第5章 求和與級(jí)數(shù)

1、第5章    求和與級(jí)數(shù)5.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦斫鈹?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、冪級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂域概念、函數(shù)的周期延拓及箍凳霞妒氖樟捕懟煜?span lang=EN-US>Mathematia數(shù)學(xué)軟件求有限和及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的命令。5.2實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備5.2.1數(shù)學(xué)概念與結(jié)論1  數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2  級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散3  正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法4  冪級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂域5  函數(shù)展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)的收斂定理5.2.2數(shù)學(xué)軟件命令1. Sumf(i) , i ，imin，imax，h 功能：計(jì)算 f(imin) +f(imin +h)+f(im

2、in +2h)+f(imin +nh)            imax h £ imin + nh £ imax  ,   h>0    2. Sum f(i) , i，imin，imax 功能：計(jì)算 f(imin) +f(imin +1)+f(imin +2)+f(imax)3. Sum f(i , j)，i，imin，imax,j, jmin，jmax    功能：計(jì)算二重和

3、  4.NSumf(i) , i ，imin，imax，h 功能：計(jì)算和 f(imin) +f(imin +h)+f(imin +2h)+f(imin +nh)            imax h £ imin + nh £ imax  ,   h>0       的近似解。5.  NSum f(i) , i，imin，imax 功能：計(jì)算 f(imin) +f(imin

4、 +1)+f(imin +2)+f(imax) 的近似解。6.  NSum f(i , j)，i，imin，imax,j, jmin，jmax功能：計(jì)算二重和的近似解。7.If 條件, 語(yǔ)句1, 語(yǔ)句2  功能：根據(jù)條件的成立與否確定執(zhí)行哪一個(gè)語(yǔ)句，具體執(zhí)行為:條件成立時(shí)，執(zhí)行語(yǔ)句1，否則，執(zhí)行語(yǔ)句2，并將語(yǔ)句執(zhí)行結(jié)果作為If語(yǔ)句的值。             8.Which條件1,語(yǔ)句1,條件2,語(yǔ)句2, . ,條件n,語(yǔ)句n功能:由條件1開(kāi)始按順序依次

5、判斷相應(yīng)的條件是否成立,若第一個(gè)成立的條件為條件k,則執(zhí)行對(duì)應(yīng)的語(yǔ)句k。5.3實(shí)驗(yàn)任務(wù)5.3.1基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn) 本實(shí)驗(yàn)熟悉數(shù)學(xué)軟件命令操作。1.求下列和式： 1）                           2）  3）       &#

6、160;               4）  5)           6) 2. 設(shè) 用Sum命令生成s6(x),并畫出s6(x)在-1,1上的圖形。3判定下列級(jí)數(shù)的斂散性，對(duì)收斂的級(jí)數(shù)求出和式。 1）           &#

7、160;              2）  3）                         4） 4. 印度年輕的傳奇數(shù)學(xué)家拉馬努金（Ramanujan,1887,1920）提出了一個(gè)用級(jí)數(shù)描述圓周率p的公式試用這

8、個(gè)公式計(jì)算圓周率p的近似值，要求結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)29位。5.設(shè)f(x)= x2, 0£ x £1 ,將f(x)做偶延拓和奇延拓并在-3,3上畫出相應(yīng)的延拓圖形。6.將f(x)=cos(x/2)在-p,p上展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)，并分別取展開(kāi)式的前兩項(xiàng)和前三項(xiàng)比較其展開(kāi)的逼近效果。5.3.2探索實(shí)驗(yàn) 本實(shí)驗(yàn)探索調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)斂特點(diǎn)。7. 在數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明了調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的，問(wèn)它以怎樣的規(guī)律發(fā)散？5.3.3應(yīng)用實(shí)驗(yàn)  本實(shí)驗(yàn)研究分形幾何中的Koch雪花問(wèn)題。8. 在有單位邊長(zhǎng)的正三角形中，將每一條邊三等份，再以每一條邊的中間一段為邊向外做等邊三角，然后再對(duì)每一條邊重復(fù)

9、這樣的操作，如此下去產(chǎn)生的圖形稱為Koch雪花。試討論當(dāng)邊n不斷增多趨于無(wú)窮大時(shí)，產(chǎn)生圖形的周長(zhǎng)和面積的極限。5.4實(shí)驗(yàn)過(guò)程1. 1） In1:= Sum1/(2n-1),n,1,20    Out1= 2）In2:= Sum1/(n*(n+1),n,1,Infinity Out2:=  由于沒(méi)有給出計(jì)算結(jié)果，嘗試求近似和的命令:In3:= NSum1/(n*(n+1),n,1,InfinityOut3=13）In4:= Sumn*(n+1),n,4,10   Out4= 4204）In5:= SumSin1/n,n,2,6

