最新中考相似和全等三角形總結(jié)分類

1、精品文檔九年級(jí) 相似三角形和全等三角形分類相似三角形證明方法方法一：直接尋求相似三角形只要根據(jù)題目給定的條件尋找出線段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出來(lái)例1、如圖：點(diǎn) G在平行四邊形 ABCD的邊DC的延長(zhǎng)線上，AG交BC、BD于點(diǎn)E、F,則4AGg EGC s EAB.例2、已知 ABC中，AB=AC, / A=36 , BD是角平分線,求證： ABC BCD方法二：利用中間線段代換當(dāng)要證明的結(jié)論中的一條線段與其他線段之間的關(guān)系難以確定時(shí)我們可以利用等線段 代換，從而容易找到相應(yīng)的關(guān)系。例1、4ABC中，在AC上截取 AD,在CB延長(zhǎng)線上截取 BE,使AD=BE,求證：DF,AC=BC

2、FE例2:已知：如圖,在 ABC 中，/ BAC=9C0,M是BC的中點(diǎn)，DMLBC于點(diǎn)E,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Do求證：（1）ma2=mdme；與 ADMEMD本例的關(guān)鍵是證明 MAEsMDA,這種具有特殊關(guān)系（有一個(gè)公共角和一條公共邊）的三角形的相似，在解題中應(yīng)用很多，應(yīng)從下面兩個(gè)方面深刻理解：命題1 如圖，如果/ 1 = 72,那么ABM ACB, AB2=ADAC。命題 2 如圖，如果 AB2=AD *AC,那么 AABD ACB, /1 = /2。例3:如圖那BC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E,交AB于F,求證：AE:ED=2AF:FB。精品文檔方法三：證明比例式或等積

3、式的主要方法有“三點(diǎn)定形法”.1 .橫向定型法欲證AB=BC 橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是AB和BC ,三個(gè)字母找到一幕中 4BEF的三個(gè)頂BE BF點(diǎn).因此只需證ABCsEBF .2 .縱向定型法欲證AB=DE 縱向觀察，比例式左邊的比 AB和BC中的三個(gè)字母 A, B, C恰為4ABC的頂點(diǎn)；右邊的比 BC EF兩條線段是DE和EF中的三個(gè)字母 D , E, F恰為4DEF的三個(gè)頂點(diǎn).因此只需證 ABCsDEF .3 .中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒(méi)有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線，等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形.這種方法就是等量

4、代換法. 在證明比例式時(shí)，常用到中間比.比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問(wèn)題。這類問(wèn)題的典型模型是射影定理模型，模型的特征 和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解.倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1,另一邊化為幾個(gè)比值和的形式，然后對(duì)比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之.復(fù)合式的證明比較復(fù)雜.通常需要進(jìn)行等線代換（對(duì)線段進(jìn)行等量代換），等比代換，等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等積式，然后進(jìn)行證明.【例題】“三點(diǎn)定型”法一類：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三點(diǎn)定型”分析（第一種題型主要是通過(guò)觀察就用三點(diǎn)定型中橫向定形法找出對(duì)應(yīng)線段成比例的）例1,已知：/ ACB=9

5、00, CDL AR 求證：AC2=AD?AB例2, 已知：等邊三角形 ABC中，P為BC上任一點(diǎn)，AP的垂直平分線交 AB、AC于M、N兩點(diǎn)。求證：BP?PC=BM ?CNA二類：當(dāng)不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三點(diǎn)定形”時(shí)，如果有相等的線段時(shí)，可用相等的線段去 替換。例1, 已知；AD平分/ BAC EF垂直平分 AD與BC的延長(zhǎng)線交于 F。求證：DF2=BF?CF上精品文檔D精品文檔例2,已知；在 RtABC中，/ A=900,四邊形 DEF劭正方形。求證： EF2=BE?FC精品文檔E.求證：OC2=OA.OE三類：既不能直接用“三點(diǎn)定形”，又沒(méi)有相等的線段可以替換時(shí)，可以

