào)性，只需證明？?)> ?(2V2? - ?).因?yàn)?) = ?)，所以只要證明？?)> ?(2“2? - ?)，其中？ (0, V-2?).構(gòu)造函數(shù)？= ?- ?(2v-2? - ?,?(0, V-2?)，?r r?則?=In?-?-|n(2 V-2? - ?)+ (2S?)m出 cd"12?12?因?yàn)??(? = 一 + -3 + = + 3'? ?2 V2?-?(2 V-2?

31、-?) 32尹4?2?(2 V2?-?)-?(2 V2?-?)+?2(利用均值不等式)?(2v-2?-?f +? (2 V-2?-?)2 V-2?(2v-2?-4?/2?+ = 2 ?)?(2 V-2? - ?) 22v-2?(?- V2?)ZT < 0 ,?(2 V2?-?)所以?在 (0, V-2?)上單調(diào)遞減. 1 所以?> ?(v-2?) = In V-2? + - - In v-2?-1=0 .所以?> ?(2V-2? - ?)在 (0, V-2?)上恒成立.所以要證的不等式？+ ?> 2V-2?成立.6 .已知函數(shù)？(？?= ?即-?1 n?(無理數(shù)？?=

32、2.718.)(1 )若?在(1,+s )單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)？的取值范圍;2(2)當(dāng)？?= 0時(shí)，設(shè)函數(shù)？= e?- ?- ?證明：當(dāng)？?> 0時(shí)，?> 1-孚-(譬).(參考數(shù)據(jù)In2 0.69 )【答案】(1) ? (-8,2; (2)證明見解析.【解析】(1)函數(shù)f ( X)的定義域?yàn)?0 ,+s) ? 在 (1,+s)單調(diào)遞增,? ?= (1 + ?-1 - ?= (?+?) F > 0 在(1,+s)恒成立, 設(shè) h (x) = ( x+ x2) ex 1 ?由題意 h (x)>0 在(1,+s)恒成立，-.h' (x) = ex1 ( x2+3x+ 1

33、),2當(dāng) x ( 1,+s)時(shí)，x + 3x + 1 > 0, 故 h' (X)> 0, m (X)在(1，+s)單調(diào)遞增, 所以 h (x)> h (1)= 2 ?故 2 ?>0, 2? 2,綜上?E(-s,2.x 一 1(2)當(dāng)？= 0 時(shí)，f (x)= xeg'(x)= ex 2x 1,m( x )= ex 2x 1,m' (x)= ex 2，令 m' (x)= 0,解得 x= In2 ,x( 0, In2 )時(shí)，m' (x)< 0, m (x)單調(diào)遞減,x( In2，+s)時(shí)，m' ( x)> 0, m

34、(x)單調(diào)遞增.因此 m (x)> m ( In2 )= eIn2 2In2 1 = 1 2In2 < 0, 即 g' (ln2 )= 1 2ln2 <0,1 1 1 一又 g' (0)= 0, ?(1 + -In2) = ?+2In2 - 2(1 + -In2) - 1 = v2?- 3 - In2 > 0, 故存在 Xo( In2 , 1 + 2 In2 )，使 g' (xo)= 0, 即？?？ - 2? - 1 = 0, ? = 2? + 1 .當(dāng) x( 0, xo)時(shí)，g' (x) < 0, g (x)單調(diào)遞減,x ( X0

35、, +g)時(shí)，g' (x)> 0, g (X)單調(diào)遞增,? > ?) = ? - ?- ?=2? +1 - ?- ?=-?2+? +1 = -(?)- y+舟,由于 X0( In2 , 1 + 2ln2 ),函數(shù)？?= -(?)- 2) + 5單調(diào)遞減,1 25故? >- (?)- -) + 4 > - (111 252In 2- 2) + 4= 1In2 In2 22-(W)所以，當(dāng) x > 0 時(shí)，？?？> 1 - ln2(第27 .已知函數(shù)?= ?+ ?+ ?ln?> 0)(1 )若？?= 1，求函數(shù)?的極值和單調(diào)區(qū)間;(2)若？= ?+

36、 尋在區(qū)間(0, ?上是否存在?，使?) < 0,若存在求出實(shí)數(shù)？?勺取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】函數(shù)? =?+2:?+ In?的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+g)極小值為3,無極大值(2)見解析【解析】(1 )當(dāng)？?= 1 時(shí)，? =?+2?+ In?.?(?=竿?2空，且？(0,+g ) ?(0,1)時(shí)，？?(？< 0; ?(1,+g )時(shí)，？(？> 02 ?= ?+ -+ In?有極小值?1) = 32故函數(shù)？?？= ?+ ?+ In?的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+g ) 極小值為3，無極大值.2?鄉(xiāng)-22?鄉(xiāng)(2) ?