10、   Out5=    In6:= N%,16  Out6= 1.4185896581433545）In7:= Sumk,k,1,101,2  Out7= 26016）In8:= Sum(i-j)3,i,1,20,j,1,10   Out5= 1495002. In1:= s6=Sum(k+1)*xk,k,0,6Out1=1+2x+3x2+4x3+5x 4+6x5+7x 6In2:= Plots6,x,-1,1    輸出圖形為Out2:=-Graphics-3. 1)In1:= Li

11、mit(n+2)/3(n+1)*3n/(n+1),n->Infinity Out1= 因?yàn)楹箜?xiàng)比前項(xiàng)的極限為1/3<1，故由比值判別法知級(jí)數(shù)收斂為求出它的和，鍵入：In2:= NSum(n+1)/3n,n,1,InfinityOut2= 1.252）In3:= Limitn(1/n),n->Infinity Out3=1因?yàn)榧?jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨于0，故發(fā)散3）取收斂的P級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù)，用比較判別法，因?yàn)椋?#160;In4:= Limit1/n3*(1+n3),n->Infinity Out4=1 由比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂為求出它的和

12、，鍵入： In5:= NSum1/(1+n3),n,1,InfinityOut5= 0.6865034）取發(fā)散的P級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù)，用比較判別法，因?yàn)椋篒n6:= Limit1/n/Sin2/n,n->InfinityOut6:=    由比較判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散4.In1:= ramanun_:=       2Sqrt2/9801*Sum(4k)!*(26390k+1103)/396(4k)/(k!)4,       

13、          k,0,n ;  In2:= s1=N1/ramanu2,40;       Print"n=",2,"  s=",s1       Print" err=",NPi-s1,40 Out2= n=2  s=3.14159265358979323846264906570275889

14、8157             err=-5.68242325601396´10-24In3:= s1=N1/ramanu3,40;            Print"n=",3,"  s=",s1         &

15、#160;  Print" err=",NPi-s1,40 Out3= n=3  s=3.14159265358979323846264338327955527316              err=-5.2388963´10-325.In1:= Plotx2,x,0,1 輸出圖形為  Out1:= -Graphics- In2:= f1x_:=Ifx>0,x2,x2; 

16、0;      Plotf1x,x,-1,1輸出圖形為    Out2= -Graphics- In3:= f11x_:=Whichx<-1,f1x+2,x<1,f1x,x>=1,f1x-2         Plotf11x,x,-3,3輸出圖形為 Out3= -Graphics- In4:= f2x_:=Ifx>0,x2,-x2;    &#

17、160;     Plotf1x,x,-1,1輸出圖形為Out4= -Graphics-In5:= f22x_:=Whichx<-1,f2x+2,x<1,f2x,x>=1,f2x-2       Plotf22x,x,-3,3輸出圖形為Out5:= -Graphics-6. In1:= Clearn,x In2:= a0=IntegrateCosx/2,x,-Pi,Pi/Pi/2 Out2:= 2/p In3:= an_=Integrat

18、eCosx/2*Cosn*x,x,-Pi,Pi/Pi  Out3=   In4:= an/.Cosn*Pi->(-1)n Out4=  In5:= bn_=IntegrateCosx/2*Sinn*x,x,-Pi,Pi/Pi Out5= 0所以，得到f(x)=cos(x/2)在-p,p上的傅氏展開(kāi)級(jí)數(shù)In6:= g2x_=Suman*Cosn*x,n,1,1+2/PiOut6=  In7:= PlotCosx/2,g2x,x,-Pi,Pi輸出圖形為Out7= -Graphics-In8:= g3x_=Suman*Cos

19、n*x,n,1,2+2/PiOut8=  In9:=PlotCosx/2,g3x,x,-Pi,Pi輸出圖形為Out9:= -Graphics-可見(jiàn)，隨著選擇項(xiàng)數(shù)的增多，逼近效果會(huì)越來(lái)越好。7為研究調(diào)和級(jí)數(shù)的變化，取其前n項(xiàng)和下面畫出其散點(diǎn)圖來(lái)觀察它的變化情況：In1:= Clears,n     sn_:=NSum1/k,k,1,n In2:= t=Tablek,sk,k,1,100;In3:= p1=ListPlott,PlotStyle->PointSize0.01輸出圖形為Out3= -Graphics-從散點(diǎn)圖上發(fā)現(xiàn)它與自然對(duì)數(shù)l

