第26章 二次函數(shù)全章總結

1、第26章 二次函數(shù)全章總結本章總結歸納（一）知識框架（二）重點難點突破1函數(shù)圖象的理解與應用易錯點：函數(shù)圖象的意義認識不表，它的性質、特征與函數(shù)圖象聯(lián)系不上，不能達到數(shù)形互助；突破點：加強對函數(shù)圖象中點的坐標的意義認識，分析各點的坐標，理解隨的變化情況，從而達到能直接根據圖象說出二次函數(shù)的有關性質。（如：增減性、極值、對稱軸等）理解的值對拋物線的影響，提高解題效率2.拋物線的特征與符號：決定開口方向與決定對稱軸位置決定拋物線與軸交點的位置易錯點：以上關系不清楚，導致做題盲目，出錯。突破點：數(shù)形結合，變式訓練，特別是與一走決定對稱軸位置的理解與判定。3解析式之間的轉化與解析式的求法。易錯點：將化

2、成頂點式用待定系數(shù)法求解時，不能根據不同條件恰當?shù)剡x取解析式。突破點：強調配方的步驟、配方的規(guī)律，注意恒等變形與檢驗。比較不同形式的解析式的優(yōu)劣，應用的環(huán)境，加強對頂點式、交點式的理解，并能正確運用。4拋物線的平移規(guī)律，表達式的變化。易錯點：拋物線的移動，對解析式變化理解不透，不同方向的移動，到底是加還是減判斷不清。突破點：抓住頂點坐標的變化，熟記平移規(guī)律，左加右減，上加下減。5拋物線與軸交點情況。易錯點：此類題綜合性較大，對應關系不很明確，隱含條件較多，極易出錯。突破點：拋物線與軸交點橫坐標就是相應一元二次方程的兩根，把交點的個數(shù)轉化為方程。根的個數(shù)，把交點位置轉化為方程根的正負，多加練習，

3、方可過關。6利用二次函數(shù)解決實際問題。易錯點：題意不清，信息處理不當。選用哪種函數(shù)模型解題，判斷不清。忽視取值范圍的確定，忽視圖象的正確畫法。將實際問題轉化為數(shù)學問題，對學生要求較高，一般學生不易達到。突破點：反復讀題，理解清楚題意，對模糊的信息要反復比較。加強對實際問題的分析，加強對幾何關系的探求，提高自己的分析能力。注意實際問題對自變量取值范圍的影響，進而對函數(shù)圖象的影響。注意檢驗，養(yǎng)成良好的解題習慣。整合拓展創(chuàng)新類型之一 用等定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例1 已知二次函數(shù)的圖象過和三點，求其解析式?！痉治觥坷么ㄏ禂?shù)法可求。解：設二次函數(shù)的解析式為。由已知得，解之得所以此二次函數(shù)的解析式為

4、【點評】此題是典型的根據三點坐標求其解析式，關鍵是熟悉待定系數(shù)法；點在函數(shù)圖象上時，點的坐標滿足此函數(shù)的解析式；會解簡單的三元一次方程組。例2已知二次函數(shù)的函數(shù)經過原點，且當時，有最小值是-1，求這個二次函數(shù)的解析式?！痉治觥坑深}意知（1，-1）是拋物線的頂點坐標，故可選用頂點式求解。解：根據題意知拋物線的頂點坐標為（1，-1）故可設拋物線為又因為此拋物線過點(0,0)所以，即所以此二次函數(shù)的解析式為，即?！军c評】此題用頂點式求解較易，用一般式也可以求出但仍要利用頂點坐標公式，大家可以試著用一般式求解。比較出它們的優(yōu)劣。例3 如圖26-1，拋物線經過點（-1，-1），對稱軸為，在軸上截得的線段

