大夢(mèng)杯福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、2。2。2018年“大夢(mèng)杯”福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題考試時(shí)間2018年3月18日9 ： 00-11 ： 00滿分150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號(hào)為A, B, C, D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào) 里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1.若關(guān)于x的方程4爐+4氏一3w一1 二 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則/ + 4w2 +4?一2的值 為（）A. -3B. -2 C. -1D. 12 .如圖，ABCD、。瓦G都是正方形，邊長(zhǎng)分別為“、（?<）。坐標(biāo)原點(diǎn)。為AO的中點(diǎn)，A、D、石在y軸上。若二次函數(shù)y = ”小的圖像

2、過(guò)C、/兩點(diǎn)，則9 =3 .如圖，G為ZiABC的重心，點(diǎn)。在C3延長(zhǎng)線上，且= 過(guò)G的直線 2交AC于點(diǎn)E,則=（）AC 2c 33口 4A. B一C. D.一55774 .如圖，H、O分別為AABC的垂心、外心，ZBAC = 45°,若AABC外接圓的半徑為 2,則 A=（）A. 2y/3 B. 2&C. 4D.6+15 .滿足方程/_4個(gè)+ 19y2=151的整數(shù)對(duì)（x,y）有（A. 0對(duì) B. 2對(duì) C. 4對(duì) D6對(duì)二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6 .已知b , c為正整數(shù)，Q.a>b> co若+c, a+c ,是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的7.如圖，

3、A8CQ為矩形，七為對(duì)角線AC的中點(diǎn),（第8題圖）平方，貝卜/+。2的最小值為。CDB X（x>0）的圖像過(guò)。、E兩點(diǎn)，則矩形A8CQ的面積 為（第7題圖）8 .如圖，AABC是邊長(zhǎng)為8的正三角形，D為AB邊上一點(diǎn),001為ACO的內(nèi)切 圓，OQ為C06的邊。8上的旁切圓。若。«、（DO2的半徑都是r,則9 .若實(shí)數(shù)x滿足x + 2x + 3司= 2018,則4司=。其中國(guó)表示不超 過(guò)x的最大整數(shù)。10 .網(wǎng)絡(luò)爬蟲(chóng)是一種互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)頁(yè)抓取工具。其算法與數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支圖論有著密切 的聯(lián)系。圖論可以追溯到大數(shù)學(xué)家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”。圖論中討論的圖是由 一些節(jié)點(diǎn)和連接這些

4、節(jié)點(diǎn)的線組成的。請(qǐng)你回答下列問(wèn)題：把一個(gè)矩形區(qū)域劃分成個(gè)凸多邊形區(qū)域（這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒(méi)有公共部 分）。已知構(gòu)成這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)中，恰有6個(gè)頂點(diǎn)在矩形內(nèi)，12個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊界 上（含矩形的頂點(diǎn)）；同時(shí)，任何三個(gè)頂點(diǎn)不共線（除矩形邊界上的頂點(diǎn)共線外）。若圍成這個(gè)凸多邊形的線段中，恰有18條線段在矩形區(qū)域內(nèi)，則這個(gè)凸多邊形中四邊形個(gè)數(shù) 的最大值為 O三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11 .已知二次函數(shù)y = 2x、4么+ c的圖像交x軸于4為，0）、BN，。）兩點(diǎn)，且 七十上=學(xué)。若函數(shù)y = 2/-4Z;x + c在+ l«x< + 3上的最小值為一6

5、,求b , c的值。12 .如圖，在圓內(nèi)接四邊形A8CQ中，= ，/是8C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)角線 BD上,且滿足 NB4N = NC4/。求證：MN/AC o 、D13 .已知關(guān)于x的方程/_丘_攵+9999 = 0的兩根都是素?cái)?shù)，求攵的值。14 . 一個(gè)由36個(gè)單位小方格組成的6x6的方格表中的個(gè)小方格被染成了紅色，使得 任意兩個(gè)紅色小方格的中心之間的距離大于2,求的最大值。2018年“大夢(mèng)杯”福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)考試時(shí)間2018年3月18日9 ： 00-11 ： 00滿分150分一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分)。每道小題均給出了代號(hào)為A, B, C, D的四

6、個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào) 里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分)1 .若關(guān)于x的方程4/+41¥-3"-1 = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則/+4? +4?一2的值 為()A. -3 B. -2 C. -1 D. 1【答案】A【解答】依題意，A = 16m24-16(3m + l) = Oo 因此,w2+3/n + l=Oo： m2 = 3m1, nr + 3m = 1 onr + 4nr + 4m-2 = a(-3i -1) + 4/n2 + 4/i-2 = m2 + 3m - 2 = - 1-2 = -3。2 .如圖，ABCD、OEFG

