高中物理八大解題方法之四：導(dǎo)數(shù)法(可編輯修改word版)

1、高中物理解題方法之導(dǎo)數(shù)法江蘇省特級教師戴儒京在物理解題中用導(dǎo)數(shù)法，首先要把物理問題化歸為數(shù)學(xué)問題。在分析物理狀態(tài)和物理過 程的基礎(chǔ)上，找到合適的物理規(guī)律，即函數(shù)，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求解極值問題或其 他問題，然后再把數(shù)學(xué)問題回歸到物理問題，明確其物理意義。例1、兩等量同種電荷在兩點電荷連線的中垂線上電場的分布圖1.兩等量正點電荷的電場強度在y坐標(biāo)軸上的點的合成以兩點電荷的連線的中點為原點，以兩點電荷的連線的中垂線為y軸，則各點的電場強 度可表示為：E = 2kT),cos =2k(/-+»l- + y- M + y2因為原點的電場強度Eo = o,往上或往下的無窮遠(yuǎn)處的電場強度也為0

2、,所以，從o點向上或向下都是先增大后減小，這是定性的分析。那么，在哪兒達(dá)到最大呢，需要定量的計算。方法1.用三角函數(shù)法求導(dǎo)數(shù)E = 2k (- -) . cos 中把 y= L.代入得 E =三巴.$也？ cos °l2+y2tanI- z = sin2 cos , 求導(dǎo)數(shù) z'=2sin cos2 -sin3 =sin (2cos2 -sin2 ), 欲使J2/z'=0,需sin =0 (舍去)或2cos2 -sin2 =0即 tan = 41 ,此處，y =，2將其代入得號皿=竽半。方法2.用代數(shù)法求導(dǎo)數(shù)E = 2k（-JL）- y ,令 z = y （/2 +y

3、 2）-5,對 Z求導(dǎo)數(shù)得卜 + r W + y2Z，=（/2+y2）-Ly2（/2+y2）T,令其分子為0,得）,=包，代入得 =弓-華。 29/3.圖象用Excel作圖，得到關(guān)于等量同種電荷的電場在其中垂線上的分布的圖象，圖象的橫軸y表 示各點到原點的距離（以兩點電荷的連線的中點為原點），縱軸表示中垂線上各點的電-5 -E. r S 圖3電路圖此圖象也驗證了以上所得的結(jié)果：圖象中令/ = 5,則當(dāng)），=包=叵9=3.5處電場 22強度最大。例2、電源輸出功率最大問題的研究 例題.如圖所示，R為電阻箱，封為理想電壓表.當(dāng)電阻箱讀數(shù)為Ri=2C時，電壓表讀數(shù)為Uk4V；當(dāng)電阻箱讀數(shù)為R2=5Q

4、 時，電壓表讀數(shù)為U2=5V.求：（1）電源的電動勢E和內(nèi)阻r。當(dāng)電阻箱R讀數(shù)為多少時，電源的輸出功率最大?最大值Pm為多少?【解析】由閉合電路歐姆定律：E=Ui+-r E=U,+A聯(lián)立上兩式并代入數(shù)據(jù)解得：E = 6V, r=lQ(2)解法1.代數(shù)法，電功率表達(dá)式：P = _R 將上式變形為： (R + r)2n E2E1尸=不一r，由上式可知& =r=11時。有最大值。加=9卬(R 一 )4r+ 4rR£2II U9V - MV*解法2.導(dǎo)數(shù)法，電功率表達(dá)式：二沃奇氏根據(jù)求導(dǎo)公式(；)'=一,6("當(dāng)"叫,(R+r尸(/? + r)4E2導(dǎo)數(shù)的

5、分子為零，即此時有極大值，將R = r=l。代入戶式得最大值P,“= 9W 4r本題的物理意義可用圖4圖象說明：圖4電源輸出功率與外電路電阻的關(guān)系圖象的最高點為電源的輸出功率最大，其余的，對同一個輸出功率，可以有兩個電 阻值。例3,證明：在碰撞中完全非彈性碰撞動能損失最大大家知道，碰撞分彈性碰撞和非彈性碰撞兩類。彈性碰撞，動能和動量都守恒，非彈性碰 撞，動能不守恒了，但動量還是守恒的。在非彈性碰撞中，有一種叫完全非彈性碰撞，兩 個物體相碰后不分開，連在一起了，動能損失最大，動能不守恒，但動量還是都守恒的。為什么在完全非彈性碰撞中，動能損失最大呢？很多同學(xué)知其然不知其所以然，本文解 決知其所以然