20、nx很象，將自然對(duì)數(shù)lnx與散點(diǎn)圖畫在一起來(lái)比較：In4:= p2=PlotLogx,x,1,100In5:= Showp1,p2Out5= -Graphics-     這個(gè)對(duì)比圖形雖然兩個(gè)圖形沒(méi)有重合，但具有隨著自變量的增加，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相差接近一個(gè)常數(shù)的特征。是否真的相差一個(gè)常數(shù)？選擇一個(gè)常數(shù)做實(shí)驗(yàn)來(lái)證實(shí)我們的猜測(cè)。取在n=1000時(shí)兩個(gè)函數(shù)之差來(lái)確定這個(gè)常數(shù)，然后把此常數(shù)加在對(duì)數(shù)lnx，將其再與散點(diǎn)圖畫在一起來(lái)比較：In6:= Ns1000-Log1000Out6=  0.577716In7:= p3=PlotLogx+0.577716

21、,x,1,100In8:= Showp1,p3輸出圖形為Out8= -Graphics- 圖中顯示兩個(gè)函數(shù)幾乎重合，這個(gè)顯示結(jié)果提示我們：極限是存在的，其值約為0.577。于是我們說(shuō)調(diào)和級(jí)數(shù)部分和的發(fā)散情況與函數(shù)lnx+0.577在x=n的取值情況大致相同。注：已經(jīng)證明極限是存在的，其值稱為歐拉(Euler)常數(shù)，它的值為0.5772156649.。81）問(wèn)題分析在做圖形變化操作中，將每一條邊三等份，再以每一條邊的中間一段為邊向外做等邊三角的一次操作為一次分形，那么設(shè)對(duì)單位邊長(zhǎng)的正三角形做第n次分形后形成圖形的周長(zhǎng)為Pn , 面積An,于是有開(kāi)始時(shí)P0 =3, 。在做第一次分形后，三

22、角形的每條邊生成了4條新邊，新邊的長(zhǎng)度為原邊長(zhǎng)的三分之一，同時(shí)每條邊生成的一個(gè)小新三角形面的每個(gè)面積都為原三角形面積的1/9，為，此時(shí)共有3條邊。于是，我們有, 。同理在做第二次分形后，新圖形的每條邊又生成了4條新邊，新邊的長(zhǎng)度為原邊長(zhǎng)的三分之一，同時(shí)生成的三個(gè)小新三角形面的每個(gè)面積都為原三角形面積的1/9，為共有3´4條邊。于是，我們有 為找出周長(zhǎng)Pn , 面積An的通項(xiàng)，由圖形的分形過(guò)程中發(fā)現(xiàn)對(duì)每一條邊的變化有如下兩個(gè)規(guī)律：（1）每一條邊生成四條新邊，且新邊長(zhǎng)的為原邊長(zhǎng)的1/3，（2）每一條邊產(chǎn)生的四條新邊共生成四個(gè)小新三角形，每個(gè)小新三角形面積為原三角形面積的1/9。（見(jiàn)圖5-

23、1）圖5-1這樣，得到如下遞推公式而當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，周長(zhǎng)變?yōu)?, 面積變?yōu)橐粋€(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)：它可以寫為于是計(jì)算出和處理以上的無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題即可。2）實(shí)驗(yàn)步驟In1:= pn=Limit3*(4/3)n,n->InfinityOut1= InfinityIn2:= an=Sqrt3/4+Sqrt3/12*NSum(4/9)n,n,0,InfinityOut2= 0.4 Sqrt3因此，當(dāng)分形不斷增多時(shí)，產(chǎn)生圖形的周長(zhǎng)趨于無(wú)窮大，而面積是有限數(shù)0.4。5.5思考與提高1   怎樣借助數(shù)學(xué)軟件判別級(jí)數(shù)a1+a2+a3+ak+的斂散？用如下級(jí)數(shù)試驗(yàn)?zāi)愕淖龇ǎ?） 

24、  1+1/3+1/5+¼+1/(2n-1)+2）   1-1/2+1/3-¼+(-1) k-11/k+2   怎樣求冪級(jí)數(shù)的收斂域？3   怎樣判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)是條件收斂的？5.6練習(xí)內(nèi)容1.計(jì)算下列各和式： 1）                         

25、;  2）  3)                       4) 5）                      6）  2.

