第2講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 學(xué)生版

1、 戴氏教育教師教學(xué)講義 一.課標(biāo)要求:1.能畫出 y =sin x , y =c os x , y =ta n x 的圖像,了解三角函數(shù)的周期性;2.借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在 0, 2,正切函數(shù)在(-/2, /2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大和最 小值、圖像與 x軸交點(diǎn)等 ;3.結(jié)合具體實(shí)例,了解 y =A sin (w x +的實(shí)際意義;能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出 y =A sin (w x +的圖像, 觀察參數(shù) A , w , 對函數(shù)圖像變化的影響。近幾年高考降低了對三角變換的考查要求,而加強(qiáng)了對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查,因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研 究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容,是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)

2、學(xué)科的基礎(chǔ),又是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具,因此三角函數(shù) 的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來,即利用圖象的直觀性 得出函數(shù)的性質(zhì),或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì),同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函 數(shù)的圖象,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。預(yù)測高考對本講內(nèi)容的考察為:1.題型為 1道選擇題(求值或圖象變換 , 1道解答題(求值或圖像變換 ;2.熱點(diǎn)問題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),特別是 y =A sin (w x +的圖象及其變換;1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像 2.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:x y si

3、n =的遞增區(qū)間是 +-2222k k , (Z k ,遞減區(qū)間是 +23222k k , (Z k ; x y cos =的遞增區(qū)間是 k k 22, - (Z k ,遞減區(qū)間是 +k k 22, (Z k ,x y tan =的遞增區(qū)間是 +-22k k , (Z k ,3.函數(shù) B x A y += sin( , (其中 00>>A最大值是 B A +,最小值是 A B -,周期是 2=T ,頻率是 2=f ,相位是 +x ,初相是 ;其圖象 的對稱軸是直線 (2Z k k x +=+,凡是該圖象與直線 B y =的交點(diǎn)都是該圖象的對稱中心。4.由 y =sin x 的圖象變

4、換出 y =sin(x + 的圖象一般有兩個(gè)途徑,只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑,才能靈活進(jìn)行 圖象變換。 利用圖象的變換作圖象時(shí),提倡先平移后伸縮,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn) 無論哪種變形,請切記每一個(gè)變 換總是對字母 x 而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少。途徑一:先平移變換再周期變換 (伸縮變換 先將 y =sin x 的圖象向左 (>0 或向右 (<0=平移|個(gè)單位, 再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?1倍 (>0 ,便得 y =sin(x + 的圖象。途徑二:先周期變換 (伸縮變換 再平移變換。 先將 y =sin x 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

5、1倍 (>0 , 再沿 x 軸向左 (>0 或向右 (<0=平移|個(gè)單位,便得 y =sin(x + 的圖象。5.由 y =A sin(x + 的圖象求其函數(shù)式:給出圖象確定解析式 y =A sin (x +的題型,有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)(-, 0作為突破口,要 從圖象的升降情況找準(zhǔn) . 第一個(gè)零點(diǎn)的位置。6.對稱軸與對稱中心:sin y x =的對稱軸為 x k =+,對稱中心為 (,0 k k Z ; cos y x =的對稱軸為 x k =,對稱中心為 (,0k +; 對于 sin( y A x =+和 cos( y A x =+來說,對稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系,對稱

6、軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。7.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式,要特別注意 A 、 的正負(fù) 利用單 調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù) , 并且在同一單調(diào)區(qū)間;8.求三角函數(shù)的周期的常用方法:經(jīng)過恒等變形化成“ sin( y A x =+、 cos( y A x =+”的形式,在利用周期公式,另外還有圖像法 和定義法。9.五點(diǎn)法作 y =A sin (x +的簡圖:五點(diǎn)取法是設(shè) x =x +,由 x 取 0、 2、 、 23、 2來求相應(yīng)的 x 值及對應(yīng)的 y 值,再描點(diǎn)作圖。題型 1:三角函數(shù)的圖象例 1. (2000全國, 5函數(shù) y =-xc os x 的部分圖象是(