6、的問題°彈性形變是指撤去外力后能夠恢復(fù)原狀的形變，能夠發(fā)生彈性形變的物體我們說它具有 彈性。碰撞是在極短的時間內(nèi)發(fā)生的，滿足相互作用的內(nèi)力大于大于外力的條件，因此不 管系統(tǒng)是否受到外力，一般都滿足動量守恒。因此彈性碰撞是同時滿足動量守恒和動能 守恒的碰撞。一般意義上的碰撞，僅滿足動量守恒，碰撞過程中物體往往會發(fā)生形變，還會發(fā)熱、發(fā) 聲，系統(tǒng)有動能損失，由于一般只研究碰撞發(fā)生在同一水平直線上的情況，系統(tǒng)在碰撞前 后的重力勢能不變，因此動能損失也對應(yīng)著機械能的損失，通常情況下是機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi) 能。非彈性碰撞即物體發(fā)生碰撞后不反彈，區(qū)別于大多數(shù)的彈性碰撞，碰撞過程中會有 動能損失。如圖1所

7、示，設(shè)質(zhì)量為的小球，速度為vP與質(zhì)量為m2的小球，速度為v2,發(fā)生碰 撞，¥1¥2C>彈性碰撞情況下，動能損失最大。將代入解得動能損失最大為 m m (v - v )2例題.某同學(xué)利用如圖6所示的裝置研究碰撞問題。圖中兩擺擺長相同/=1加，懸掛于同 一高度，4、8兩擺球均很小，質(zhì)量相等皆為當(dāng)兩擺均處于自由靜止?fàn)顟B(tài)時，其側(cè) 面剛好接觸。向右上方拉動8球使其擺線伸直并與豎直方向成45。角，然后將其由靜止 釋放。求A球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上擺的最大角度的最大值和最 小各值各是多少？ 解：B球的初始高度為歷，碰撞前8球的速度為也.在不考慮擺線質(zhì)量的情況下，根

8、據(jù)題意及機械能守恒定律得：hi =/(l-cos45°)1 mv 2 = nigh (2)2 B 1彈性碰撞時，動量守恒有niVB = niVA '+mvb '動能守恒有:機M =：八，2解得匕以'=。，根據(jù)吆力=1 mv，2 ,得h = h ,為A球上升的最高高度。2 7 42 1根據(jù)人=/(1cos )，得 =45°,為A球上擺的最大角度。2221 完全非彈性碰撞，即A、B兩球粘合在一起時，動量守恒有?0=2，解得M = U2根據(jù)7的=mv'1 = 1 nigh ,得力=1 ，為A球上升的最大高度的最小值。 3 2423 4 1根據(jù) =/

9、(l-cos ),得=22°,為A球上擺的最大角度的最小值。 333例4.電磁感應(yīng)問題如圖，質(zhì)量為M的足夠長金屬導(dǎo)軌abed放在光滑的絕緣水平面上。一電阻不計，質(zhì)量 為？的導(dǎo)體棒PQ放置在導(dǎo)軌上，始終與導(dǎo)軌接觸良好，PQ反構(gòu)成矩形。棒與導(dǎo)軌間 動摩擦因數(shù)為，棒左側(cè)有兩個固定于水平面的立柱。導(dǎo)軌be段長為L,開始時PQ左 側(cè)導(dǎo)軌的總電阻為R，右側(cè)導(dǎo)軌單位長度的電阻為島。以娛為界，其左側(cè)勻強磁場方 向豎直向上，右側(cè)勻強磁場水平向左，磁感應(yīng)強度大小均為B。在1=0時，一水平向的拉力尸垂直作用在導(dǎo)軌的反邊上，使導(dǎo)軌由靜止開始做勻加速直線運動，加速度為必（1）求回路中感應(yīng)電動勢及感應(yīng)電流隨時間

10、變化的表達(dá)式；（2）經(jīng)過多長時間拉力尸達(dá)到最大值，拉力產(chǎn)的最大值為多少？（3）某過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為。，導(dǎo)軌克服摩擦力做功為W,求導(dǎo)軌動能的增加量?！敬鸢浮浚?） 感應(yīng)電動勢=BLv導(dǎo)軌做初速為零的勻加速運動，v = at. s J at22=BLat回路中感應(yīng)電流隨時間變化的表達(dá)式BLv BLatBLatI = 1=三R 送R + 2R（_,m）R + 也心° 2（2）導(dǎo)軌受外力F,安培力八，摩擦力 7 其中B 2 L2atFX=BIL= 7R + Rat-B 2 L2atF, = （mg+BIL）=（帆g+ -）f NR +2 由牛頓定律/一巳一6 =MaF = Ma + F

