矩陣可對角化的條件

1、精選范本，供參考!第二節(jié)矩陣可對角化的條件可對角化。證明：必要性 如果可對角化，則存在可逆矩陣 2 2，使得rxAP =“ . 將丄按列分塊得，從而有AP=AX2t-3 An因此有 二一入：-，所以：是的屬于特征值 V 的特征向量，又由可逆,知亠-二線性無關(guān)，故有 個線性無關(guān)的特征向量。定義 1 1 如果矩陣能與對角矩陣相似，則稱可對角化。1 -112303 0。從而定理 1 1 階矩陣有、個線性無關(guān)的特征向量。精選范本，供參考!充分性 設(shè)一是的個線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值依次為，則有 二 I I 一八一：一一。令丄-. ，則一是一個可逆矩陣且有：入 腫 N 孔兀.鼻十岡兀十凡幻=孔

2、盡廠兀%AP = P入rlAP-x因此有 ，即 ，也就是矩陣4可對角化。,于是有盤十曲仏尙也,從而羈咽爲(wèi)滬胡/）。可見,對角矩陣的元素就是矩陣 的特征值，可逆矩陣 丄就是由的線性無關(guān)的特征向量所構(gòu)成 的，并且特征向量的順序依賴于對角矩陣。定理 2 2 矩陣 的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。入AP = PA，則 d鞏兀X”，兀人r ，即證明:的匸個互不相同的特征值,負(fù)：是的屬于特征值 V 的特征，對廠按列分塊得精選范本，供參考!向量，現(xiàn)對匸作數(shù)學(xué)歸納法證明丄；線性無關(guān)。精選范本，供參考!當(dāng)：一 1 1 時，由于特征向量不為零，因此定理成立。假設(shè)的m-（ 22） 個互不相同的特征值對應(yīng)的個

3、特征向量是線性無關(guān)的。設(shè)成立。則有 +鎬 1 + AAAA） %也+&協(xié)+十認(rèn) X XJ J 0 0 ，又將（1 1） 式兩邊同乘 無得:心知？也+MJ+MJ 二仏/廿乩冷+認(rèn)托=0=0 從而有 血 （石認(rèn)） *1*1 吃 a a認(rèn)） x *認(rèn)） 輝 1=o ,由歸納假設(shè)得 64%64%） 弋仏戸盅幾 1 1 認(rèn)） ， 再由.1 1 兩兩互不相同可得1 1 一一_一1 1 一 1 1 將其代入（1 1）式得 .-，因此有:1- - ，從而 七-甘一 線性無關(guān)。推論 1 1 若階矩陣有 1 1 個互不相同的特征值，則可對角化，且E E o3 3 設(shè) 是：階矩陣的個互異特征值，對應(yīng)于 1

4、1 的線性無關(guān)的特征向量為 丄二一： 一一“二，則由所有這些特征向量（ 共專:構(gòu)成的向量組 ! K.是線性無關(guān)的。_1_1- -:;|:;|，則有J J1 1且或二是的屬于特征值 “勺特征向 量。若存在某個 丄亠-1 1 - -，則由屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)知 是的匸個互不相同的特征值,是的屬于特征值的特征向量。又設(shè)定理-個）證明:設(shè)-記二打1，二-+ + + =0=0精選范本，供參考!- - j jLL J J，矛盾。因此有 I I-,-,； 二又由已知得際二褊心 7 廠 1212朋，因此向量組右血血，血”注汕鼻線性無關(guān)。定理 4 4 設(shè) V 是、階矩陣的一個：重特征值，對應(yīng)于的特征

5、向量線性無關(guān)的最大個 數(shù)為一，則 ；_ 一， 即齊次線性方程組Wr=o的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)不超過特征值匚的重數(shù)。證明：用反證法。由于 丄是丄 的屬于特征值人的特征向量當(dāng)且僅當(dāng)X是齊次線性方 程組 （心”0 0的非零解，因此對應(yīng)于二的特征向量線性無關(guān)的最大個數(shù)與齊次線性方程組Wr=o的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)相等。設(shè)是齊次線性方程組J 二一一的一個基礎(chǔ)解系，且假設(shè) i i / / 4.4., ,則有二：一二丄_-1?，F(xiàn)丄 ilil一未必是的特征向量，但有二 二_-是一個、維向量，從而可由向量組一 匸；線性表示，即: 血無1+砌+務(wù)無?礙+斑兀*產(chǎn)十理戲無?。╳=r+l/初 因而有：蟲.易，血-將亠

6、一一擴(kuò)充為一個卜維線性無關(guān)向量組八一一丄；,其中AX.%+1a2t+l為+i+12+1精選范本，供參考!其中有一個。令 鬥兀，耳為肉，并將式右端矩陣分塊表示，則有p-AP =源人4J4J ,由相似 矩陣有相同的特征多項式，得 乂的特征多項式為：匚是：重特征值矛盾。所以 。定理 5 5 階矩陣可對角化的充分必要條件是：的每個特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的最大個數(shù)等于該特征值的重數(shù)（即的每個特征值上對應(yīng)的齊次線性方程組壯 二上一的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于該特征值的重數(shù)，也即的每個特征子空間!的維數(shù)等于該特征值.:的重數(shù)）。充分性由于對應(yīng)于 V 的特征向量有個線性無關(guān)，又；：個特征值互異，因此 有個