5、長為，求其解析式?！痉治觥考僭O拋物線與軸的兩個交點分別為（），則A與B關于直線（對稱軸）對稱，由軸對稱可知點A、點B到對稱軸的距離都等于，所以，如圖26-1所示，然后用兩根式求函數(shù)解析式。解：設拋物線與軸的兩個交點分別為（），因為拋物線在軸上截得的線段長為，且對稱軸為，所以，設拋物線解析式為 把（-1，-1）代入得，解得，所以,即?！军c評】注意利用拋物線的對稱性。已知拋物線與軸的兩個交點坐標時，可選用交點式：為兩交點的橫坐標。類型二 根據拋物線的不同位置，確定的值。例4 已知二次函數(shù)的圖象如圖26-2所示，則下列結論中正確的判斷是（ ） A B C D解:因為拋物線開口向下,所以,故正確;又因

6、為拋物線與軸的交點在軸的正半軸上,所以故錯誤; 由拋物線與軸有兩個不同的交點,知所以正確; 因為對稱軸在軸左側,所以同號,故,所以錯誤.【答案】D.【點評】熟悉對拋物線的影響.變式題 已知二次函數(shù)的圖象如圖26-3所示,下列結論中: 正確的個數(shù)是( )【解析】根據開口方向、對稱軸知，根據拋物線與軸的交點在軸的正半軸上知。所以，故正確；由對稱軸是知，故正確；根據點和點的位置知，故正確。根據拋物線的位置知都正確?！敬鸢浮緼。類型三 二次函數(shù)與二次方程關系的應用例5圖26-4，圖中拋物線的解析式為，根據圖象判斷下列方程根的情況。(1) 方程的兩根分別為 (2) 方程的兩根分別為 (3) 方程的根的情

7、況是 (4) 方程的根的情況是 【分析】拋物線與直線的交點的橫坐標即為方程的根，故可根據圖象可直接判斷。解：在同一坐標系內，分別作直線看它們與拋物線的交點個數(shù)及交點橫坐標。（1）因為拋物線與軸兩個交點為所以方程的兩根為（2）因為拋物線與直線只有一個交點，所以方程的兩根為（3）因為拋物線與直線有兩個交點，所以方程有兩個不相等的實根。（4）因為拋物線與直線沒有交點，所以方程沒有實根?！敬鸢浮浚?），（2），（3）兩個不相等的實根，（4）沒有實根。【點評】此題充分選用拋物線與方程之間的關系看一元二次方程的根，各種情況都包括其中，注意理解。例6 已知拋物線與軸相交于兩點，求的取值范圍?！痉治觥繏佄锞€與

8、軸相交于兩點，則，另，由此可求的取值范圍。解：由題意可得即解得所以的取值范圍是且。【點評】解這一類型題目，除了考慮拋物線與軸的交點個數(shù)與值關系，常常要考慮二次項系數(shù)不等于零的隱含條件，注意練習。變式題 已知二次函數(shù)的圖象最低點在軸上，求的值。解：由題意可得，即解得 （舍去）。所以的值為2。類型之四 拋物線的平移、對稱例7 （1）拋物線向左平移3個單位，再向下平移6個單位，所得拋物線的解析式是 。（2）拋物線繞其頂點旋轉180后，所得拋物線的解析式是 。【解析】（1）先將拋物線化為頂點式：，再根據平移規(guī)律左加左減進行解答，得拋物線。（2）先將拋物線化為頂點式：旋轉后的拋物線形狀大小不變，頂點位置

9、不變，只是開口方向改變，故所求拋物線為?！敬鸢浮浚?）（或），（2）（或）?！军c評】解這一類題目，需將解析式化為頂點式，抓住頂點位置的改變，根據平移規(guī)律進行解答。拋物線反向后，不只是二次項系數(shù)改變，其他各項系數(shù)也隨之發(fā)生了改變。故仍需就頂點式進行解答。例8 已知二次函數(shù)，當從逐漸變化到1的過程中，它所對應的拋物線位置也隨之變動。下列關于拋物線的移動方向的描述中，正確的是（ ）A先往左上方移動，再往左下方移動B先往左下方移動，再往左上方移動C先往右上方移動，再往右下方移動D先往右下方移動，再往右上方移動【分析】因為所以頂點坐標是當時，頂點坐標是，當時，頂點坐標是，當時，頂點坐標是，所以由頂點的位