7、都是正方形，邊長(zhǎng)分別為加、(帆 < )。坐標(biāo)原點(diǎn)。為AO的中點(diǎn)，4、D、( )A. >/3 + 1 B.【答案】B【解答】依題意,/ in、(-11 , 71 + ) o石在y軸上。若二次函數(shù)y = "小的圖像過(guò)尸兩點(diǎn),則巴=>/2 + 1 C. 2遂-1 D. 2壺-1點(diǎn)C坐標(biāo)為。，9,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為由二次函數(shù)y的圖像過(guò)C、F兩點(diǎn)，得(第2題m ，=a nr,消去。，得 n2 - 2nui-m2 = 0。m ,n + = a-n)，（-）2-2x-1 = 0,解得。= & + l （舍負(fù)根）。 m inin：.- = x/2 + l o in3.如圖'

8、;G為的重：心，點(diǎn)。在。延長(zhǎng)線上,且=過(guò)。、G的直線交AC于點(diǎn)E,則上=（）ACA. -B. -C. - D.-5577【答案】D【解答】如圖，連AG,并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)產(chǎn)。 G為AABC的重心，且8。=， 2AG ?工 F為BC中點(diǎn),且=二，DB = BF = FCo GF 1過(guò)點(diǎn)尸作EM 。石，交AC于點(diǎn)M。.CMCF1AEAG2則=一，=-oCECD3EMGF1設(shè)CM=A,則CE = 3k, EM =2k , AE = 4k <>." F AE 4k 4AC 7k 7另解：如圖，連AG,并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)尸。G 為 AABC 的重心，且 8。= 1, 2A（J 2/.

9、F 為 BC 中點(diǎn),且=二，DB = BF = FC. GF 1. FD 2 AG 2 = , = oDC 3 GF 在八4尸C中，利用梅涅勞斯定理，得FD CE AG DC EA GFDBC（第3題ADBFC（第3題答題ADBFC（第3題答題A PA2 CE 2=1 CE _ 33 EA T- ' E4 -4AE 4=oAC 7若八45。外接圓的半徑（第4題圖）4 .如圖，H、。分別為八48。的垂心、外心，ABAC = 45° 為 2,則 A”=（）A. 2x/3 B. 272 C. 4 D.6+ 1【答案】B【解答】如圖，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)。，連HC、 CD、DA.:

10、 。為AABC的外心， BD為OO直徑,DCA.BC, DAVAB.乂 ”為八46。的垂心，（第4題答題J AH±BC, CH ± AB ./. AH/DC， CH/DA。 四邊形AC£>為平行四邊形，AH = DC.N84C = 45。，ZXA8C外接圓的半徑為2, ZBDC = ZBAC = 45° f BD = 4° AH = DC = 2近。5 .滿足方程/一4個(gè)+ 19），2 = 151的整數(shù)對(duì)*,），）有（）A. 0對(duì) B. 2對(duì) C. 4對(duì) D. 6對(duì)【答案】C【解答】方程V-4-+ 193，2= 151 化為“-2

11、7;= 151-15）3。依題意，A = 151-15），2為完全平方數(shù)。故，y2 = 0 , 1, 4, 9。rtM = 151-15y2>0,得結(jié)合 y 為整數(shù)，得/«10當(dāng)），2=0時(shí)，A = 151-15y2 = 151 ,不是完全平方數(shù)。當(dāng)），2=1時(shí)，A = 151-15y2=136,不是完全平方數(shù)。當(dāng)）,2 =4時(shí)，A = 151-15y2=91,不是完全平方數(shù)。當(dāng)）,2=9 時(shí)，A = 151-15y2=16 = 42o方程化為!廠=9 ，即<(x 2y)2 =16i,或(x-6) = 16)，=-3(x + 6)2 = 16v = 3 ，或，、x-6 =

12、 -4V = -3，或.，或x + 6 = 4y = -3x + 6 = -4x = -10 .)'=一3x = 10 r ,或y = 3x = -2八,或 ),=一377 2 一 42A 滿足方程的整數(shù)對(duì)有(10,3)、(2,3)、(-2,-3)、(-10,-3),共4對(duì)。二、填空題(共5小題，每小題7分，共35分)6 .已知a, b , c,為正整數(shù)，且a>Z?>c。若b+c , a+c ,是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方，則/+。2的最小值為?！敬鸢浮?297【解答】依題意，設(shè)+ c = (-1)2,則4 + C = 。+ = ( + 1)2, 為正整數(shù)，且 /7 > 1

