高一函數(shù)的奇偶性知識要點、例題講解(數(shù)學(xué))

1、函數(shù)的奇偶性(一)、課題引入哥函數(shù)(1) f ( x)=x3 ( xe R) , (2) f ( x)=x2 ( xe R)的圖像特點、單調(diào)區(qū)間，并列下表函數(shù)f ( x)=x3f ( x)=x2定義域(8, +8 )關(guān)于原點對稱(8, +8)關(guān)于原點對稱函數(shù)值f ( -x)= f ( x)f ( -x)= f ( x)對稱性圖像關(guān)于原點對稱圖像關(guān)于y軸對稱單調(diào)性在原點兩側(cè)單調(diào)性相同在原點兩側(cè)單調(diào)性相反圖像1y7 JIyJ 1/Sd/SuA /1.Q 巧 X工巾 o工口X前者曰“奇函數(shù)”、后者曰“偶函數(shù)”.二、知識講解1 .奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f ( x)的定義域為 D,且D關(guān)于原點對

2、稱.(1)如果對于函數(shù) 叫做奇函數(shù).(2)如果對于函數(shù) 叫做偶函數(shù).定義還可以表達為:(1)如果對于函數(shù) 叫做奇函數(shù).(2)如果對于函數(shù) 就叫做偶函數(shù).(x)的定義域(x)的定義域(x)的定義域(x)的定義域D內(nèi)任意一個D內(nèi)任意一個D內(nèi)任意一個D內(nèi)任意一個第二種表述形式能比較方便地判斷函數(shù)的奇偶性,x,x,x,都有都有都有(x)= f ( x),那么函數(shù)(x)= f ( x),那么函數(shù)(x)+ f ( x)=0 ,那么函數(shù)x,都有f ( x) - f ( x)=0 ,那么函數(shù)如判斷函數(shù)y lg . x2種形式能使學(xué)生從方程的角度看待函數(shù)的奇偶性，例如，若函數(shù)是奇函數(shù)，且定義域為(x)就(x)就

3、(x)就f (x)1 x的奇偶性.這D則方程f(x)+f ( x)=0的解集為D;另一方面，若方程 f ( x)+f ( x)=0的解集D關(guān)于原點對稱，則函數(shù) y=f (x)在D上是奇函數(shù).對偶函數(shù)也可以得出類似的結(jié)論.2.奇函數(shù)和偶函數(shù)的圖像特征(1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，反過來，圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)，必是奇函數(shù).(2)偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y軸對稱，反過來，圖像關(guān)于 y軸對稱函數(shù)，必是偶函數(shù).3 .判斷函數(shù)的奇偶性對于函數(shù)f (x)先求其定義域 D;并判別D是否關(guān)于原點對稱，然后再驗證f ( x)二 ±f (x)(或f xf (x)±f (x)=0 ,或 1等)是否成

4、立，取后作出正確結(jié)論.f x4 .判斷函數(shù)的奇偶性也可以用下列性質(zhì)在公共定義域內(nèi)，(1)兩個奇函數(shù)的和為奇函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積為偶函數(shù).(2)兩個偶函數(shù)的和為偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積為偶函數(shù).(3) 一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù).一, 11 一， (4)函數(shù)f (x)與同奇或同偶.f x以上結(jié)論，可在講完出上一例：判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1) f (x)=x3； (2) f (x)=2x4+3x2；1(3) f xx3 x 3； (4) f (x)=x+1后，結(jié)合函數(shù)運算引出.直觀引入后，可讓學(xué)生在課后加以證明，這對學(xué)生加深對奇偶性的理解和用這一結(jié)論解題都是有幫助的.5.函數(shù)的奇偶性

5、與單調(diào)性相結(jié)合，有以下兩個結(jié)論：(1)奇函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性.(2)偶函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上有相反的單調(diào)性.三、例題分析1.判斷函數(shù)的奇偶性易犯的錯誤(1)因忽視定義域的特征致錯例 1. f xx-x； f (x)=x2+(x+1)0x 1錯解：f x x x 1 x, f (x)是奇函數(shù)x 1: f ( x)=( x)2+( x+1) °=x2+(x+1)°=f (x)1. f (x)是偶函數(shù).分析：一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是定義域關(guān)于原點對稱.正解：定義域(8, 1)U(1, +8)關(guān)于原點不對稱，f (x)是非奇非偶函數(shù).定義域(8,