11、, + Ff =M“+ ?g + （l+R + R/t2時外力F取極大值。上式中，當(dāng)R = R at, Bp/ =7 °(3)設(shè)在此過程中導(dǎo)軌運動距離s,由動能定理W A = 石 nW 臺=Mas由于摩擦力F尸(喏+生)，所以摩擦力做功W = mgs + WA = mgs + Q, c w QA£k =Mas= -(W Q) o【點評】本題考查電磁感應(yīng)，勻變速運動，牛頓定律等知識點以及分析判斷能力及極值的 計算等數(shù)學(xué)方法。難度：難。r 2 2atr 2 / 2在式子n n 的極值的計算中，答案用了變形)，=if=,然后根據(jù)兩式之 積一定時，兩式相等時其和最小的數(shù)學(xué)方法，因分

12、母最小，分式取最大值。RR也可以用導(dǎo)數(shù)法求極值。設(shè)上式的分母為x= +RW,取導(dǎo)數(shù)：xt) = - +R”，- 07To令其等于0,解得極值條件為f =。代入得x = 2 JaR凡，此時,y一/max =Ma+ Hlg+ 2 RR。0例5.交流電如圖(a),在同一平面內(nèi)固定有一長直導(dǎo)線PQ和一導(dǎo)線框R, R在PQ的右側(cè)。導(dǎo)線PQ 中通有正弦交流電流i, i的變化如圖(b)所示，規(guī)定從Q到P為電流的正方向。 導(dǎo)線框R中的感應(yīng)電動勢圖(a)圖(b)A.在"二時為零4B.在"二時改變方向2C.在"工時最大，旦沿順時針方向2D.在，=7時最大，且沿順時針方向【解析】根據(jù)法

13、拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動勢E=，即七為的導(dǎo)數(shù)，有= 8S,S不變，與B成正比，所以，E與i的導(dǎo)數(shù)成正比，據(jù)此可以畫出E-t圖象如下:從圖象可以看出：A.在"二時為零，正確：4B.在1 =二時改變方向，錯誤；2C.在"二時為負(fù)最大，旦沿順時針方向，正確；2D.在時為正最大，旦沿逆時針方向，D錯誤?！敬鸢浮?0. AC-9 -【點評】E-/圖象是正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)）圖象，說明電動勢E隨時間非均勻變化。 函數(shù)是，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)。例6.帶電粒子在磁場中的運動粒子速度選擇器的原理圖如圖所示，兩水平長金屬板間有沿水平方向、磁感應(yīng)強度 為舔的勻強磁場和方向豎直向下、電場強度為心的勻強

14、電場。一束質(zhì)量為m、電荷量 為q的帶電粒子，以不同的速度從小孔0處沿中軸線射入此區(qū)域。研究人員發(fā)現(xiàn)有些粒 子能沿中軸線運動并從擋板上小孔P射出此區(qū)域，其他還有些帶電粒子也能從小孔P 射出，射出時的速度與預(yù)期選擇的速度的最大偏差量為A ，通過理論分析知道，這些帶電粒 子的運動可以看作沿中軸線方向以速度為的勻速直線運動和以速率，在兩板間的勻強磁場中做勻速圓周運動的合運動，I、2；均為未知量，不計帶電粒子重力及 粒子間相互作用。若帶電粒子能沿中軸線運動，求其從小孔0射入時的速度0：（2）增加磁感應(yīng)強度后，使帶電粒子以（1）中速度。射入，要讓所有帶電粒子均不能打 到水平金屬板，兩板間距d應(yīng)滿足什么條件

15、？（3）磁感應(yīng)強度為8。時，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量4 ,從而提 高速度選擇器的速度分辨本領(lǐng)，水平金屬板的長度L應(yīng)滿足什么條件？例1題圖【解答】（1）帶電粒子能沿中軸線運動受力平衡，則Eqv°B°=qE，解得/ _綜設(shè)磁感應(yīng)強度增為B,對速度為刃的勻速直線分運動，有q% b =殂，解得匕=與 < 嗎 D勻速圓周分運動的速率也=口01 _) B2/?7v;mE 1由向心力公式qu B=：,解得一=°(2 rq B B1 o當(dāng)8 = 28。時，半徑有最大值，嗚硒-15 -要讓所有帶電粒子都不能打到金屬板，應(yīng)滿足1 > 2,； 要提高速度選