26、判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：1）                                      2） 3）          

27、;                      4） 5）                            

28、0;    6） 3求冪級(jí)數(shù)的收斂域？4.設(shè)f(x)= cosx, 0£ x £p ,將f(x)做偶延拓和奇延拓并在-3p,3p上畫出相應(yīng)的延拓圖形。5將f(x)=sin(x/2)在-p,p上展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)，并分別取展開(kāi)式的前兩項(xiàng)和前五項(xiàng)比較其展開(kāi)的逼近效果。6.公元前5世紀(jì)，哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家齊諾(Zeno)提出了四個(gè)被后來(lái)公認(rèn)為Zeno悖論的問(wèn)題。其中第二個(gè)問(wèn)題中，Zeno辯解說(shuō)，傳說(shuō)中的希臘英雄（Achilles）無(wú)論如何也趕不上一個(gè)烏龜：假設(shè)開(kāi)始時(shí)烏龜在Achilles前面100碼處，Achilles的速度是烏龜?shù)?0倍。當(dāng)Ach

29、illes跑完這100碼時(shí)，烏龜又向前跑了1碼，當(dāng)Achilles跑完這1碼時(shí)，烏龜又向前跑了0.1碼，如此下去，Achilles永遠(yuǎn)跑不過(guò)這只烏龜。你可以駁倒Zeno的辯解嗎？7. 某人為支持教育事業(yè)，一次性存入一筆助學(xué)基金，用于資助某校貧困生。假設(shè)該校每年末支取10，000元，已知銀行年利率為5%，如果該基金供學(xué)校支取的期限為20年，問(wèn)：此人應(yīng)存入多少資金？如果該基金無(wú)期限地用于支持教育事業(yè)，此人又應(yīng)該存入多少資金？8.市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的同時(shí)刺激了大量公司成立與破產(chǎn)。據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)，某地區(qū)平均每年有5000家新公司申請(qǐng)成立，同時(shí)又有若干比例的公司破產(chǎn)倒閉，其年破產(chǎn)率為20%，試考慮30年后有多

30、少家公司幸存？如果一直這樣持續(xù)下去，又會(huì)有多少家公司幸存？第6章  方程求根與解常微分方程6.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?了解微分方程的通解、特解和近似解的概念。熟悉方程求根和常微分方程解的概念，熟悉Mathematica軟件的方程求根和求常微分方程解的命令，掌握用數(shù)學(xué)軟件處理方程求根和常微分方程解的有關(guān)問(wèn)題6.2實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備6.2.1數(shù)學(xué)概念1  微分方程2  微分方程的通解、特解6.2.2數(shù)學(xué)軟件命令1.  Solveeqn, x功能：求多項(xiàng)式方程eqn的所有根，當(dāng)多項(xiàng)式方程的次數(shù)n£4時(shí)，給出eqn所有根的準(zhǔn)確形式, 當(dāng)n>4時(shí)，不一定能求出所有的根,

31、 此時(shí)，命令輸出形式為            ToRulesRootseqn, x                           n次多項(xiàng)式方程的一般形式為:a0 +a1x+ a2x 2 +a nx n  = 0式中a0 ,a1, a

32、2,a n為常數(shù)。                           2. Solveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk功能：求多項(xiàng)式方程組eqn1, eqn2, , eqnk的所有根, 當(dāng)其中每個(gè)多項(xiàng)式方程的次數(shù)n£4時(shí), 給出所有根的準(zhǔn)確形式, 否則，不一定能求出所有的根, 此時(shí)，命令輸出形式為T

33、oRulesRootseqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk 。3.  NSolveeqn, x功能：求多項(xiàng)式方程eqn的所有根的近似形式。                     4. NSolveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk功能：求多項(xiàng)式方程組eqn1, eqn2, , eqnk所有根的近似形式。5.  FindRoot

34、eqn, x, x0功能：求方程eqn的在初值x0附近的一個(gè)近似根。                                             &

35、#160;      6.  FindRooteqn1,eqn2, . , x, x0, y, y0, .     功能：求方程組eqn1, eqn2, 在初值(x0,y0,)附近的一個(gè)近似根。7.DSolveeqn，yx，x   功能：求常微分方程eqn的通解y=f(x,C).8.DSolveeqn，初始條件，yx，x 功能：求常微分方程eqn滿足初始條件的特解.9.DSolveeqn1,eqn2, . , y1x,y2x, . , x  &#

