華師大版第二十二章復(fù)習(xí)一元二次方程綜合復(fù)習(xí)

1、第二十二章復(fù)習(xí)一元二次方程綜合復(fù)習(xí)【本章知識(shí)框架】【本章重點(diǎn)】1一元二次方程的定義一元二次方程有三個(gè)特點(diǎn)：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是 2; （3）是整式方程.要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程， 先看它是否為整式方 程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理.如果能整理為 ax2 bx c 0（a工0）的形式，則這 個(gè)方程就為一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式0（a工0）叫做一元二次方程的一般形式，特別注意二次 即一元二次方程可以2x bx 0 （a 工 0）都我們把a(bǔ)x2 bx c項(xiàng)系數(shù)一定不為0, b、c可以為任意實(shí)數(shù)，包括可以為0，沒有一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng).ax2 0（a工0），ax

2、2 c 0（a工0）， 為一元二次方程.3. 元二次方程的解法一元二次方程的解法有四種：（1）直接開平方法；（2）因式分解法；（3）配方 法；（4）公式法.要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇方法，其中公式法是通法，可以解 任何一個(gè)一元二次方程.4. 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為b2 4ac . >0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.=0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. <0 方程沒有實(shí)數(shù)根.上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊.5. 元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2 bx c 0（a工0）的兩個(gè)根是Xi、x2，那么bcxi X2-，xi X2-aa .6. 解應(yīng)

3、用題的步驟分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù);(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程； 解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答.【解題思想】1. 轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)最常見的一種思想方法.運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想可將未知數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題.在本章中，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為求平方根問題， 將二次方程利 用因式分解轉(zhuǎn)化為一次方程等.2. 從特殊到一般的思想從特殊到一般是我們認(rèn)識(shí)世界的普遍規(guī)律，通過對(duì)特殊現(xiàn)象的研究得出一般 結(jié)論，如從用直接開平方法解特殊的問題到配方法到公式法，

4、 再如探索一元二次 方程根與系數(shù)的關(guān)系等.3. 分類討論的思想一元二次方程根的判別式體現(xiàn)了分類討論的思想.【經(jīng)典例題精講】1. 對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0.2. 解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法.3 .一元二次方程ax2 bx c 0(a工0)的根的判別式正反都成立.利用其可 以(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解 與根有關(guān)的證明題.4. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另 一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知

5、方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù) 系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程.【中考熱點(diǎn)】本章的應(yīng)用性較強(qiáng)，本章內(nèi)容一直是命題的熱點(diǎn)，填空題、選擇題有，解答 題也有，單獨(dú)出現(xiàn)或和其他內(nèi)容結(jié)合出現(xiàn).2.3.4.【歷屆中考題目】一、填空題1. （2003 吉林）方程X2 2x 3 0的解是X2 X1（2002 江蘇泰州）如果X1, X2是方程X2 4X 3 0的兩根，那么X1 x23 2 X（2002 杭州）已知2是關(guān)于X的方程2值為（2003 大連）某房屋開發(fā)公司經(jīng)過幾年的不懈努力，開發(fā)建設(shè)住宅面積2a 0的一個(gè)解，貝U 2a-1的由2000年4萬平方米，

6、到2002年的7萬平方米.設(shè)這兩年該房屋開發(fā)公司建設(shè)住宅面積的年平均增長(zhǎng)率為X，則可列方程為.25. （2003 四川）已知關(guān)于X的一元二次方程8X （m 1）x m 7 0有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是.6 . （2003 青島）九年義務(wù)教育三年制初級(jí)中學(xué)教科書代數(shù)第三冊(cè)第頁的例2是這樣的：“解方程X4525 0” .這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)242y，那么x y,于是原方程可變?yōu)?, y25 .當(dāng) y = 1 時(shí)，X21 X =±恵.所以原方程有四個(gè)根：X3 賦X4 罷（1）在由原方程得方程的過程中，利用 體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.2 2 2 解方程（X x） 4（x x） 1

7、2 0，若設(shè)y x6x2該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè) xy 6y 5 0，解這個(gè)方程得：y11;當(dāng) y = 5 時(shí)，X2 5 , xX11 X2X4法達(dá)到降次的目的,x，則原方程可化為2 27. （2003 泰安）已知實(shí)數(shù)X、y滿足x 4xy 4y的值為.8. （2003 泰安）如圖22- 1,是2002年8月北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，由4個(gè)全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為 .X 2y 6 0，則 X + 2y9. （2003 濟(jì)寧）關(guān)于X的二次方程X2 k2x 4k 3 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為X1、X2，如果（Xl 1）（

