現(xiàn)代控制理論第5章(續(xù)).

1、現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)5.6.3 二次型最優(yōu)控制問題現(xiàn)在我們來研究最優(yōu)控制問題。已知系統(tǒng)方程為&=Ax+Bu x(5.20)(5.21)(5.22) 確定最優(yōu)控制向量 u(t)=-Kx(t) 的矩陣K，使得性能指標 J=ò(xHQx+uHRu)dt0¥達到極小。式中Q是正定（或正半定）Hermite或實對稱矩陣，R是正定Hermite或實或實對稱矩陣。注意，式(5.22）右邊的第二項是考慮到控制信號的能量損耗而引進的。矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對重要性。在此，假設控制向量u(t)是不受約束的。正如下面講到的，由式(5.21）給出的線性控制律是最優(yōu)控制

2、律。所以，若能確定矩陣K中的未知元素，使得性能指標達極小，則u(t)=-Kx(t)對任意初始狀態(tài)x(0)而言均是最優(yōu)的。圖5.6所示為該最優(yōu)控制系統(tǒng)的結構方塊圖。圖5.6 最優(yōu)控制系統(tǒng)現(xiàn)求解最優(yōu)控制問題。將式(5.21）代入式(5.20），可得&=Ax-BKx=(A-BK)x x在以下推導過程中，假設A-BK是穩(wěn)定矩陣，A-BK的所有特征值均具有負實部。將式(5.21）代入（5.22），可得J=ò(xHQx+xHKHRKx)dt0¥=òxH(Q+KHRK)xdt0¥依照解參數(shù)最優(yōu)化問題時的討論，取現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)xH(Q+KHRK)

3、x=-dH(xPx) dt式中的P是正定的Hermite或實對稱矩陣。于是&HPx-xHPx&=-xH(A-BK)HP+P(A-BK)x xH(Q+KHRK)x=-x比較上式兩端，并注意到方程對任意x均應成立，這就要求(A-BK)HP+P(A-BK)=-(Q+KHRK)(5.23）的正定矩陣P。 (5.23) 根據(jù)Lyapunov第二法可知，如果A-BK是穩(wěn)定矩陣，則必存在一個滿足式因此，該方法由式(5.23）確定P的各元素，并檢驗其是否為正定的（注意，這里可能不止一個矩陣P滿足該方程。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則總存在一個正定的矩陣P滿足該方程。這就意味著，如果我們解此方程并能找到一

4、個正定矩陣P，該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。滿足該方程的其他矩陣P不是正定的，必須丟棄）。 性能指標可計算為J=òx(Q+KRK)xdt=-xPx0¥HHH¥0=-xH(¥)Px(¥)+xH(0)Px(0)由于假設A-BK的所有特征值均具有負實部，所以x(¥)®0。因此J=xH(0)Px(0)于是，性能指標J可根據(jù)初始條件x(0)和P求得。 (5.24)為求二次型最優(yōu)控制問題的解，可按下列步驟操作：由于所設的A是正定Hermite或實對稱矩陣，可將其寫為R=THT式中T是非奇異矩陣。于是，式(5.23）可寫為(AH-KHBH)P+P(A

5、-BK)+Q+KHTHTK=0上式也可寫為AHP+PA+TK-(TH)-1BHPHTK-(TH)-1BHP-PBR-1BHP+Q=0 求J對K的極小值，即求下式對K的極小值xHTK-(TH)-1BHPHTK-(TH)-1BHPx(見例5.21)。由于上面的表達式不為負值，所以只有當其為零，即當TK=(TH)-1BHP時，才存在極小值。因此K=T-1(TH)-1BHP=R-1BHP定義時，其最優(yōu)控制律是線性的，并由 (5.25) 式(5.25）給出了最優(yōu)矩陣K。所以，當二次型最優(yōu)控制問題的性能指標由式(5.22）u(t)=-Kx(t)=-R-1BHPx(t)現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)給出。式

6、(5.25）中的矩陣P必須滿足式(5.23），即滿足下列退化方程AHP+PA-PBR-1BHP+Q=0式(5.26）稱為退化矩陣黎卡提方程，其設計步驟如下： (5.26)1、求解退化矩陣黎卡提式(5.26），以求出矩陣P。如果存在正定矩陣P（某些系統(tǒng)可能沒有正定矩陣P），那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣。2、將矩陣P代入式(5.25），求得的矩陣K就是最優(yōu)矩陣。例5.9 是建立在這種方法基礎上的設計例子。注意。如果矩陣A-BK是穩(wěn)定的，則此方法總能給出正確的結果。確定最優(yōu)反饋增益矩陣K還有另一種方法，其設計步驟如下：1、由作為K的函數(shù)的式(5.23）中確定矩陣P。2、將矩陣P代入式(