7、例 2. (2002上海, 15函數(shù) y =x +sin|x |, x -, 的大致圖象是( 題型 2:三角函數(shù)圖象的變換例 3.試述如何由 y =31sin (2x +3的圖象得到 y =sinx 的圖象。例 4. (2003上海春, 15把曲線 yc os x +2y -1=0先沿 x 軸向右平移 2個(gè)單位,再沿 y 軸向下平移 1個(gè)單位,得到的曲線方程是( A . (1-y sin x +2y -3=0 B . (y -1 sin x +2y -3=0 C . (y +1 sin x +2y +1=0 D .-(y +1sinx +2y +1=0題型 3:三角函數(shù)圖象的應(yīng)用例 5.已知電

8、流 I 與時(shí)間 t 的關(guān)系式為 sin( I A t =+。 (1右圖是 sin( I A t =+(>0, |2<在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求 sin( I A t =+ 的解析式;(2如果 t 在任意一段 1150秒的時(shí)間內(nèi),電流 sin( I A t =+都能取得最大值和最小值,那么 的最小 正整數(shù)值是多少? 例 6. (1 (2003上海春, 18已知函數(shù) f (x =A sin (x + (A >0, >0, x R 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象 如圖所示,求直線 y =與函數(shù) f (x 圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)。 (2 (2002全國文 5,理 4在(0, 2內(nèi),使

9、 sin x >c os x 成立的 x 取值范圍為( A . (4, 2(, 45B . (4, C . (4,45 D . (4, (45, 23題型 4:三角函數(shù)的定義域、值域例 7. (1已知 f (x 的定義域?yàn)?, 1,求 f (c os x 的定義域; (2求函數(shù) y =lgsin(c os x 的定義域;戴氏教育集團(tuán) 戴氏精品堂學(xué)校 成龍總校 6 cos 4 x - 5 cos 2 x + 1 例 8 （2003 京春，18）已知函數(shù) f（x）= ，求 f（x）的定義域，判斷它的奇偶性， cos 2 x 并求其值域。 題型 5：三角函數(shù)的單調(diào)性 例 9求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

10、： （1）y= 1 2x sin（ ） ； （2）y=sin（x+ ）。 2 4 3 4 例 10 （2002 京皖春文，9）函數(shù) y=2sinx 的單調(diào)增區(qū)間是（ A 2k ） p 2 p 2 ，2k p 2 （kZ） B 2k ，2k 3p （kZ） 2 C 2k ，2k （kZ） D 2k ，2k （kZ） 題型 6：三角函數(shù)的奇偶性 例 11判斷下面函數(shù)的奇偶性：f（x）=lg（sinx+ 1 + sin2 x ） 。 戴氏教育集團(tuán) 戴氏精品堂學(xué)校 成龍總校 例 12 （2001 上海春）關(guān)于 x 的函數(shù) f（x）=sin（x+ j ）有以下命題： 對任意的 j ，f（x）都是非奇非偶

11、函數(shù)； 不存在 j ，使 f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)； 存在 j ，使 f（x）是奇函數(shù)； 對任意的 j ，f（x）都不是偶函數(shù)。 其中一個(gè)假命題的序號是_.因?yàn)楫?dāng) j =_時(shí)，該命題的結(jié)論不成立。 題型 7：三角函數(shù)的周期性 例 13求函數(shù) y=sin6x+cos6x 的最小正周期，并求 x 為何值時(shí)，y 有最大值。 分析：將原函數(shù)化成 y=Asin（ x+ j ）+B 的形式，即可求解。 例 14設(shè) f ( x = a sin wx + b coswx(w > 0 的周期 T = p ，最大值 f ( p 12 = 4， （1）求 w 、 a 、 b 的值； （2） 若a、b為方程f ( x = 0的兩根， a、b終邊不共線，求tan( a + b 的值。 題型 8：三角