8、X2 D 1，那么 k=.、選擇題21. （2002 泰州）k為實(shí)數(shù)，則關(guān)于x的方程x 況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根2. （2002 杭州）用配方法將二次三項(xiàng)式A. （a 2）21C. （a 2）21(2k 1)x k 1 0的根的情B.a2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.無法確定4a 5變形的結(jié)果是（）B. （a 2）21D. （a 2）2 123. （2002 桂林）如果方程x 2x m 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么 m的 取值范圍是（）A. m<1B. m>1C. m<- 1D. m> 14 . （2003 重慶）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是B.2A

9、. x 2x 1 0C. x242x 105 . （2003 威海）對(duì)于一元二次方程x（）A .若c= 0，則方程必有一個(gè)根為0B .若c<0,則方程必有兩個(gè)正數(shù)根C.若c>0，bvO,則方程必有兩個(gè)正數(shù)根D.若b>c+ 1,則方程有一個(gè)根大于1, 一個(gè)根小于10D.bx c26 . （2003 青島）已知10, 2 1P的值為（）A. 2C. 1X2 242 23x2 4x 20，下面的結(jié)論錯(cuò)誤的是且aMp，貝U ap + a +B. 2D. 0三、解答題2x的方程（k 1）x等的實(shí)數(shù)根X1、x2 .（1）求k的取值范圍.（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)解：

10、（1）根據(jù)題意，得（2k3）24（k 1）（k 1）4k212k9 4k24=12k + 13>0，1. （2003 濰坊）已知關(guān)于(2k3）x k 1 0有兩個(gè)不相k 13 所以， 12 .k 13所以，當(dāng)12時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.存在.如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則2k 3 Cx1 x2 0k 1，k 2解得 2，檢驗(yàn)知：0的解.2k 3k 1k 3方程的兩實(shí)數(shù)根X1與X2互為相反數(shù).所以， 2時(shí)，當(dāng)你讀了上面的解答過程后，請(qǐng)判斷是否有錯(cuò)誤如果有，請(qǐng)指出錯(cuò)誤之處，并直接寫出正確的答案.2 22. (2003 菏澤)已知方程x(2m 1)x m 2 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等

11、于11,求m的值.ny 3. (2003 濱州)設(shè)(a，b)是一次函數(shù)y = (k 2)x +m與反比例函數(shù)x的圖象的交點(diǎn)，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程kx 2(k 3)x (k 3) 0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中k為非負(fù)數(shù)，m n為常數(shù).(1)求k的值；求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式.4. (2003 淄博)下面是一位同學(xué)做的一道練習(xí)題.已知關(guān)于x的方程X1 2 3 4 5 px解：將p、q 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為P、q,求P、q的值.px q 0，得00q分別代入P2q2P2pqx21212 ；?(1)請(qǐng)判斷該同學(xué)的解法是否存在問題，并說明理由;(2)這道題還可以怎樣解請(qǐng)寫出你的解法.參考答案

12、【歷屆中考題目】26 .換元法，y 4y 12 07. 3 或 28 . 4, 69. 31. A 2 . A 3 . A 4 . C 5 . C 6 . Bk 13正確答案為：當(dāng)12 ,1 . (1)中忽視k 1M0的情況，當(dāng)k 1 = 0時(shí)，方程為一元一次方程，只有 一個(gè)實(shí)數(shù)根.且kM 1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.k 3 中的實(shí)數(shù)k不存在，當(dāng)2時(shí)，判別式= 5<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.應(yīng)為：不存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)2.解：設(shè)方程的兩根為X1, X2，由韋達(dá)定理，得2X1 X 2(2m1), X1X 2 m2又x12X2(X1 X2)2 2x1X2(2m1)22(m2

13、2)11整理，得m2解之，得m1由二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，(2m1)24(m22) 4m 902m 33, m23 .解：(1) V關(guān)于9解之，得m 4 .故m= 3不合題意應(yīng)舍去.取m= 1,即m= 1為所求.X 的方程 kx22(k3)x (k 3)k 00有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,4(k3)2 4k (k 3)解得k<3,且k工0.又V次函數(shù)y = (k 2)x + m存在且二 k = 1. V k = 1,原方程可變形為X2 4x 2 0 .a+ b=4, ab= 2 .又當(dāng)k = 1時(shí)，一次函數(shù)y = x+m過點(diǎn)(a , b),- a+ b= mk為非負(fù)整數(shù),二 mT= 4.同理可得n= 2.2y 故所求的一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y= x + 4與y x .4.答：(1)該同學(xué)的解法存在問題.問題出在沒有把求出的解代入根的判別式