開放與探索水平測試

1、數(shù)學(xué)試卷開放與探索水平測試一.選擇題：本大題共12小題，每小題有 一項是符合題目要求的。5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只1已知函數(shù)y二tan(2x 的圖象過點(徨化B.C.2.3.12(理)滿足條件|z i|=|3 + 4i|的復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對應(yīng)點的軌跡是 A一條直線B.兩條直線C圓D .(文)已知直線x=k(k0)和圓(X 1尸+渾4相%，辦g么k的值是 A. 5B 4設(shè)m、n是兩條不同的査技，-二，6612D.是三個不同的平面，給出下列四個命題：,m丄，貝 um士/ -若m丄一：，n： i,貝umn 若：/二/若m/廠n / ，貝vm / n其中正確1翳區(qū)號(量(，則 A 和

2、B .和C .和D .和如圖，在正方體ABCD AiBiCiDi中，P是側(cè)面BBiCiC內(nèi) 一4.動點，若P到直線軌跡所在的曲線是(A 直線BC與直線CiDi的距離相等則動點P的6.7.C.函數(shù)A.已知A.雙曲線f(x)=x2.a(B -圓D .拋物線2ax 3在區(qū)間1, 2上存在反函數(shù)的充分必要條件是,1B. a 2,： : )C. a1,2D. a (- :：)a、b、c滿足cbac從長度分別為A .10函數(shù)f(X)C22B. c(b a)0 C. cb 02, 3, 4, 5的五條線段中，任取三條線段為邊可組成鈍角的概率為X,X P-x,xf(P)二y|y = f(x),x Pd10，其

3、中P、M為實數(shù)集R的兩個非空子集，又規(guī)定M,f(M)二y|y = f(X), xM，給出下列四個判斷:若 P M =側(cè) f ( P I f (M )二一若 P M-，則 f(P 廠 f(M)-若 PM = R，則 f (P) 一 f ( M ) = R 若 P - M其中正確判斷有A . 1個9.若函數(shù)y=f(x)的圖象可由函數(shù)y=lg(x+1)的圖象繞坐標(biāo)原點XXXA . 10-1B . 10-1C . 1-100逆時針旋轉(zhuǎn)90得到，則f(x)=(XD . 1-10n +110.已知數(shù)列an的通項公式an =log2 (n N*)，設(shè)其前n項和Sn，則使Sn- n +2成立的自然數(shù)n31A

4、.有最小值63 B .有最大值63 C.有最小值31 D.有最大值111 .若不等式xlogaX二0在X： =(0,內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是A .丄 W a116B丄a11612 .有兩排座位，前排C.0aw1611個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2D.0a |Xi-x2對任意a A及t 1,1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在, 請說明理由.m，使得不等式19.（本小題滿分12分）已知常數(shù)a0，向量c= （0 , a） , i= （1 , 0），經(jīng)過原點0以c+入i為 方向向量的直線與經(jīng)過定點 A （0, a）以i 2人c為方向向量的直線相交于點P,其中入 R試問：是否存在兩個定點E、

5、F,使得IPEHPF為定值若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.20.件現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于（本小題滿分吃分）給定有限個正數(shù)滿足條 T：每個數(shù)都不大于50且總和L二1275。150且分組的步驟是：150與這組數(shù)之和的差n與所有首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得 可能的其他選擇相比是最小的，1稱為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時的余差 為2如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為心）、第四組（余差為A）、，直至第N組（余差為N ）把 這些數(shù)全部分完為止。判斷1,2,，N的大小矣系，并指出除第N組外的每組至少含

6、有幾個數(shù)當(dāng)構(gòu)成第n （n 3N）是二次曲線 C 上 的點，且 ai=|OPi| a2=|OP2|-,an=標(biāo)原 點.記 Sn=ai+a2+an22若C的方程為一-=1.n=3 P （3,0）及83=255,點P3的坐標(biāo)；（只需寫出一個）1002522若C的方程為篤-2=1（ab0）.點Pi （a,0）,對于給定的自然數(shù)當(dāng)公差d變化時，求abSn的最小值；3）請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點Pi,對于給定的自然數(shù)寫出符合條件的點Pi,P2,Pn存在的充要條件，并說明理由.（本小題滿分13分）給出兩塊相同（如圖1，圖2），要求用其中一塊使它們的全面積都與原三角形1、圖2中，并作簡要說明；

7、22.的正三角形紙片剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3 ），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡要說明.幵放與探索水平測試參考答案選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算。每小題5分，滿分60分。1. A2. C3 .A4. D5. D6. C7. B8 . B9 . A 10 . A 11. C 12 . B二. 填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算。每小

8、題4分，滿分16分。13 .14 15 用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì).55116 . 3當(dāng)n為偶數(shù)時，Snn；當(dāng)n為奇數(shù)時，Snn.-222三. 解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17 田!J夂占土吿-唸2客口汁甘土1；7?左4寺不蒂目而咅，木叔M空空內(nèi)砒I岸旦一ZKY4-Z 亦飾，旦不冷力:丙 樣的直線其實質(zhì)就是(X, y)與(X -. 3y,3x - y)兩點是否均在同一直線上從而轉(zhuǎn)換為討論方程組的解的問題。i羊纟田解答：假設(shè)存在這樣的直線，平行于坐標(biāo)軸的直線顯然不符合條件，故可設(shè)所求直線方程為y二kx+ b(kO)該直線上任何一點(X, y)經(jīng)過