6、 1)U(-1, +8),f (x)非奇非偶函數(shù).(2)因缺乏變形意識或方法致錯.11例2.判斷f x - 一的奇偶性.51 2錯解：: 5x1W0,xw°. f (x)的定義域為(8, 0)U(0, +oo),關(guān)于原點對稱.15x 1_ xx512152f (一x)wf (x), f ( x) w f (x), f (x)是非奇非偶函數(shù).分析：因演變過程不到位導(dǎo)致錯誤，所以要注意進行恒等變形.正解：f x15x 15x 12 5x 1,定義域為(00, 0) U (0 , +8)關(guān)于原點對稱.5 x 125 x 11 5x21 5x5x 12 5x 1f (x)是奇函數(shù).因忽視f

7、(x)=0致錯.例3.判斷函數(shù)f x 尿4 44 x2的奇偶性.,x 4 0錯解：由得*=±2, f (x)的定義域為2, 2,關(guān)于原點對稱.4 x2 0f x ,； x 2 4 %；4 x 2 Jx2 4 V4x？ f x , f (x)為偶函數(shù)正解：f (x)的定義域為 2, 2,此時，f (x)三0,f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).點評：函數(shù)f (x)=0 ( xw0)是f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的一個必要條件，任何一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間都可以作為解析式為f (x)=0 ( xw0)函數(shù)的定義域.注意：分段函數(shù)奇偶性的判定應(yīng)注意兩點：(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)

8、；(2)確定分段函數(shù)的奇偶性，要注意分類討論.2.函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用例4.已知f (x)是奇函數(shù)，且當 x>0時，f (x)=x| x 2| ,求f (x)<0時，f (x)的表達式.答：當 x<0時，f (x)=x|x+2|.例 5.已知 f (x)=x5+ax3+bx8,且 f (2)=10,則 f (2)=解：令 g (x)=f (x)+8=x5+ax3+bx,則 g (x)是奇函數(shù)， g (2)+g (2)=0 ,即 f ( -2)+8+f (2)+8=0 , f (2)= -f (2)16= 26.例6 .已知f (x)、g (x)的定義域均為 R, f (x)為奇

9、函數(shù)，g (x)為偶函數(shù)，且,1f x g x -，求f (x)的解析式.x x 1答：f xx2-x x 11例7.已知函數(shù)y=f (x)是奇函數(shù)，在(0, +8)上是減函數(shù)，且f (x)<0,判斷F x 在f x區(qū)間(一8, 0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論.答：F ( x)在(8, 0)是增函數(shù).例8.定義在(一1, 1)上的奇函數(shù)f (x)是減函數(shù)，且f (1 -a)+f (1 a2)<0,求實數(shù)a的取值 范圍.答：ae (0 , 1).點評：例8、9兩題是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合題.例9.已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，x>0時，f (x)= x2+2

10、x3.(1)求f (x)的解析式;(2)畫出y=f (x)的圖像;(3)求出f (x)的單調(diào)區(qū)間.x2 2x 3, x0,解：(1) f x0, x 02x 2x 3, x , 0(2) 畫圖略.(3)單調(diào)減區(qū)間為1,1,;單調(diào)增區(qū)間為1, 0 ,0, 1 .1 .已知f (x)是奇函數(shù)，且在2 .已知f (x)是偶函數(shù)，且在3 .函數(shù)f x1, x0,1, x是奇函數(shù)嗎?,0點評：本題是函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、圖像特征，畫圖等有關(guān)概念、性質(zhì)、方法的綜合運用的一 道函數(shù)綜合題.此題主要是考查學(xué)生綜合、靈活運用所學(xué)知識解題的能力.四、習(xí)題x=0處有定義，你能確定 f (0)的值嗎?x=0處有定義，你

11、能確定 f (0)的值嗎?答 案 1 . f (0)=0 2 . f (0)不定 3.否五、引伸和提高定義域關(guān)于原點對稱的任意一個函數(shù)f (x)都可以表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和.即 f1 .(x)= 一(F (x)+G (x)其中 F (x)= f (x)+f ( x), G (x)=f (x) -f ( -x)2(1)利用這一結(jié)論可以很簡捷地解決一些問題；(2)在教學(xué)中，可根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)情況，適時引入.(3)可以讓學(xué)生自己證明，增強學(xué)生對抽象問題證明的能力，加深學(xué)生對奇、偶函數(shù)與一般函數(shù)關(guān)系的理解，使學(xué)生對構(gòu)造法增加一次感性認識.六、思考題611 .設(shè)，f (x)= kx+4, (kC