7、線性無關(guān)的特征向量，故可對角化。必要性（反證法）設(shè)有一個特征值 V 所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù):-:的重數(shù)，則的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)小于，故不能與對角矩陣相似。其中-二是二的；-次多項式。從而|至少是的 / k）重特征值，與證明:，其中兩兩不同，且有M1i-l精選范本，供參考!r-i oA=12例 2 2 設(shè) 3 3-，求的特征值和特征向量，并判斷是否可對角化?精選范本，供參考!當(dāng)二一 1 1 時，由一一一即:得基礎(chǔ)解系為,從而的屬于特征值一亠的特征向量為（X X 為任意 非零常數(shù)）。當(dāng).1.1： -1-1 時，由即: 2 0 -2* 0-1 -1 1=Q-1-311 0得基礎(chǔ)解系

8、為，從而的屬于特征值 人珂=1=1的特征向量為：-一（亠為 任意非零常數(shù)）。由于的特征值】對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)小于特征值的重數(shù)，故不可對角化。-10 03 0 1 1，判斷蟲能否對角化？若能對角化，求可逆矩陣 使得 F F匚為對角陣。解： 由 特征值）。1+0- 2-11-21-1-3X得的特征值為（二重A=1例3 3巳知L L3 3精選范本，供參考!= (2 + 2)U-l)a得的特征值為 ._丄二一 r一 -當(dāng)一 時，由丄-即:得基礎(chǔ)解系為 拓十 5 5 丄并，從而的屬于特征值一 -的特征向量為十 h h(X(X 為任意非零常數(shù))。當(dāng).1.1： -1-1 時，由即:

9、5 10 0 0-1 -2 0=Cl-3 -6 0 0得基礎(chǔ)解系為，從而的屬于特征值的特征向量為 i i(:(:一上一為任意不全為零的常數(shù))。由于的每個特征值對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于特征值的重數(shù),解：由 重特征值)。2 + 4100-12-30-362 -1-5 -2 O-2 P = XltX2 =1 1 0PlAP =1301 ，則1例 4 4 設(shè)是一階矩陣,，判斷是否可對角化。解：設(shè)/的特征方程網(wǎng) 2 2 -蟲卜。的兩個根為 石人，則 M M 卜棍 ，故有兩個不故可對角化。令同0 0精選范本，供參考!同的特征值，從而可對角化。精選范本，供參考!i-1-i -r-11

10、T -1A =-1 -1 1 -1矩陣 J J ,使得3 上為對角陣，并求 J J （:為正整數(shù)）。（三重特征值）。當(dāng)一 時，由丄-即:得基礎(chǔ)解系為 上：一 1 1“，從而的屬于特征值一 ：的特征向量為（11 為任意非零常數(shù)）。當(dāng)-時，由 -1 1，即:掐叩廣13,掐叩,0廣1哥,掐叩皿T，從而右勺屬于特征值例 5 5 設(shè)實對稱矩陣，問是否可對角化？若可對角化，求Z -111解：由2-11112-11112-1= （2+2XA-2）3得的特征值為-3111-311P1111 1 1B01 1 101 1 101 1 1 0得基礎(chǔ)解系為精選范本，供參考!-一一“ - 一的特征向量為 V V1 1

11、. . 為任意不全為零的常數(shù)）。精選范本，供參考!由于的每個特征值對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于特征值的重數(shù)，故可對角化。令例 6 6 設(shè)、階矩陣滿足（稱為幕等矩陣），證明：的特征值只能為.或 一，并且忙可對角化。證明：設(shè)二是的屬于特征值 二的特征向量，則一二 I I 一丄“丄一丄匚一 J J 二， 由一，得 I I 二 L L ,所以幕等矩陣的特征值只能為.或。設(shè)秩|-;,，當(dāng)秩H H 時，故可對角化且一；當(dāng)秩時，乂可逆，由才=蟲得，故蟲可對角化且蟲厶；現(xiàn)設(shè) o oas。當(dāng)特征值 一 時,其特征矩陣、 的秩為 F F。這是因為由 呂 上一二-一匚，所以 亦唯 u u）s s；又心 W W 饑心+仏“滬，因而111r-2 1-100PAP =210-102100-1，則2。從而1 11 -110(-2/2七2k1 11 -110102111-1-1-1-1-1-1-11-1L-1-1-11當(dāng)丘為偶數(shù);當(dāng)氐為奇數(shù)精選范本，供參考!，從而有。再由可得對應(yīng)于*的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為：。設(shè)的屬于特征值*的：個線性無關(guān)的特征向量為- o當(dāng)特征值 二一.