9、變換后得到點(X - 3y, . 3x - y)仍舊在該直線上。3Xy二k( X ,3 y) + b，也就是_(j3k +1 )y =(k _V3)x +b，b 式 0 時，方程組”盼円無解，故不存在這樣的/3 = k直線。當(dāng)b=0時由-解得心二?或k= -, 3 所以滿足條件的所有直線 3、 0 對 x 1, 1恒成立，即 x? ax 2w 0 對 x 1, 1恒成立. 設(shè)：(x)=x2 ax2,22?X 2)2方法:二一口二|P(_1)=1+a_201, 1, f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只 一 1 W a W 1.對 x - 有當(dāng)-A= aa=1 時、(一1)=0 以及當(dāng) a= 1 時，f (

10、1)=0a c00方法二：=2或r(-1) =1 a-2 -0()=1 -a-2 0Ow aw 1 或一1 W a0二一 Ka0- X1, X2是方程x2 ax 2=0的兩實 根，xi X2 = aXjX2 -2從而 |XL X2|=.(八 X2)24X2 =38 .1 w aw 1 IX1-X2F a 8 w 3.要使不等式m2+tm+仆|Xi- X2|對任意a A及堆-1, 1恒成 立，當(dāng)且僅當(dāng)mMm-Fl 3對任意t -1,1恒成立，即mMm 20對任意t 1, 1恒成立.22設(shè) g(t)=m +tm 2=mt+(m 2),g(1) = m -2_02m2 或 mW 2.|g(-1) =

11、 m -m -2 _ 0所以，存在實數(shù)m,使不等式m Mm+1 |Xi x?|對任意a A及t 1, 1恒成立，其 取值范圍是m|m2,或mW 2.方法二：當(dāng)m=0時，顯然不成立；方法一：當(dāng)mA 0時,m cO2罰血所以，淘斂 knfe眄哭弼+tm+1 |X1 x?|對任意a A及t -1, 1恒成立，其 取值范圍是m|m2,或mW 2.19.解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.m =0二-i=(1 ,0), c=(0, a), cE(,a),i 2-(1,-2ba).因此*直線OP和AP的方程分別為 y=ax和y a= 2

12、ax .消去參數(shù)，得點P(x, y)的坐標(biāo)滿足方程y (y- a)= 2a咚,因為a0 ，所以得:當(dāng).僉時，方程是圓方程.故不存在合乎題意的定點E和F；當(dāng)0a上引寸，方程表示橢圓，焦點 E(O(a+ja?丄)和F(0,丄(aJaJ丄)1503個數(shù)502 2 r 2 2 + 2為合乎題意的兩個定點.20 .解：ri空2二_ m。除第N組外的每組至少含有當(dāng)?shù)趎組形成后，因為n : : N，所以還有數(shù)沒分完，這時余下的每個數(shù)必大于余差rn,余下數(shù)之和也大于第n組的余差rn，即L-(150-G (150- 2廠由此可得A D亠亠4150n - L150nL因為(n - 1)rnj -口2 In，所以J

13、n 1用反證法證明結(jié)論，假設(shè)N 11 即第門組形成后，還有數(shù)沒分完由(1)和(II)可知，余下的每個數(shù)都大于第11組的余差m，且q_rio故余下的每個數(shù)化10150 汶 11127537.510因為第11組數(shù)中至少含有3個數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于375 3 = 1125此時第11組的余差 =150 -第11組數(shù)之和：150112.5 = 375這與C)式中rn 37.5矛盾，所以N乞1123321. (1)ai=OR =100,由 S3=(a 計 a3)=255,得 33=0P =70. 222X3 v3 1由10025得2X2 yzXf = 6010點P3的坐標(biāo)可以為(215,、10).2

14、2(2)【解法一】原點O到二次曲線C:務(wù)* %二1 (ab0)各點的最小距離為 a bb,最大距離為a./ ai= OR dvO,且 an= OPn JaJg 1)d22W d 3小0f)上遞增,2 n(n-Sn=na +2八221)b ad在n故Sn的最小值為22n(酋 b)2【解法二】對每個自然數(shù)k(2 kw n),-2 2Xk yk由22由準(zhǔn)+仏三嚴(yán)(k-1)cl解得yk =2b (k-1)d2|?2P h/ 0y k wb,.2 2b - a得k-1w d0w d0 .-原點0到雙曲線C上各點的距離h |a|,+ 8且IOPil=a,(3)【解法一】若雙曲線點Pl. P2,-Pn存在當(dāng)

15、且僅當(dāng)0Pn2 OR 3即d0.【解法二】若拋物線C:yJ2x,點円(0,0),則對于給定的點Pl, P2,-Pn存在的充要條件是d0解法三若22圓C:(x a)+y =a(a 10 卩 i(0,0),理由同上則對于給定的n,點Pl, P2,Pn存在的充要條件是OvdwnT原點0到圓C上各點的最小距離為0,最大距離為2|a|,且 |OPi|=0, d0 且 |0Pn|2=(n 1)d a 即 Ovdw 力 w4n T22 解：如圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐.如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角余下部分按虛線折起，可成為一個缺上底的正三棱柱，4而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱柱的上底.依上面剪拼的方法，有V柱Vn.推理如下：設(shè)給出正三角形紙片