7、5.24）,于是性能指標成為K的一個函數(shù)。3、確定K的各元素，使得性能指標為極小。這可通過令¶J/¶kij等于零，并解出kij的最優(yōu)值來實現(xiàn)J對K各元素kij為極小。這種設計方法的詳細說明見例5.11和5.12。當元素kij的數(shù)目較多時，該方法很不便。如果性能指標由輸出向量的形式給出，而不是由狀態(tài)向量的形式給出，即J=ò(yHQy+uHRu)dt 0¥則可用輸出方程y=Cx來修正性能指標，使得J為J=ò(xHCHQCx+uHRu)dt0¥(5.29)且仍可用本節(jié)介紹的設計步驟來求最優(yōu)矩陣K。-例5.9 研究如圖5.7所示的系統(tǒng)。假設控

8、制信號為u(t)=-Kx(t)試確定最優(yōu)反饋增益矩陣K，使得下列性能指標達到極小J=ò(xTQx+u2)dt 0¥式中é10ùQ=ê,úë0mûm³0由圖5.7可看出，被控對象的狀態(tài)方程為&=Ax+Bu x現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)式中é01ùA=ê,úë00ûé0ùB=êú ë1û圖5.7 控制系統(tǒng)以下說明退化矩陣黎卡提代數(shù)方程如何應用于最優(yōu)控制系統(tǒng)的設計。求解(5.26）

9、，將其重寫為AHP+PA-PBR-1BHP+Q=0注意到A為實矩陣，Q為實對稱矩陣，P為實對稱矩陣。因此，上式可寫為 é00ùép11p12ùép11p12ùé01ùú+êpúêê10úêpúpëûë1222ûë12p22ûë00û p12ùé0ùépép11p12ùé10ù&#

10、233;00ù-ê11101úê1úêpú+ê0mú=ê00úpppëûëû22ûëû22ûë12ë12該方程可簡化為0ùé0é0êpú+ê0p12ûë11ë2p11ùép12-êp12úûëp12p22p12p22ùé

11、10ùé00ùú+êú=ê00ú 20mp22ûëûëû由上式可得到下面3個方程21-p12=0p11-p12p22=02m+2p12-p22=0將這3個方程聯(lián)立，解出p11、p12、p22，且要求P為正定的，可得p12ùém+2ép1ùP=ê11=ú úêppm+2úê22ûë12ë1û參照式(5.25）,最優(yōu)反饋增益矩陣K為

12、K=P-1BHP現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)ép11=101êëp12=p12p22=1因此，最優(yōu)控制信號為 p12ùp22úû +2(5.28) u=-Kx=-x1-+2x2得出最優(yōu)結果。圖5.8是該系統(tǒng)的方塊圖。 注意，由式(5.28）給出的控制律對任意初始狀態(tài)在給定的性能指標下都能-5.7 二次型最優(yōu)控制問題的MATLAB解法在MATLAB中，命令lqr(A,B,Q,R)可解連續(xù)時間的線性二次型調(diào)節(jié)器問題，并可解與其有關的黎卡提方程。該命令可計算最優(yōu)反饋增益矩陣K，并且產(chǎn)生使性能指標。J=ò(x¢Qx+u&

13、#162;Ru)dt 0¥在約束方程&=Ax+Bu x條件下達到極小的反饋控制律u=-Kx另一個命令K,P,E=lqr(A,B,Q,R)也可計算相關的矩陣黎卡提方程現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)0=PA+AHP-PBRBHP+Q的唯一正定解P。如果A-BK為穩(wěn)定矩陣，則總存在這樣的正定矩陣。利用這個命令能求閉環(huán)極點或A-BK的特征值。對于某些系統(tǒng)，無論選擇什么樣的K，都不能使A-BK為穩(wěn)定矩陣。在此情況下。這個矩陣黎卡提方程不存在正定矩陣。對此情況，命令K=lqr(A,B,Q,R)K,P,E=lqr(A,B,Q,R)不能求解，詳見MATLAB Prgram 5.1。現(xiàn)代控制理

14、論基礎第五章(講義)-例5.10 考慮由下式確定的系統(tǒng)&1ùé-1éx=êêxúë&2ûë01ùéx1ùé1ù+êúu êúú2ûëx2ûë0û證明：無論選擇什么樣矩陣K，該系統(tǒng)都不可能通過狀態(tài)反饋控制u=-Kx來穩(wěn)定（注意，該系統(tǒng)是狀態(tài)不可控的）。定義K=k1則 k21ùé1ùé-1A-BK=