6、找中間比或中間量來(lái)轉(zhuǎn)化搭橋，充分體現(xiàn) 了轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。例1,已知：梯形 ABCD中，AD/BC, AC與BD相交于。點(diǎn)，作BE/CD,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)例2,已知：BD、CE是4ABC的兩個(gè)高，DGL BC 與CE交于F, GD的延長(zhǎng)線與 BA的延長(zhǎng)線交于H求證：gD=gf?gh一、等積式、比例式的證明：等積式、比例式的證明是相似形一章中常見(jiàn)題型。因?yàn)檫@種問(wèn)題變化很多，同學(xué)們常常感到困難。但是，如果我們 掌握了解決這類問(wèn)題的基本規(guī)律，就能找到解題的思路。（一）遇到等積式（或比例式）時(shí)，先看是否能找到相似三角形。等積式可根據(jù)比例的基本性質(zhì)改寫(xiě)成比例式，在比例式各邊的四個(gè)字母中如有三個(gè)

7、不重復(fù)的字母，就可找出相似三 角形。例1、已知：如圖， ABC中，/ ACB=9C0, AB的垂直平分線交 AB于D,交BC延長(zhǎng)線于F。求證：CD2=DE DF。（二）若由求證的等積式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，則需要進(jìn)行等線段代換或等比代換。 有時(shí)還需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造平行線或 相似三角形。例2.如圖，已知 ABC中，AB=AC, AD是BC邊上的中線， CF/ BA, BF交AD于P點(diǎn)，交 AC于E點(diǎn)。 求證：BP2=PE- PF。例3.如圖，已知：在 ABC中，/ BAC=9C0, AD, BC, E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于 F求證： .二 A;-全等三角形

8、證明方法中輔助線做法一、截長(zhǎng)補(bǔ)短通過(guò)添加輔助線利用截長(zhǎng)補(bǔ)短，從而達(dá)到改變線段之間的長(zhǎng)短，達(dá)到構(gòu)造全等三角形的條件1 .如圖 1,在 ABC 中，/ ABC=60 , AD、CE分別平分/ BAC / ACB.求證：AC=AE+CD分析：要證 AC=AE+CD AE、CD不在同一直線上.故在 AC上截取 AF=AEE）則 只要證明CF=CD精品文檔二、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等利用三角形的中位線，在很多題目中我們很能直接找出全等三角形，所以要通過(guò)畫(huà)中位線可以很清楚的構(gòu)造出來(lái)。2:如圖， ABC中，E、F分別在 AR AC上，DEL DF, D是中點(diǎn)，試比較 BE+CFW EF的大小.三、作平行線在遇

9、到角平分線的時(shí)，可按照以下兩種方式構(gòu)造平行線，（1）過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作角平分線的平行線與另一邊的延長(zhǎng)線相交，（2）過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作一邊的平行線的角的平行線。3 .如圖3,在等腰 ABC中，AB=AC,在AB上截取BD,在AC延長(zhǎng)線上截取 CE,且使 CE=BD連接 DE交BC 于F.求證：DF=EF四、補(bǔ)全圖形4 .如圖4,在 ABC中，AC=BQ / B=90 , BD為/ ABC的平分線.若 A點(diǎn)到直線 BD的距離 AD為a,求BE的長(zhǎng).證明：延長(zhǎng) AD、BC相交于F.五、利用角的平分線對(duì)稱構(gòu)造全等5 .如圖5,在四邊形 ABCD中，已知 BD平分/ ABC, /A+/C=180 .

10、證明：AD=CD. 證明：在BC上截取BE=BA連接DE.20. （8分）（2014年浙江紹興）課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料 ABC ,它的邊BC=120mm,高AD=80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在 BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在 AB, AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm?小穎解得此題的答案為 48mm,小穎善于反思，她又提出了如下的問(wèn)題.（1）如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖1,此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少mm?請(qǐng)你計(jì)算.（2）如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖 2,這樣，此矩形零件的兩條

11、邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面 積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng).23. （12分）（2013?紹興）在 4ABC中，/ CAB=90 , AD，BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn) G, 點(diǎn)F在BC上.（1）如圖 1, AC: AB=1 : 2, EFXCB,求證：EF=CD .23.我們知道，兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.那么在什么情況下，它們會(huì)全等?（1）閱讀與證明： 對(duì)于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)?對(duì)于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證它們 全等（證明略）.對(duì)于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：已知：4ABC A 1B1C1 均為銳角三角形， AB=AB, BC=BC , / C=Z