16、擇器的速度分辨率，就要使不能沿軸線運動的偏離軸線有最大的距離, 圓周運動完成半周期的奇數(shù)倍，則L = v() (2/2-1)-(/7 = 1,2,3,)2圓周運動的周期了=qB。故應(yīng)滿足的條件L =I)：嗚 ( =1,2,3,) 曲【拓展】從此題目談起，筆者提出并回答以下問題，以進(jìn)一步理解此題。在得出=竺!(，)后，即有當(dāng)8 = 24時，半徑有最大值，;“=把馬，這是 q B°B B-4g /為什么？【解答】這個是求極值問題，本來是數(shù)學(xué)問題，在物理題中，物理老師也要解答。這就是 高考要求的“用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力”。這里要用導(dǎo)數(shù)法求極值:令V，二土也、B°B B2 B

17、聲u u v -itv 根據(jù)求導(dǎo)公式(_)'=Vp-二 B/2_(B_B0).2BB° = B°B . (-B + 2B0)BpB* 'E其分子為0,得r=Z12(J一式取極值的條件是8 = 23“，將此條件代入則得 q B()B例7.振動和波問題 圖甲為一列簡諧橫波在t=0. 10s時的波形圖，P是平衡位置為x=lm處的質(zhì)點，Q是平衡位置為x=4m處的質(zhì)點，圖乙為質(zhì)點Q的振動圖像，則（）A. t=0. 15s時，質(zhì)點Q的加速度達(dá)到正向最大B. t=0. 15s H't.質(zhì)點P的運動方向沿y軸負(fù)方向C.從t=0. 10s到t=0. 25s,該波沿x軸

18、正方向傳播了 6mD.從t=0. 10s到t=O. 25s,質(zhì)點P通過的路程為30cm答案：AB分析法：題考查振動圖像和波動圖像的綜合應(yīng)用。由圖乙可知上0. 15s時，質(zhì)點Q 到達(dá)波谷，其加速度達(dá)到正向最大，A選項正確：圖甲表示0. 10s時的波形圖，t=0. 10s 時由圖乙可知質(zhì)點Q正經(jīng)過平衡位置向下振動，結(jié)合圖甲可知這列波向左傳播（因為波 向左傳播，Q才處在“上坡”的位置，其運動方向才向下）。乂由圖甲可知波長為8m, 由圖乙可知周期為0. 20s,波速v=X/T=40m$從0. 10s到0. 15s時間段內(nèi)，波向左平 移s=vt=2m.畫出此時的波形如下圖（將波向左平移2m）y/cm從圖

19、可以發(fā)現(xiàn)，此時質(zhì)點P的運動方向沿y軸負(fù)方向，B選項正確；從t=0.10s到t=0. 25s,該波沿x軸負(fù)方向傳播的距離s=vt=6m, C選項方向判斷錯誤：從t=0. 10sT到t=0. 25s,經(jīng)過的時間為0. 15s,等于W即0. 05s的3倍，質(zhì)點P做變速運動，通s = AA = 30cm過的路程不能用 T來計算（從平衡位置或正負(fù)最大位移處開始計時，才能這樣算），實際路程不等于30cm （此處有的同學(xué)禁不住問：不是30cm,是多少呢？且 往下看）。答案選擇ABo【函數(shù)導(dǎo)數(shù)法】h .y = -A sin 2tt（十）因為2=0時刻波方程是丫二一月$1n做，波函數(shù)基本函數(shù)式是T 4（因為本題

20、波向左傳播，所以式中負(fù)號改為正號）由圖甲可知波長為力=8m,振幅為A=10cm,由圖乙可知周期為T=0. 20s,所以本y = -lOsin 2爪一千三）-10sin（107S + x）題波函數(shù)可以寫為0.2 8二47T_-10sin（10 + -x4） =A選項：Q點的振動方程是V二410 sin 10龍對式求導(dǎo)數(shù)得速度函數(shù)v= WxIQttcosIO =1007rcosl07E對式求導(dǎo)數(shù)得加速度函數(shù)。= 1000/ （fin 10九） 將t=0. 15s代入式得=10004（sslO*乂 °？，是正最大，所以A正確；B選項：-10sin（1072!+-xl）=-10sin （10% 十 馬P點的振動方程是為=44（-10）X107FCOS（107E + -） -1007TCOS（107E+-）對式求導(dǎo)數(shù)得速度函數(shù)v=4 =4.IOOtfcosCI 0x0.15 + -） -IQQcos）將t=0.15s代入式得v=4 =4 ,為負(fù)，所以B正確；C選項：-lOsm 2r( + -)-10sin(7T+-x)t=0.10s時的波函數(shù)可以寫為yi=0.2 8 cm=410 sin x4 0-lOsm 2r( + -)-10sm( 2.5tf+-x)t=0. 25s時的波函數(shù)可以寫為？1=0.28 cm