第3章單自由度體系2(頻域)

1、第三章單自由度體系頻域分析頻域分析方法理論基礎(chǔ)Fourier變換該方法適用于處理線彈性結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)問題計算結(jié)果為體系的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)1. 單自由度體系對周期荷載的反應(yīng)依靠的基礎(chǔ)：單自由度體系對簡諧荷載反應(yīng)分析結(jié)果。具體實施方法：利用Fourier 級數(shù)展開法。限制條件：結(jié)構(gòu)體系是線彈性的。可使用疊加原理。 頻域分析方法的基本計算步驟：1、對外荷載p (t作Fourier 變換，得到荷載的Fourier 譜P ( ：2、根據(jù)外荷載的Fourier 譜P ( 和復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)H ( ，得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的頻域解Fourier譜U ( ：U (=H ( P ( 3、應(yīng)用Fourier 逆變換，由頻域解U ( 得

2、到時域解u (t：( (P t p F ( (t u U F逆 離散Fourier （DFT ）變換小結(jié)：應(yīng)用離散Fourier 變換時應(yīng)注意事項:1. 離散Fourier 變換將非周期時間函數(shù)周期化2. 由于第1點原因，對p (t要加足夠多的0點增大持續(xù)時間T p ，以保證在所計算的時間段0, T p 內(nèi)，體系的位移能衰減到03. 頻譜上限頻率f Nyquest =1/2t ，Nyquest =2f Nyquest4. 頻譜的分辨率為f =1/T p ，即=2/T p5. 頻譜的下限f 1=1/T p FFT 計算中取N=2m 。其計算思路：（1）將x k , k =0,1,2, ,(N -

3、1 劃分為許多較小的序列工作；（2）計算較短序列的DFT ；（3）利用DFT 周期性的特點，F(xiàn)FT 將這些短序列的DFT 以巧妙的方式組合，給出整個序列。( j X 4. 快速Fourier（FFT）變換 周期性的利用 Xj整個序列可以表示為： 2 j i 1 X j = (Y j + e N Z j 2 2 ( j + N / 2 i 1 N X j + N / 2 = (Y j + e Zj 2 j = 1, 2," , ( N / 2 1 W =e i 2 N e i = 1 1 X j = (Y j + W j Z j 2 1 X j + N / 2 = (Y j W j Z

4、 j 2 FFT計算 “蝴蝶” j = 1, 2," , ( N / 2 1 x k=x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 例 y k=x0 ,x2 t k=x0 T j =x 0 Y j X j FFT算法的邏輯步驟 z k =x1 ,x3 v k =x1 Vj =x1 Z j w k =x3 Wj =x3 uk=x2 U j=x 2 （1）當各序列xk只有一項時，其DFT值為： 1 Xj = N x e k =0 k N 1 i 2 kj N = x0 即單項序列的DFT等于該項自身。 T = x ,U = x ,V = x ,W = x j 0 j 2 j 1 j 3 （2）計

5、算Yj和Zj。此時， N/2=1，則 W =e 2 i N = e i = 1 1 X j = (Y j + W j Z j 2 1 X j + N / 2 = (Y j W j Z j 2 x k=x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 z k =x1 ,x3 v k =x1 Vj =x1 Z j X j w k =x3 Wj =x3 利用DFT變換，可得二項序列的DFT 1 Y0 = ( x0 + x2 2 1 Y1 = ( x0 x2 2 1 Z 0 = ( x1 + x3 2 1 Z1 = ( x1 x3 2 y k=x0 ,x2 t k=x0 T j =x 0 Y j uk=x2 U j=x 2 （3）計算Xj 。此時， N/2=2，則 W =e i 2 N FFT算法的邏輯步驟 = e i / 2 = i 利用DFT變換，可得四項序列的DFT 1 X 0 = ( x0 + x2 + x1 + x3 4 1 X 1 = ( x0 x2 i ( x1 x3 4 1 X 2 = x0 + x2 ( x1 + x3 4 1 X 3 = ( x0 x2 + i ( x1 x3 4 x0 x2 -1 2Y0 2Y1 -i/2 1 X j = (Y j + W j Z j 2 1 X j + N / 2 = (Y j W j Z j 2 W =e i 2 N = e i