12、 R)當 x=2+J3 時，f (x)=0,求 f 的值x3 2“1答：f 一24 20v 3 .3 22.已知函數(shù)y=f(x)滿足 f(x+y)+f(x y)=2f(x)f(y) (xCR,y C R),且 f (0) w0,那么f (x)是 函數(shù)(填奇、偶).答：偶函數(shù)函數(shù)的奇偶性(二)般地，對于函數(shù) f (x),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x,都有f ( x) f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。1 1再注意觀察g(x)的圖象，顯然 g(x)不是偶函數(shù)，那么它隨自變量的改變函數(shù)值間存 xx在怎樣的變化規(guī)律呢？引入課件，加深印象。引導(dǎo)學(xué)生利用類比的方法得出結(jié)論，并試述概念。(由教師板書

13、概念)一般地，對于函數(shù) f(x),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x,都有f ( x) f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。圖象具有這種特點的函數(shù)是奇(或偶)函數(shù)，函數(shù)圖象的這種對稱性就是函數(shù)的奇偶性。前面我們得出了函數(shù)奇偶性的定義，那么通常為了正確理解和應(yīng)用定義，就需要我們首先能夠 找到并把握定義中的關(guān)鍵詞語，下面我們一起找找定義中的關(guān)鍵詞：定義域內(nèi)、任意都、f( x) f (x)及 f ( x) f (x)。分析： 定義域內(nèi)：奇偶性是整個定義域上的性質(zhì)，而不僅僅是某個區(qū)間上的 性質(zhì)，與單調(diào)性區(qū)分開； 任意都：說明具有普遍性，是對所有的自變量都成立，而不是個別 的； f( x) f (x)及

14、 f ( x)f (x):首先是函數(shù)值必須滿足的關(guān)系即必要(2) f(x) x2 1條件，那么是不是充分條件呢? 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性 f(x) x 1 8x3 f(x) x2 1 x (,4(4) f(x)(5) f (x) x 1解：(1) f (x) x 1 8x3f( x) ( x) 1 8( x)3x 1 8x3(x 1 8x3)f(x)即：f ( x) f(x) f (x) x 1 8x3為奇函數(shù)(3) f( 5) 52 1 24而f (5)無意義f ( x) "刈且£( x)即：f(x) x2 1 x ( 既不是奇函數(shù)也不是偶2(2) f(x) x2 12

15、f( x) ( x)2 1x2 1f(x)即：f( x) f (x)f (x) x 1 8x3為偶函數(shù)(4)為使函數(shù)有意義，則x 2 0f (x) 即x 2,4f(2)有意義f( 2)無意義函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(5)雖然f(x) x 1的定義域為R 但不滿足f ( x) f (x)及 f ( x) f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)繼續(xù)前面提出的問題，按函數(shù)法則有意義，結(jié)合“任意都”要求定義域必須關(guān)于原點對稱(即滿足f( x) f(x)及f(x)f(x)時定義域一定關(guān)于原點對稱；若定義域不關(guān)于原點對稱，則必?zé)o f ( x) f(x)及f(x) f(x),即f( x) f (x)是

16、函數(shù)具有奇偶性的充要條件。小結(jié)：判斷函數(shù)奇偶性的步驟：判斷定義域是否關(guān)于原點對稱；比較f ( x)與f(x)的關(guān)系。練習(xí) 當a為何值時，函數(shù)f(x) x2 x ( 5,a)為偶函數(shù)； x b 當b為何值時，函數(shù) f (x) -x為奇函數(shù)。 x 2通過練習(xí)強化：函數(shù)奇偶性定義中定義域的作用；明確：f( x) f(x)及f( x) f(x)的變形 f ( x) f(x) 0 ( f( x) f (x) 0) 為加強學(xué)生對定義的理解和應(yīng)用，給出思考題。思考題：判斷是否存在函數(shù) f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。分析引導(dǎo)學(xué)生：若函數(shù)是奇函數(shù)，則 f( x) f(x);若函數(shù)是偶函數(shù)，則f( x) f(x)

17、；所以可得：f (x) f(x) f(x) 0進一步提問：解析式為f (x) 0的函數(shù)一定既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)嗎？f (x) 1又是個什么函數(shù)？例2 若 f (x) ax4 bx2 2 ,且 f (c) 5,求 f( c)的值； 若 f(x) ax3 bx 2 ,且 f(c) 5,求 f( c)的值；分析： 能夠看出函數(shù)為偶函數(shù)，所以 f( c) 5; 能夠看出函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，但仍然可以用f(c) f( c) 4,得出 f( c) 1接著引導(dǎo)學(xué)生尋找其中的規(guī)律?？偨Y(jié)：1、函數(shù)奇偶性的定義；利用定義判斷奇偶性要把握：定義域關(guān)于原點對稱； f ( x) f(x)或 f (x)2、函數(shù)

