數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

1、第6章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念6.1內(nèi)容框圖6.2 基本要求(1)理解總體、樣本及統(tǒng)計量的概念，并熟練掌握常用統(tǒng)計量的公式(2)掌握矩法估計和極大似然估計的求法，以及估計無偏性、有效性的判斷(3)掌握三大抽樣分布定義，并記住其概率密度的形狀(4)理解并掌握有關(guān)正態(tài)總體統(tǒng)計量分布的幾個結(jié)論，如定理 6.46.9及定理6.11.6.3 內(nèi)容概要1)總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計中，我們把作為統(tǒng)計研究對象的隨機(jī)變量稱為總體，記為對總體進(jìn)行 n 次試驗后所得到的結(jié)果，稱為樣本，記為(X1,X2，Xn ),(丫1,丫2,，Yn),，其中，試驗次數(shù) n稱為樣本容量。樣本(X1,X2，Xn)中的 每一個Xi都是隨機(jī)變量。

2、樣本所取的一組具體的數(shù)值，稱為樣本觀測值，記為（Xi,X2，Xn）。具有性質(zhì)：（1）獨(dú)立性，即X1,X2，Xn相互獨(dú)立。（2）同分布性，即每一個 Xi都與總體服從相同的分布。 稱為簡單隨機(jī)樣本。如果總體 之是離散型隨機(jī)變量，概率分布為PX =k,那么樣本（X1,X2Xn）nn的聯(lián)合概率分布為 PXi =X1,X2 =X2，Xn =Xn = PX i = Xi =n P。= Xi。 i 4i 1如果總體 且是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為5（X）,那么樣本（X1,X2，Xn）的nn聯(lián)合概率密度為 中*（Xi,X2，Xn）=nXi（Xi）=n中（Xi）。 i 4i 4如果總體 :的分布函數(shù)為F（x）,

3、那么樣本（X1,X2，Xn）的聯(lián)合分布函數(shù)為nnF*（Xi,X2，Xn）=n FXi（Xi）=n F（Xi）。 i 1i 12）用樣本估計總體的分布數(shù)理統(tǒng)計的一個主要任務(wù)，就是要用樣本估計總體的分布。參數(shù)估計又可以分為兩種，一種是點(diǎn)估計，另一種是區(qū)間估計。3）矩法估計 求矩法估計的步驟為：（1）計算總體分布的矩E（9） = 式日1，力,，6m） , k =1,2,，m,計算到m階矩 為止（m是總體分布中未知參數(shù)的個數(shù)）。（2）列方程G（國，*然）=E? =X4 f2（璃,咚戶m） =E（2） = X2Jm（,W,Sm）=E（fm）=Xm從方程中解出耳，嗎,，/，它們就是未知參數(shù)日1曾2，叫的矩

4、法估計。4)極大似然估計求極大似然估計的步驟為：(1)寫出似然函數(shù)L的表達(dá)式。n如果總體之是離散型隨機(jī)變量，概率分布為P = k,那么L =n P = xi；i 1n如果總體之是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為中(X),那么L=n中(xi)i 1(2)在內(nèi)，仇,，em的取值范圍O內(nèi)，求出使得似然函數(shù) L達(dá)到最大的參數(shù)估計值苗卷耳, 它們就是未知參數(shù)的極大似然估計。通常的做法是，先取對數(shù)ln L (因為當(dāng)ln L達(dá)到最大時，L也達(dá)到最大)。然后令ln L關(guān)于仇，仇，m的偏導(dǎo)數(shù)等于0,得到方程組；ln L：ln L由此可見，如果上面這個方程組在0內(nèi)有唯一解 耳,也,，吼，所以，按照極大似然估計的定義，囹

5、,照,，圖 就是未知參數(shù) 由包，出m的極大似然估計。5)衡量點(diǎn)估計好壞的標(biāo)準(zhǔn)定理 設(shè)總體 :的數(shù)學(xué)期望 E：和方差 DU都存在，(X1,X2，Xn)是:的樣本，X是樣本均值，S2是樣本方差，則有(1) EX=Et ；(2) DX = ;(3) E(S2) =1 D 。nn衡量點(diǎn)估計的好壞標(biāo)準(zhǔn)： 無偏性定義6.1 設(shè)夕是參數(shù)日的估計，如果有 E9=8 ，則稱?是日的無偏估計。(2)有效性定義6.2設(shè)叫，也都是參數(shù)9的無偏估計，如果有Da?)4D(%),則稱 呼比96(3)相合性(一致性)定義6.3設(shè)M是參數(shù)日的估計,n是樣本容量，如果任何 oQ,都有l(wèi)im Pn 8 =1 ，則稱9是8的相合估計