13、 o'2(a + b + c) = (/7-I)2 +n2 +(/? + 1)2 = 3/J + 2 ,可見(jiàn)為偶數(shù)，且a + b + c ="十 2772 +4/7 II2 +2,b =22可見(jiàn)，26,且當(dāng)增大時(shí)，/+/的值也隨之增大。 又 =6時(shí)，。=30, /? = 19 , c = 6符合要求。/.片 + 從 +。2 的最小值為 3。2 +19? + 6? = 1297 o47 .如圖，A8C。為矩形，七為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，A、8在x軸上。若函數(shù)y = x(x>0)的圖像過(guò)。、E兩點(diǎn)，則矩形A8CQ的面積為【答案】8【解答】設(shè)D(xd , %), E(x£

14、; , yE),則。=九=4。作于產(chǎn)，由E為AC中點(diǎn)，得廠為A8中點(diǎn),且防=_Lbc = 1a。o22' yD = 2yE oxEyE = xDyD = xD - 2yE ,得/=2/0二 OA = AF , AB = 2AF = 2OA = 2xD。(第7題圖)/.矩形 ABCD的面積S = ABxAD = 2xDyD = 8。（第7題答題8 .如圖，AABC是邊長(zhǎng)為8的正三角形，D為AB邊上一點(diǎn)、,001為八48的內(nèi)切 圓，。為CDB的邊08上的旁切圓。若。工的半徑都是r,則【答案】也【解答】如圖，設(shè)。切AC。的三邊AC、CD、0A依次 于點(diǎn)G、”、E,邊。8切。a于點(diǎn)/，CD、C

15、3的延長(zhǎng)線切 。）于點(diǎn) A/、N o則由。O1、0a的半徑都是r,八48。為正三角形，以及切 線長(zhǎng)性質(zhì)定理，得AG = AE = y/3r, CH =CG = 8-5, BF = BN = - rf（第8題圖）CM =CN = S + r o3EF = HM =CM-CH =(S + -r)-(S-y/3r) = -r. AB = AE + EF + FB = ® +手 r +（第8題答題9 .若實(shí)數(shù)x滿足x + 2x + 3司= 2018,則4x=。其中國(guó)表示不超 過(guò)戈的最大整數(shù)?！敬鸢浮?346【解答】設(shè)工=。+加，其中。為整數(shù)，04"?<1。則6+2x + 3x

16、 = a+zn+2（a+m） + 3（a+m） = 6a+2/n + 3m。,/ 當(dāng)0«?v，時(shí)，2/71+ 3/7? = 0+0 = 0;當(dāng)?«?<，時(shí)，2/h + 37m = O+1 = 1：12?當(dāng)< m < 時(shí)，2/7/ + 3/?: = 1 + 1 = 2;當(dāng)三 W 7Vl 時(shí)，2ni + 3? = 1 + 2 = 3。233對(duì)任意實(shí)數(shù) x, x + 2x + 3x的值具有形式：6k, 6k+1, 6k+2 , 6k+ 3 , k 為 整數(shù)。2018 = 6x336+2,小2小網(wǎng)=2018。1 2/. x = 336 + ？，其中一v 。2 34

17、司=4(336+附=4 x 336+4w = 1344+2 = 1346 o10 .網(wǎng)絡(luò)爬蟲(chóng)是一種互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)頁(yè)抓取工具。其算法與數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支圖論有著密切 的聯(lián)系。圖論可以追溯到大數(shù)學(xué)家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”。圖論中討論的圖是由 一些節(jié)點(diǎn)和連接這些節(jié)點(diǎn)的線組成的。請(qǐng)你回答下列問(wèn)題：把一個(gè)矩形區(qū)域劃分成個(gè)凸多邊形區(qū)域(這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒(méi)有公共部 分)。已知構(gòu)成這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)中，恰有6個(gè)頂點(diǎn)在矩形內(nèi)，12個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊界 上(含矩形的頂點(diǎn))；同時(shí)，任何三個(gè)頂點(diǎn)不共線(除矩形邊界上的頂點(diǎn)共線外)。若圍成 這個(gè)凸多邊形的線段中，恰有18條線段在矩形區(qū)域內(nèi)，則這個(gè)凸多邊形中四