10、置可知先向右上方移，再向右下方移所以選擇C。【點評】此題很新穎，撇開了傳統(tǒng)的平移模式，但思維點仍不變，即抓住了頂點的位置變化看平移情況，是一個難得的好題。例9 已知拋物線C1：（1）拋物線C2與拋物線C1關于軸對稱，則拋物線C2的解析式為 （1）拋物線C3與拋物線C1關于軸對稱，則拋物線C3的解析式為 【解析】畫出草圖26-6比較拋物線的頂點變化，從而求解。解：因為拋物線C2與拋物線C1關于軸對稱，所以它們的頂點也關于軸對稱，又因為拋物線C1的頂點為（2，3）所以拋物線C2的頂點為（-2，3）所以拋物線C2的解析式為同理可求得拋物線C3頂點為（2，-3）。所以拋物線C3的解析式為。【點評】此類

11、題很靈活，但若能看出頂點變化情況，而形狀大小不變時，又很容易。類型之五 二次函數(shù)的實際應用例10 某公司年初推出一種高新技術新產品，該新產品銷售的累積利潤（萬元）與銷售時間（月）之間的關系（即前個月的利潤總和與之間的關系）為。(1)求出這個函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸；(2)請在所給坐標系中畫出這個函數(shù)的簡圖；(3)根據函數(shù)圖象，你能否湊數(shù)出公司的這種新新產品銷售累積利潤是從什么時候開始盈利的？(4)這個公司第6個月所獲的利潤是多少？【分析】畫函數(shù)圖象時，注意帶來的變化。根據圖象進行分析。解；（1）由得函數(shù)圖象的頂點坐標為（2，-2），對稱軸為直線；（2）如圖26-8所示；（3）從函數(shù)圖象可以看

12、出，從4月份開始新新產品的銷售累積利潤盈利。當時，。當時，所以這個公司第6個月所獲的利潤是3。5萬元?！军c評】數(shù)形結合，理解函數(shù)圖象的實際意義，累積利潤易理解錯，需特別注意。例11 某商場購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元售出，那么每月可售出500個，根據銷售經驗，食欲每提高1元，銷售量相應減少10個。（1）假設銷售單價提高元，那么銷售每個籃球所獲得的利潤是 元；這種籃球每月的銷售量是 個（用含的代數(shù)式表示）。（2）8000元是否為每月銷售這種籃球的最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請你求出最大利潤，此時籃球的售價應定為多少元？解：（1）；（2）設月銷售利潤為元，由題意得整理得

13、當時，的最大利潤為9000元。20+50=70（元）答8000不是最大利潤，最大利潤為9000元。此時籃球的售價為70元。【點評】（1）題設計了兩個問題，一是每個籃球的利潤，二是每月的銷售個數(shù)，這（2）題解答鋪平了道路，要會利用二次函數(shù)的最值，解決實際問題。例12 如圖26-9（1）三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩個小孔形狀、大小都相同，正常水位時，大孔水面寬度AB=20米，頂點M距水面6米（即MO=6米）小孔頂點N距水面，（即NC=），當水位上漲剛好淹沒小孔時，借助圖26-9（2）中的直角坐標系，求此時大孔的水面寬度EF?！窘馕觥扛鶕D中直角坐標系知拋物線的頂點M（0，6），B（10，0