36、160; 功能：求常微分方程組eqn1,eqn2, . 的解.10.NDSolve eqns, y, x, xmin, xmax 功能：求出自變量范圍為xmin, xmax且滿足給定常微分方程及初值條件eqns的未知函數(shù)y的數(shù)值解. 得到的解是以未知函數(shù)名->InterpolatingFunctionrange, <>的形式給出的,其中的InterpolatingFunctionrange, <>是所求的插值函數(shù)表示的數(shù)值解, range就是所求數(shù)值解的自變量范圍。11.NDSolve eqns, y1,y2, . , x, xmin, xmax 功能：求出自變量

37、范圍為xmin, xmax且滿足給定常微分方程及初值條件eqns的未知函數(shù)y1,y2, . 的數(shù)值解。6.3實(shí)驗(yàn)任務(wù)6.3.1基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn) 本實(shí)驗(yàn)熟悉數(shù)學(xué)軟件命令操作。1. 求下列代數(shù)方程的根1）設(shè) x3 -4x 2 +9x - 10 = 0 ，求方程的所有根。2）設(shè)x 2 -ax - 4b=0，求方程的所有根，a，b 為常數(shù)。   3）求方程組                   

38、0;                                                的所有根。 

39、; 4）設(shè) x6 -x2 +2x - 3 = 0 ，求方程的所有根。  5）求方程組                             的所有根，這里x1 ，x2，a1，a2 是變量。2   求下列超越方程的解1）   求方程組   

40、                          在(1,2)附近的根    2）求方程e x/2 sin x = 2在0, 3內(nèi)的所有根。 3.求解下列微分方程1)求常微分方程y¢ =2ax的通解，a為常數(shù)2)求常微分方程y¢¢ +y =0的通解3)求常微分方程的特解。4)求方程組且滿

41、足的特解5)求微分方程初值問(wèn)題y¢=x+y,y(0)=1在區(qū)間0,1內(nèi)的數(shù)值解6) 求，滿足的特解6.3.2探索實(shí)驗(yàn)  本實(shí)驗(yàn)探索最速降線問(wèn)題。4. 一初始速度為零的質(zhì)點(diǎn)，僅受到重力的作用，沿光滑固定的曲線由定點(diǎn)滑行到定點(diǎn) (低于，但不在同一鉛直線上)為使滑行的時(shí)間最短，確定該曲線具有什么形狀的問(wèn)題稱為最速降線問(wèn)題（如圖6-1）。理論推導(dǎo)得出該最速降線可以由如下微分方程描述：           且 請(qǐng)給出該最速降線的曲線方程。    

42、                                 圖6-16.3.3應(yīng)用實(shí)驗(yàn)   本實(shí)驗(yàn)研究傳染病傳播問(wèn)題。5.一艘游船載有1000人,一名游客患了某種傳染病，10小時(shí)后有2人被傳染發(fā)病。由于這種傳染病沒(méi)有早期癥狀，故傳染者不能被及時(shí)隔離。假設(shè)

43、直升飛機(jī)將在50至60小時(shí)將疫苗運(yùn)到，試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù)。6.4實(shí)驗(yàn)過(guò)程11）In1: = Solvex3-4x2+9x-10=0,x  Out1= x -> 1 - 2 I, x -> 1 + 2 I, x -> 2 所以，所求全部根為 x1=1-2I，x2=1+2I ， x3=2， I為虛數(shù)單位。2）In2: = Solvex2-a*x-4*b=0,x Out2= 所求全部根為3）In3: = Solvex+3y=0,x2+y2=1,x,y  Out3= 所求全部根為     &

44、#160;  4）In4: = Solvex6-x2+2x-3=0 , x  Out4= ToRulesRoots2 x x2 + x 6 = = 3, x    此結(jié)果說(shuō)明求不出準(zhǔn)確根, 改用NSolve命令  In5: = NSolvex6-x2+2x-3=0,x Out5= x -> -1.40825, x -> -0.465869 - 1.19413 I,  x -> -0.465869 + 1.19413 I,       &#

45、160;  x -> 0.608047 - 0.885411 I,  x -> 0.608047 + 0.885411 I, x -> 1.12389 得所求全部6個(gè)近似根為    x1=-1.40825, x2=-0.465869- 1.19413 I,  x3=-0.465869 + 1.19413 I, x4= 0.608047 - 0.885411 I,  x5= 0.608047 + 0.885411 I, x6= 1.12389 , I為虛數(shù)單位。5）In6:=Solvea1+a2=1,