18、邊形個(gè)數(shù) 的最大值為 o【答案】9【解答】設(shè)這個(gè)凸多邊形中，有人個(gè)三角形，勺個(gè)四邊形，勺個(gè)五邊形，著個(gè) 邊形。則這個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和為A:3x(3-2)xl80o + Ar4x(4-2)xl80o + x(5-2)xl80o + . + A:WIx(/H-2)xl80o <>另一方面，矩形內(nèi)部有6個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)于每個(gè)頂點(diǎn)，圍繞它的多邊形的內(nèi)角和為360。矩形邊界線段內(nèi)(不含矩形頂點(diǎn))有8個(gè)頂點(diǎn)，在每個(gè)頂點(diǎn)處，各多邊形在此匯合成一個(gè)平 角，其和為180。在矩形的每個(gè)頂點(diǎn)處，各多邊形在此匯合成一個(gè)直角，其和為90。因 此，這個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和為6 x 3600 + 8x1800 + 4 x

19、 90。.A:3x(3-2)xl80o + Ar4x(4-2)xl80o + Z:5x(5-2)xl80o + . + Arix(/H-2)xl80o= 6x360°+8xl80°+4x90°。勺+2/+3攵§+=22。再考慮這個(gè)凸多邊形的邊數(shù)。由于每個(gè)凸，邊形有?條邊，因此，這個(gè)凸多邊形的邊數(shù)和為3k3 + 4攵4 + 5% + + inkm。另一方面，由條件知，在矩形內(nèi)部的18條邊，每條邊都是兩個(gè)凸多邊形的公共邊，應(yīng) 計(jì)算2次。而在矩形邊界上的12個(gè)點(diǎn)，得到12條線段，它們都對(duì)應(yīng)某個(gè)凸多邊形的邊。因此，這個(gè)凸多邊形的邊數(shù)和為18x2+12 = 48&

20、#176;.* 3k3 + 4攵4 + 5勺 + +=48。 由、，消去攵3，得3+2%+ （?-3）心=9。/.治49。乂如圖所示的劃分符合要求，此時(shí)，&=4，3=9。3的最大值為9,即這個(gè)凸多邊形中，最多有9個(gè) 四邊形。三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11 .已知二次函數(shù)），=2/-4泣+。的圖像交x軸于A（$ ,0）、8（與，0）兩點(diǎn)，且 - + = o若函數(shù)y = 2/-4x + c在+ l<x< + 3上的最小值為-6,求b , c的值。Xj x2 5【解答】V函數(shù)y = 2d-4bx+c的圖像交X軸于4演，0）、8（.，0）兩點(diǎn),J 再，占是方程2x

21、24x + c = 0的兩個(gè)實(shí)根。乂一+=%+4=%，xx2X； +X2 _ & +）2 - 2內(nèi)工 _ （內(nèi) +X2）2玉 x2 xxx2xxx2x1x2 4b26t ?八zrx -2 = , 10Z?" =9c o Qj£5210分<? y = 2x2 -4bx + c = 2（x b）2 +c-2b2 , x = +1 時(shí)，y =-6 o 2 + c-2b2=-6 由、，解得c = 10, b = ±3 o在。+ l<x< + 3上的最小值為一6。15分20分b = ±3 , c = 10 o12.如圖，在圓內(nèi)接四邊形AB

22、C。中，/W = AQ,"是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)角線8。上，且滿足 N84V = NC4M。 求證：MN/AC o【解答】：AB = AD, :.ZADB = ZABD. ZACM = ZADB = ZABD = ZABN。 乂 ZG4M = ZBAN ,J AA8N s AACM o更=處。AC CM-5分 設(shè)AC、80相交于點(diǎn)E,ZBAE = ZCAB, ZABE = ZACB。（第12題圖）10分乂 M為BC邊中點(diǎn)、,CM = BM ，結(jié)合,組 AB BN BNAC- CM -（第12題答題結(jié)合，得BE AB BNCB AC BM15分BM _ BN/. MN/EC , B|J MN/AC . 20分13.已知關(guān)于x的方程V-辰-攵+9999 = 0的兩根都是素?cái)?shù)，求攵的值?！窘獯稹吭O(shè)方程V-h-攵+ 9999 =。的兩根分別為p、q ,則由韋達(dá)定理,p + q = kpq = -k + 9999pq + + 夕=9999 o/. (/? +1)(+ 1) = 10000 = 24-54 5 分顯然p，q都不等于2,因此，鄉(xiāng)都是奇數(shù)。.止1."1 = 2"51 10 分22若