14、），故可求拋物線的解析式，再根據E，F(xiàn)，N三點的縱坐標相同，都為4.5，可求E，F(xiàn)的橫坐標，從而求出水面寬EF。解；沒拋物線解析式為依題意得，又B（10，0）在拋物線上，所以：，解得所以當時，解得所以E，F(xiàn)所以EF=10，即水面寬度為10米?！军c評】解題的關鍵有兩點：（1）建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺说冢ù祟}題中已給出）。（2）點的坐標未直接給出，要結合題意去理解，拋物線的解析式通常要求出來。例13 某廣告公司設計一幅周長為12米的矩形廣告牌，廣告設計費為每平方米1000元，該矩形一邊長為米，面積為S平方米。(1)求出S與之間的函數(shù)關系式，并確定自變量的取值范圍。(2)請你設計一個方案，使獲得的設計

15、費最多，并求出這個費用。(3)為使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請你按要求設計，并計算出可獲得的設計費的多少（精確到元）？（參考資料：當矩形的長是寬與“長+寬”的比例中項時，這樣的矩形叫做黃金矩形。【解析】（1）若矩形的長為米，則寬為（6-）米，由長、寬均有意義，可確定的取值范圍。（2）S最大時，設計費最多，可根據二次函數(shù)的極值求出。（3）的值應當是一個具體的值，可求。解：（1）因為矩形一邊長為米，周長為12米，所以矩形的寬為（6-）米。所以，（2）由（1）知所以，當時，S取最大值為9。9×1000=9000（元）。所以廣告牌設計成正方形時，可獲得設計費最多，此時設計費為900

16、0（元）。（3）根據題意，得整理得，因為，所以（米），（米）=1000S（元）。因此，應設計成長為,寬為,此時,設計費是8496元.【點評】（1）(2)問為常規(guī)的二次函數(shù)與幾何面積的綜合題,利用二次函數(shù)的性質可以解決,(3)問從美觀的角度考慮,很新穎,有意義. 中考名題欣賞1.（2006陜西） 如圖26-10,拋物線的函數(shù)表達式是ABCD【解析】設拋物線的解析式為，則有解得所以，故選擇D?！军c評】利用三點坐標求解析式仍是二次函數(shù)的一個重要內容，不能忽視。2（2006浙江金華）二次函數(shù)的圖象如圖26-11所示，則下列結論：，其中正確的個數(shù)是（ ）A0個 B1個 C2個 D3個【解析】因為拋物線的

17、開口向下，故，所以錯誤；又因為拋物線與軸的正半軸相交，所以，故正確；又因為拋物線與軸有兩個不同的交點，所以，故正確。綜上所述，應選C。【點評】此題主要是利用對拋物線的影響來解，另時，拋物線與軸有兩個不同的交點。3（2006杭州）有3個二次函數(shù)，甲：；乙：；丙： 則下列敘述中正確的是（ ）A甲的圖形經過適當?shù)钠叫幸苿雍螅梢耘c乙的圖形重合B甲的圖形經過適當?shù)钠叫幸苿雍?，可以與丙的圖形重合C乙的圖形經過適當?shù)钠叫幸苿雍?，可以與丙的圖形重合D甲、乙、丙3個圖形經過適當?shù)钠叫幸苿雍螅伎芍睾?。解：丙：故只有甲、乙通過平移圖形可以重合。所以應選B。【點評】兩拋物線的表達式中：只有二次項系數(shù)相同時，兩拋物

18、線才能通過平移而重合。4一輛電瓶車在實驗過程中，前10秒行駛的路程S（米）與時間（秒）滿足關系式，第10秒末開始勻速行駛，第24秒末開始剎車，第28秒末停止離終點20米處，圖26-12是電瓶車行駛過程中每2秒記錄的一次的圖象。（1）求電瓶車從出發(fā)到剎車時的路程S（米）與時間（秒）的函數(shù)關系式。（2）如果第24秒末不剎車繼續(xù)勻速行駛，那么出發(fā)多少秒后通過終點？（3）如果10秒后仍按的運動方式行駛，那么出發(fā)多少少后通過終點？解：當時，點（10，10）在上，可解得，。當，由圖象可設一次函數(shù)，過（10，10），（24，28），可得，（2）當S=40+20=60時， ，即如果第24秒末不剎車繼續(xù)勻速行駛