46、0;                x1*a1+x2*a2=1/4,                 x12*a1+x22*a2=1/9,             

47、60;    x13*a1+x23*a2=1/16,                  a1,a2,x1,x2Out6=        In7: = N%                &#

48、160;                  （*顯示根的近似形式*）        Out7=a1 -> 0.281461, a2 -> 0.718539, x2 -> 0.112009, x1 -> 0.602277,          

49、60;a1 -> 0.718539, a2 -> 0.281461, x2 -> 0.602277, x1 -> 0.112009In8: = N%, 8                        （*顯示根取8位有效數(shù)字的近似值*）Out8= a1 -> 0.28146068, a2 -> 0.71853932, x2 -&g

50、t; 0.11200881, x1 -> 0.60227691,        a1 -> 0.71853932, a2 -> 0.28146068,  x2 -> 0.60227691, x1 -> 0.112008812.1）In1: = FindRootx=y2,y=Cosx,x,1,y,2  Out1= x -> 0.641714, y -> 0.801071  所求的根為     x= 0.641714, 

51、; y = 0.801071。2)      In2: = PlotSinx*Expx/2-2,x,0,3       （*畫出方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)在0,3內(nèi)的圖形*）輸出圖形為Out2= -Graphics-                    （*圖中可知方程在1.5和2.5附近有根*）In3: =

52、 FindRootSinx*Expx/2-2=0,x,1.5    （*求方程在1.5附近的根*）Out3= x -> 1.41171 In4: = FindRootSinx*Expx/2-2=0,x,2.5   （*求方程在2.5附近的根*）Out4= x -> 2.54786 所求根為x1 = 1.41171  , x2= 2.54786。3. 1)In1:= DSolvey'x=2a*x,yx,x Out1= yx -> a x 2  + C1 即得本問(wèn)題的通解  2) I

53、n2:= DSolvey''x+yx=0,yx,x  Out2= yx -> C2 Cosx - C1 Sinx  即得本問(wèn)題的通解:    C1，C2是任意常數(shù)。 3) In3:= DSolvey'x=x/yx+yx/x,y1=2,yx,x  Out3= yx -> Sqrtx2 (4 + 2 Logx)   本問(wèn)題的特解為:下面的操作可以檢驗(yàn)所求特解的正確性:In4:= yx_:= Sqrtx2*(4+2Logx)  （*將所求特解定義為一個(gè)函數(shù)*）In5= y1&

54、#160;                          （*檢驗(yàn)初始條件y1=2*）Out5=2                    

55、0;         （*初始條件成立*）In6:= Dyx,x-x/yx-yx/x;     （*將微分方程左端項(xiàng)與右端項(xiàng)相減*）In7:= Simplify%                    （*化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)果*）Out7= 0    

56、60;                        （*說(shuō)明所求特解正確*）4）In8:= DSolvex't=yt+1,                    y

57、9;t=xt+1,                    x0= -2,                     y0=0,       &

58、#160;            xt,yt,tOut8:=5) In9:= NDSolvey'x=x+yx,y0=1,y,x,0,1Out9= y -> InterpolatingFunction0., 1, <>上面顯示的是所求數(shù)值解的替換形式，為得到本問(wèn)題數(shù)值解，再鍵入:In10:= f=y/.%1    （*把InterpolatingFunction0., 0.5, <>賦值給變量f*）Out10= Inte

59、rpolatingFunction0., 1, <>In11:= Plotfx,x,0,1    （*畫出所求未知函數(shù)數(shù)值解的圖形*）輸出圖形為 Out11= -Graphics-In12:= Tablefx,x,0,0.5,0.1      （*計(jì)算數(shù)值解在0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5的值*）Out12= 1., 1.11034, 1.24281, 1.39972, 1.58365, 1.79744   6) In13:= DSolvey''x-y&#

60、39;x=x,y0=0,y'0=0,yx,x Out13=4.1）  分析： 由于所給微分方程不能直接用DSolve解出，借助換元法將其轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程的形式。令，再由可解出，于是，然后積分得到，即得到一個(gè)參數(shù)解程序如下：2）  實(shí)驗(yàn)操作In1:= y=c*(1-Cos2*t)/2；      yt=Dy,t；      yx=Sqrtc/y-1；      xt=yt/yx；  

61、    x=Integratext,t；      Print"x=",x      Print"y=",y輸出的結(jié)果為：                          代入，可以得到令，則有最速降線方程為   其中為參量，為待定參數(shù)從方程可