15、4;-êúk1k2 ú2ûë0ûë0é-1-k11-k2ù =êú02ëû因此特征方程為現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)sI-A+BK=s+1+k10-1+k2s-2=(s+1+k1)(s-2)=0閉環(huán)極點為s=-1-k1,s=2由于極點s=2在s的右半平面，所以無論選擇什么樣的矩陣K，該系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。因此，二次型最優(yōu)控制方法不能用于該系統(tǒng)。假設在二次型性能指標中的Q和R為é10ùQ=êú,R=1 01ëû

16、;并且寫出MATLAB Progam 5.1。所得的MATLAB解為K=NaNNaN其中NaN表示“不是一個數(shù)”。每當二次型最優(yōu)控制問題問題的解不存在時，MATLAB將顯示矩陣K由NaN組成。-例5.11 考慮下式定義的系統(tǒng)&=Ax+Bu x式中性能指標J為這里假設采用下列控制u é01ùé0ùA=êú,B=ê1ú0-1ëûëû ¥J=ò(x 'Qx+u'Ru)kt0é10ùQ=ê,R=1ú&

17、#235;01ûu=-Kx確定最優(yōu)反饋增益矩陣K。最優(yōu)反饋增益矩陣K可通過求解下列關于正定矩陣P的黎卡提方程得到A 'P+PA-PBR-1B'P+Q=0其結果為é21ùP=êúë11 û將該矩陣P代人下列方程，即可求得最可求得最優(yōu)矩陣K為現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)K=R-1B'P因此，最優(yōu)控制信號為 é21ù=101êú=1111ëûu=-Kx=-x1-x2利用MATLAB Program 5.2也能求解該問題。-例5.12 考慮下列系統(tǒng)

18、&=Ax+Bu x式中é0A=êê0êë-35109 -270ùé0ùê0ú1ú，B=úêúê-9úûë1úû現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)性能指標J為式中¥J=ò（x¢Qx+u¢Ru）dt0é100ùú,R=1Q=ê010êúêúë001 û求黎卡提

19、方程的正定矩陣R、最優(yōu)反饋增益矩陣K和矩陣A-BK的特征值。利用MATLAB Program 5.3，可求解該問題。-例5.13 考慮與例12.7中討論的相同的系統(tǒng)。該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為&=Ax+Bu xy=Cx+Du式中 é010ùé0ùú,B=ê0 ú,C=100,D=0A=ê001êúêúêêúë0-2-3úûë1 û現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)假設控制信號u為u=k1(r-x

20、1)-(k2x2+k3x3)=k1r-(k1x1+k2x2+k3x3)如圖3.9所示。在確定最優(yōu)控制律時，假設輸入為零，即r =0。 確定狀態(tài)反饋增益矩陣K（K=k1k2k3），使得性能指標 ¥J=ò(x¢Qx+u¢Ru)dt 0達到極小。這里éq11Q=êê0êë00q2200ùéx1ùéyùêxú=êyú&0ú,R=1,x=úê2úêúê

21、;&úq33úyûëx3úûêë&û為了得到快速響應，q11與q22、q33和R相比必須充分大。在該例中，選取為了利用MATLAB求解，可使用命令K=lqr(A,B,Q,R)由MATLAB Program 5.14，可得到該例題的解。現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)采用確定的矩陣K來研究所設計的系統(tǒng)對階躍輸入的響應特性。所設計的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為&=Ax+Bux=Ax+B(-Kx+k1r)=(A-BK)x+Bk1r輸出方程為éx1ùúy=Cx=100

22、34;xê2úêëx3úû為求對單位階躍輸入的響應，使用下列命令y,x,t=step(AA,BB,CC,DD)式中AA=A-BK,BB=Bk1,CC=C,DD=DMATLAB Program 5.5可求出該系統(tǒng)對單位階躍的響應。圖5.10畫出了輸出y對時間t的響應曲線，圖5.11在同一張圖上畫出了x1,x2和x3對t的響應曲線。 12現(xiàn)代控制理論基礎第五章(講義)%*Note that matrices A,B,and K are given as tollows*A=0 1 0;0 0 1;0 -2 -3;B=0;0;1K=100.

23、0000 53.1200 11.6711;K1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);%*The state equation for the designed system is%xdot=(A-BK)x+Bk1r and the output equation is%y=Cx+Du,where matrices C and D are given by*C=1 0 0;D=0;%*Define the state matrix,control matrix, output matrix, %and direct transmission matrix of the designed systems as AA, %BB,CC,and DD *AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=D;%*To obtain the unit-step response curves for the first eight %seconds,enter the following command*t=0:0.01:8;y,x,t=stepAA,BB,CC,DD,l,t);%*Toplot the unit-step response curve y(=xl)versus t, %ent