6、(一致估計)可以證明，矩法估計都是相合估計。除了極個別的例外，極大似然估計也都是相合估計。6)數(shù)理統(tǒng)計中幾個常用的分布2分布n定義 6.4 若有 Xi,X2,., Xn 相互獨(dú)立，Xi N(0,1), i =1,2，n,則稱 X X： i 1所服從的分布為 自由度是 n的Z2分布，記為Z2(n)。22分布的概率密度為1 n -1-Vx2中(x) = *22后) 2x 02分布的圖象見圖定理如果有，2(m),“2(n),相互獨(dú)立，則：+ 12 (m + n)。即分布具有可加性。t分布定義若有N(0,1),刈z2(n),相互獨(dú)立，則稱n所服從的分布為自由度是n的t分布，記為t(n)。2 n 1x2

7、+)。nt圖6-3F分布定義若有*(m),刈72(n),相互獨(dú)立，則稱所服從的分布為自分布的概率密度為(1乂展：(x) =2 -n 二：(n)由度是(m,n)的F分布，記為 F(m, n)。F分布的概率密度為(x)=m n()2m2nm -jx2m n(mx n) 2x0F分布概率密度的圖象見圖6-4 。圖6-4一，E-L，1L，、th理如果FF（m,n）,則必有一F（n,m）F大抽樣分布大抽樣分布的嚴(yán)格定義見定義6.4, 6.5, 6.6,構(gòu)造性定義可簡示如下:N 0,12n /ntn2(n yn F m, n其中同代表分布F對應(yīng)的隨機(jī)變量.7）正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布定理設(shè)（X1,X2，Xn）

8、是總體自N（也仃2）的樣本，X是樣本均值，則有一 2XN(口,一) nX -,即有vn N(0,1)。CT定理設(shè)（X1,X2，Xn）是總體 巴N（N,。2）的樣本，X是樣本均值,S2是樣本方差，則有（1）X與S2相互獨(dú)立；(2)nS22 a/2 (n -1)。定理設(shè)（X1,X2，Xn）是總體UN（凡仃2）的樣本，X是樣本均值,S*是修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差,X -則有XVnt(n -1)。S*定理設(shè)（Xi,X2，Xm）是總體 七N（邑152）的樣本，（丫1,丫2,，Yn ）是總體 刈N（N2，。；）的樣本，兩個樣本相互獨(dú)立，X , 丫 是n的樣本均值，則有（X 一丫尸嗎一匕）n（o,1）。22-1 ；.

9、二 2總體疑Ng?，。；）的樣本,定理設(shè)（Xi,X2，Xm）是總體1N（、q2）的樣本，（丫1,丫2,，Yn）是其中 仃i =仃2 ,兩個樣本相互獨(dú)立， X , 丫是巴 ,狗 的樣本均值，sx2, sy是n的樣本方差，則有Sw11一 +_m nt(m + n 2),其中，Sw =22mSx nSym n - 2101總體巴產(chǎn)為正態(tài)分布，（Xi，Xm）與（Y,.,Yn ）分別為其樣本時，幾個重要結(jié)論及關(guān)系:6.4自測題六一、判斷題（正確用“ +”，錯誤用“-”）1 .無論總體服從什么分布，只要總體的期望和方差存在，當(dāng)樣本容量很大時，樣本土值X都近似服從正態(tài)分布.（）2 .參數(shù)日的矩法估計一定是

10、日的無偏估計.（）3 .從一批零件中有放回地取 5個，結(jié)果發(fā)現(xiàn)前2個是次品，后3個為正品，則這批零件的次品率p的矩法估計值為 2.（）54 .設(shè)總體服從參數(shù)為 九普阿松分布，(Xi,X2,.,Xn )為取自總體的樣本，則參數(shù) 人的極 大似然估計是無偏的.()25 .設(shè) tNjN,。？)，則 1 | 服從 Z2 分布.()I仃J2X16 .設(shè)總體0 N (巴仃2 ),(X1, X2 )為取自總體的樣本，則 一1F(1,1).()IX2 - I27 .設(shè)(Xi,X2,.,Xn )為取自總體Z N (出仃)的樣本，X為樣本均值，S為樣本修正標(biāo)2 X _ 口 )準(zhǔn)差，則 n F (1,n )()1ks