19、，第35秒可通過終點。（3）當進，由可得，（負值舍去）所以，即出發(fā)約25秒通通過終點?！军c評】這是一個分段函數(shù)習題，綜合了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質，分析過程中需注意時間段和對應函數(shù)的選擇。5已知：半徑為1的與軸交于A，B兩點，圓心O1的坐標為（2，0），二次函數(shù)的圖象經過A，B兩點，其頂點為F。（1）求的值，及二次函數(shù)的頂點F的坐標；（2）寫出將二次函數(shù)的圖象向下平移1個單位，再向左平移2個單位的圖象的函數(shù)表達式；（3）若經過原點O的直線與相切，求直線的函數(shù)表達式。解：（1）由由已知得A（1，0），B（3，0），由題意有解得所以所以頂點F（2，1）（2）（3）設經過原點O的直線與相切于點

20、C。則設點C的坐標為，則，得 ,由圖的對稱性，另一條直線的解析式是?！军c評】此題綜合性較強，但仍注重了基礎長春市考查。6（2006杭州）杭州體博會期間，嘉年華游樂場投資150萬元引進一項大型游樂設施，若不計維修保養(yǎng)費用，預計開放后每月可創(chuàng)收33萬元，而該游樂設施開放后，從第1個月到第個月的維修保養(yǎng)費用累計為萬元，且，若維修保養(yǎng)費用第1個月為2萬元，第2個月為4萬元；若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費用稱為游樂場的純收益萬元，也時關于的二次函數(shù)。（1）求關于的解析式；（2）求純收益關于的解析式；（3）問設施開放幾個月后，游樂場的純收益達到最大？幾個月后能收回投資？解：（1）由題意，時，；時，代入，解得

21、，所以；（2）純收益；（3），即設施開放16個月后，游樂場的純收益最大；又在時，隨著的增大而增大，當時，；而當時，所以6個月后能收回投資。【點評】易錯點：時，；易混點：幾個月后能收回投資，一方面，另一方面月數(shù)為正整數(shù)；利用二次函數(shù)的極值解題，是常用的數(shù)學模型，注意總結、體會。二次函數(shù)圖象信息題的解法二次函數(shù)圖象信息題，是根據拋物線在直角坐標系的位置信息（包括開口方向、對稱軸位置、與坐標綱交點等）來確定其解析式及相關問題的一種題型，這種題型，簡稱圖象信息題，解決這類問題的關鍵是運用數(shù)形結合的思想和方法，抓住規(guī)律進行分析和推理。一、掌握規(guī)律由二次函數(shù)（）的圖象位置判定系數(shù)及判別式符號的方法可以歸納

22、成下表：序號判別目標判別方法1的符號開口向上開口向下2的符號對稱軸在軸左邊同號對稱軸在軸右邊異號對稱軸為軸3的符號交點位于軸正半軸交點位于軸負半軸交點在原點4的符號拋物線與軸相交拋物線與軸相切拋物線與軸相離二、實例說明下面例子均選自各地中考試卷，可以看出這類試題是中考命題的熱點。例1二次函數(shù)（）的圖象如圖26-15所示，則下列結論成立的是（ ）A，B，C，D解：由表中方法1，3，易知，；對稱軸在軸在軸右側，同號，即，于是得，選D。例2二次函數(shù)（）的圖象如圖26-16所示，則點在直角坐標系中的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：本題關鍵是判別的符號，然后再判別的符號，由方法1，2，3易知，進而易知，故該點位于第三象限，選C。例3二次函數(shù)（）的圖象如圖26-17所示，則的大小關系是（ ）ABCD的大小關系不能確定解：由方法1，2，3易知，；