37、= ?+ -= ?石 + ?ln?> 0)， (?+2?( ?-? ?(?= (?> 0 ?(0,?時(shí)，？?(?？< 0, ?(?+ g )時(shí)？?(？> 0 ?= ?為函數(shù)的唯一極小值點(diǎn) 又？ (0,?,當(dāng) 0 < ?W ?時(shí)?min = ?= ?+ 2?+ ?l n?= ?3+ In?在區(qū)間(0,?上若存在?，使？?)< 0，則?min = ?3 + In? < 0 , 解得 0 < ?< 當(dāng)？?> ?時(shí),? =2?鄉(xiāng)?+帀+ ?In?> 0)在? (0,?為單調(diào)減函數(shù),2?空1?< ?min = ?= ?+帀 + ?&

38、gt; 0，不存在? (0,?P,使？?)< 0 綜上所述，在區(qū)間(0,?上存在?，使？?)< 0,此時(shí)0 <8. 已知函數(shù) (1)若?=1時(shí)，求函數(shù)?的最小值;(2)若函數(shù)？?？有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【答案】(1)0( 2)0<a<1【解析】解：(1) ?= 1, ?(?= ?_ ?_ In?則？?(？= 2?_(2?+1)(?_1) , , ，?(?> 0)，當(dāng) 0 < ?< 1 時(shí)，？?(？ < 0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)？?> 1時(shí)，?(? > 0,?為增,?(?在？?= 1處取最小值0.(2)由?(?=?2?_

39、?. In?得? (?2a?- 1 -1 2?_?_1?=?(?> 0)，, , ,2?2-?_1當(dāng)？?w 0 時(shí)，？ (?)2'?< 0,函數(shù)?在(0 , +S)上單調(diào)遞減,當(dāng)？?w 0時(shí)，？?在(0 , +S)上最多有一個(gè)零點(diǎn).令？= 2?_ ?. 1, , ?= ?有兩個(gè)零點(diǎn)，- ?> 0 .1 + 8?> 0，顯然？?有一正根和一負(fù)根, ?在(0 , +8)上只有一個(gè)零點(diǎn), 設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為？，當(dāng)？?(0,?)時(shí)，？?？< 0, ?：?< 0 ； 當(dāng)？? (xo, +8)時(shí)，？> 0,?勺'?？> 0;函數(shù)？?在(0, ?)上

40、單調(diào)遞減，在(X0 , +8)上單調(diào)遞增,要使函數(shù)？?在(0 , +S)上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)?的極小值?) < 0 , 即？?？_ ?_ In? < 0. ?) = 2? - ?_ 1 = 0, ?_ ?_ In ?)=2(_2I n?0+2?)?_ 2?) = _2I n? ?0+(2?3?_ ? _ 1) _ ? + 11=2(1- ?_ 2ln?3) < 0 , 可得 2ln?)+?)_ 1 > 0. ?(?= 2ln?+ ?- 1 在(0 , +8)上是增函數(shù)，且 h(1) = 0 ,1 ? > 1.0 < -< 1,由 2?3?- ?-

41、1 = 0, 得 2?=谿=(?10)2 + ?=(?+2) 0<2a<2 ,即0<a<1 .9. 設(shè)函數(shù)？?(?= ? ?1 n?,其中？為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1 )若？?= 1，求?(?的單調(diào)區(qū)間;(2)若？(?= ?(?) ?+ ?-1，0 < ?< ?求證：?(?無零點(diǎn).【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】(1 )若?= 1 ,則？(？= ? In?(?> 0),1?'俘?1 -辦?-1?當(dāng)？? (0,1)時(shí),? (?)0 , ?(?單調(diào)遞減,當(dāng)?C (1,+s)時(shí)，？，(?)0, ?(?單調(diào)遞增.?(?的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，

42、單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).?-1 ?(2)由？(？= ?-1 - ?ln?(?0)可知，？ (S?) ?-(?> 0), 當(dāng)?= 0時(shí)，?(?= ?f?-1，顯然？?(?沒有零點(diǎn);當(dāng)0< ?w ?時(shí)，設(shè)？(?)=孑?1 - ? ?' (?=) ?-1 (1 + ?)> 0,在0, +8)單調(diào)遞增, h (x)在(0,又 h ( 0)=- a< 0, h (2)= 2e a>0,2) 上存在唯個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為X0,則X0?-1 = a,當(dāng) x (0,X0)時(shí),h (x)< 0,1 卩 g (x)< 0,當(dāng) xC (X0, + 8)時(shí)，h (x)

43、> 0,即 g ( x)> 0, g (xm( 0,X0)上單調(diào)遞減，在(X0, + 8)上單調(diào)遞增, g (x)的最小值為g (X0)= ?-1 - alnx0,當(dāng)當(dāng)_ ?x。?？?-1 = a, ? J ，兩邊取對(duì)數(shù)可得X0- 1 = Ina - InX0,即 InX0= lna+1 - X0,?0? ? g (X0) = ? - a (Ina +1 - X0)= ? + ax0 - alna - a>2a - alna - a= a - alna,(當(dāng)且僅當(dāng) X0= 1 時(shí)取等號(hào))，令 m (a)= a- alna ,貝U m'( a)=- Ina , a C (0, 1)時(shí)，m'( a)> 0，當(dāng) a C (1, e時(shí)，m'( a)< 0, (a)在(0, 1)上單調(diào)遞增，在(1, e上單調(diào)遞減.0< aw e時(shí)，m (a) > 0，當(dāng)且僅當(dāng)a= e時(shí)取等號(hào),由 X0?0-1 =