18、奇偶性揭示：自變量符號的改變與函數(shù)值符號的關(guān)系。函數(shù)的奇偶性(三)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，利用函數(shù)奇偶性解題， 能加深對函數(shù)知識的理解和掌握,卜面談?wù)労瘮?shù)奇偶性在解題中的應(yīng)用。一、求函數(shù)值例1.已知以RZ + +必-區(qū),且八-2)=10/(23解；諛式用=一 +金/ +方心則/幻=gR，式-2) =fd +8 = 10+8 = 18v式句是奇函數(shù)，目=-2) -18二丁自-8- 78-8 -26這是利用函數(shù)的奇偶求值的一種典型題目。二、求函數(shù)表達式：例紀知v=汽幻是奇函數(shù)且當，> 麗,，=-9+當求當丈 < 耐,的表達式。解二:/(工)是奇函數(shù).f(-x)=-3 / 當工

19、 > 004 >- X < O、f(H)=-X2 +H，(-工)二-7出二-(-1 + X)= 1 -彳即-步=(-工十 + (-H) 故當工丈0時，f) = x2 +x例3:已知f(x+1)是偶函數(shù)，且當 x< 1時，f(x)=x 2+x,求x>1時，f(x)的表達式。分析：設(shè)F(x)=f(x+1),由F(x)是偶函數(shù)，得f(1+x)=f(1-x),從而f(x)圖象關(guān)于直線x=1對 稱。下面利用對稱性，作出 x>1時f(x)的圖象，就可得到f(x)的表達式。解：設(shè) F(x)=f(x+1)，= F(x)是偶函數(shù), . F(-x)=F(x),即 f(1-x尸f

20、(1+x), .y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1對稱，又 x< 1 時，f(x)=x 2+x=(x+ £)2- 4因此，作圖，由圖可知在 x>1時，5 2f(x)=(x-2)2-4 =x2-5x+6。三、判斷函數(shù)的奇偶性例3一沒5)為奇函數(shù)，自住)為偶函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，判斷與工)"丁,烈幻的奇偶性。為膏函數(shù),以工)為偶函數(shù) /(-x)=-/3名(-工)=g(x)rF(x)= JX-Gg(F = 一/8 g() = ”3閉式處為奇函數(shù)11例4:如果a>0, a W1,且G(x)是奇函數(shù)，試判定 F(x)=G(x)(1 T +金)的奇偶性。解法1: G

21、(x)是奇函數(shù)，則有 G(-x)=-G(x)。 1 a" 1 5 1F(-x)=G(-x)( -1+二尸-G(x)( < + 二)=-G(x)(- +1-2)T 11=-G(x)(- - )=G(x)(+- )=F(x)。F(x)是偶函數(shù)。1_ £ £解法 2: . F(-x)+F(x)=G(-x)( 國f -1 +彳)+G(x)(由* T +二)=-G(x)( 1 - +- )+G(x)( - +-)1=G(x) (- +二”)i* I /算 I =G(x) (口 T +總 T )=G(x)( -2- +1)2_=2 - G(x)(。- +- )=2F(x

22、),F(-x)=F(x),故 F(x)是偶函數(shù)。函數(shù)奇偶性滿足：奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)X奇函數(shù)=偶函數(shù),偶函數(shù)X偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)X偶函數(shù)=奇函數(shù)。四、利用單調(diào)性和增減性比較大小例5已知偶函蟒(工跑15上單調(diào)遞減，試比額的大小。解”了(工港15上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，廣在f 7上單調(diào)遞增v -L -町-5在勺，-1內(nèi)/(-I) > /(-) > /(-5)五、利用單調(diào)性和增減性求范圍例6、定義在(-1 , 1)上的奇函數(shù)f(x)是減函數(shù)，且f(1-a)+f(1-a 2)<0 ,求a的取值范圍。解：f(x)的定義域為(-1,1),J- 1 < 1 - iS < 1/0腐 2,又因為 f(x)為奇函數(shù)，由 f(1-a)+f(1-a2)<0 = f(1-a)<-f(1-a2)=f-(1-a 2)。而 f(x)單調(diào)遞減，1-a>-(1-a 2)|=-2<a<1, 綜合起來，0<a<1。反函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用舉例我們知道，函數(shù)y=f(x)若存在反函數(shù)，則y=f(x)與它的反函數(shù)y=f-1(x)有如