11、i 、*28.設(shè)總體 N(N,。2 ),X和S分別為其樣本的均值與修正方差，則對任意常數(shù)*2口，？ = aX +(1 -a )S 都是N的無偏估計.()X?9 .設(shè)總彳之 N(0,1),X 為樣本(X1,X2,.,Xn)的均值，則 _ 1 2 F(1,1).()X、n10 .設(shè)總體服從參數(shù)為 九的指數(shù)分布，X為樣本均值，則 九的矩法估計和極大似然估計- 1者注=.()X二、選擇題1.設(shè)(X1,X2,.,Xn磔總體且的樣本，CN(N產(chǎn)2)淇中出仃2均未知，下列表達(dá)式中只 有()是統(tǒng)計量.1 n1 n(A)_ X X i -N(B) X X in i 1i- i 1(Xi-N)21 /(D) X、

12、- i 12 .設(shè)(X1,X2,.,Xn港取自總體 N(092 )的樣本，可以作為 。2的無偏估計的統(tǒng)計量是().1 ,n 01. n 2(A) -z Xi2(B)X Xin i 1n -1 y1 / 一(D) X Xin -1 i ,3.設(shè)總體t N(巴。2 ),(Xi,X2 )是其樣本，下列4個N的無偏估計中，最有效的是().(A)痔=0.2Xi+0.8X2(B) % = 0.4Xi+0.6X2(C) ?3 =0.7X1 0.3X2(D) ?4 =0.9X1 0.1X24.設(shè)隨機(jī)變量Xi和X2都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則().(A) X12 +X；服從？2分布(B) X12 - X2服從72分布

13、22222(C) *12/*2服從5分布(D) Xi2和X；都服從2分布5.設(shè)總彳 N(0,。2 ),(Xi,X2,X3,X4 )為0的樣本，則下式中服從t(2)分布的統(tǒng)計量是(A)XiX2,X32X42(B)(C)XiX22 X32X42(D)XiX22.X32X422 Xi X2.X32 X426.設(shè)隨機(jī)變量0 N(Ni,Qi2 )尸 N(N2,o22，且巴與“相互獨(dú)立，而(Xi,X2,.,Xm),104222、,1 i 1 仃1 仃2(B) X -Y N-2, + m n(D) X -Y(Y,Y2,.,Yn )分別為亡和狗的樣本，則有()(A) x -Y n -X 二i2 二2(C) X

14、 -丫 N7 .設(shè)(Xi,X2,X3,X4,X5 )為取自正態(tài)總體 N (0,4)的樣本，則服從 F (2,3)分布的統(tǒng)計量(A)222)3 X32X42X52(o3(”2f22)2 Xi2X22X322222 Xi X2 X33 X42X523 Xi2X222 X32 X42 X528 .設(shè)(XX.- Xm ) ,(丫,丫2,.，K )為分別取自相互獨(dú)立的正態(tài)總體 eN(，32)JN(Ni,%2M國, X,S2,S；和 Y,S2,S；2 分別為總體,”的樣本均值，樣本方差和修正樣本方差，則下列四個選項中不正確的是()22.(A) X,Y,Sx,Sy相互獨(dú)立c X -1-(B)*-mm -t(

15、m-1)Sx2cSx/ 二 12(C):12 F m -1,n -1Sy/ 二211+m n t (m +n - 2 )其中 Sw =mS nS：m n -29.設(shè)9(x )為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù), ().0vpv1.下述關(guān)于臨界值的四個選項，正確的是(A)Up +U_p =1(B)(D)1 Fjm,n Fp m,n10.設(shè)(X1,X2,.,X16 )為取自正態(tài)總體 N(t。2 )的樣本，X為樣本均值，若有16- 22P 二(Xi X )主a。2 3 = 0.95，則 0(等于()J m(A)0.95 16(B)0.95 15(C)0.05 15(D)0.05 16三、填空題1 .設(shè)總體之服

16、從參數(shù)為人的普阿松分布，把對總體進(jìn)行的n次觀測結(jié)果記為(X1,X2,.,Xn ),(X1,X2,.,Xn )可以稱為樣本必須滿足的兩個條件是 和 , 此時 (X1,X2,.,Xn)的聯(lián)合概率分布為1, PX A J 戶. n2 .設(shè)(X1,X2,.,X9 )為取自均勻分布 U (2, 4)的樣本，又為樣本均值，S2為樣本方差，則 max (X1,X2,.,X9 )的分布函數(shù)為 , EX = ；2DX =； ES2 =.3 .設(shè)總體t概率密度為八1巴x片0x 1為未知參數(shù)，(x1,x2,.,xn)是之的樣本，這時e的矩法估計為; 8的極大似然估計為 .4 .設(shè)總體之服從對數(shù)正態(tài)分布，概率密度為1

17、. 2cxexp中(x)=0x 0是未知參數(shù)，(Xi,X2,.,Xn )是之的樣本，這時 N的極大似然估計為;仃的極大似然估計為 5 .已知總體上的概率密度為f2ex 之0用(x)=0 x 時，才能使E|X -寸至0.17 .設(shè)總彳之 N 代尸 12 ) N2尸22 )，(X1，X2，.,Xm)是：的樣本，(丫%,.,工)一 .1 _m 1 _n是刈的樣本，兩組樣本相互獨(dú)立，X =一 Xi,Y = Yjd(X -Y k8 .設(shè)(Xi,X2,.,X6 )是來自總體巴的樣本，七N (0, 1),隨機(jī)變量222Y =(Xi +X2+X3 ) +(X4+X5 +X6 ),當(dāng)常數(shù)c=時，CY服從0分布,

18、其自由度是.9 .已知總體 N(0,ai2 ), (Xi,X2,X3 )為巴的樣本，則J2X一 |X2 -X3I10.設(shè)總體E服從正態(tài)分布N (0,4),(乂2., %亡的樣本，則丫 =22Xi ., X102 X2i . Xi042 x ： 4,3,i 8一，一；27273.n二：ln Xi i i；4.工q InXiRnX.JtE (In XInXj , n id1 n tiIn X 一一；2服從 分布，其自由度是6.5自測題六答案1. +；2. -;3. +;4. +;5. +;6. -;7. -;8. -;9. -;i0. +i. C;2. A;3. B;4. D;5. A;6. B;

19、7. D;8. D;9. B;i0. Cn . X三、1. Xi P(九)(i=i,2, ,n) , Xi,X2,.,Xn相互獨(dú)立口 e4,i(i + n*u)e人 y X !i29. t(i);3二；min Xi (i Ei 0是未知參數(shù)，（Xi,X2，Xn）是1的 樣本，求N,cr的矩法估計。解 先求總體分布的矩，得到EU = N , E仁2） = D0+（E巳）2 =1十丫 。再列方程一?ueF：uX(1)(A 二?2-?2 = E( 2) = X2(2)一 一一一一c _ c 1nc _cc從(1)得 B=X，代入(2)可得 由2 =X2 (X)2 =工 Xi2 X2 =S2 ,n y

20、開方后得 W = JS2 = S,由于ff 0，舍去不符合題意的負(fù)根， 最后得到 N和仃? = X CC C的矩法估計 。在推導(dǎo)中，我們順便也求得了仃2的矩法估計 W2=S2。W = S例2設(shè)總體之服從0,8上的均勻分布，概率密度為(x)0 x 0是未知參數(shù)，（X1,X2，Xn）是口的樣本，求 6的矩法估計。oqa解 先求總體分布的矩E t = Lx中（x） dx = x/日dx =日/2 。再列方程 2 = e2 = X 。解此方程，得到0的矩法估計 夕=2X 。例3設(shè)總體 U服從0-1分布，概率分布為P = k = pk（1 _ p）1* , k = 0, 1 , 0pc1是未知參數(shù)，(X

21、i,X2，Xn)是:的樣本，求p的極大似然估計。解先求似然函數(shù) nnnn xn-V xl =n P*=x=n pxi(1 - p)1i = pi- (1- p) i-, i 1i 1nn再取對數(shù)ln L =工 xi ln p + (n -Z xi) ln (1 - p),i 1i 1109求導(dǎo)，列方程d ln Ldpxi從方程中可解得=Zn pXi，它使ln L達(dá)到最大，所以 p的極大似然估計為1 n? = gXj=X 。n i 1例4設(shè)總體之N（也仃2） , N0 A 0是未知參數(shù)。（Xi,X2，Xn）是匕的樣本。求出仃的極大似然估計。 解先求似然函數(shù)-11 (Xi)訓(xùn)(xL)2 e玄、n

22、2 n（2 二） 二再取對數(shù)ln L = 一 n ln (2 二)-n ln2求導(dǎo)，列方程fln L；:ln L-22二21 n , 2-C xi -n)二0二 i 1(1)n 1 23(xi - ) = 0(2),.1 ,n _從(1)斛仔 =xi = xn i m，代入（2）可解得仃21 J ,-、22二一乙(xi - x) = s , n i m開萬后得仃= Y S =S ,由于仃A0 ,舍去不符合題意的負(fù)根，得到 仃=s。它們使ln L達(dá)到最大，所以,N和仃的極大似然估計為使L達(dá)到最大，所以，順便還可以推導(dǎo)出仃仃=s使L達(dá)到最大，也就是 仃2的極大似然估計為?2=s2。例5設(shè)總體服從0,日上的均勻分布,概率密度為中(X) =0x 0是未知參數(shù)，（X1,X2，Xn）是之的樣本，求 日的極大似然