概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題集及答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)集及答案第 1 章 概率論的基本概念§1 .1隨機試驗及隨機事件1. (1)一枚硬幣連丟 3 次，觀察正面h反面 t 出現(xiàn)的情形 .樣本空間是： s=；(2)一枚硬幣連丟 3 次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).樣本空間是： s=；2.(1)丟一顆骰子 . a：出現(xiàn)奇數(shù)點，則a=； b：數(shù)點大于 2，則 b=.(2)一枚硬幣連丟2 次， a：第一次出現(xiàn)正面，則a=；b：兩次出現(xiàn)同一面，則=； c ：至少有一次出現(xiàn)正面，則c=.§1 .2隨機事件的運算1. 設 a、b、c 為三事件，用a、 b、c的運算關系表示下列各事件：(1) a 、b、c 都不發(fā)生表示為：.(2)

2、a與 b 都發(fā)生 , 而 c不發(fā)生表示為：. (3)a 與 b 都不發(fā)生 , 而 c 發(fā)生表示為：.(4)a、b、c 中最多二個發(fā)生表示為：. (5)a 、b、c 中至少二個發(fā)生表示為：.(6)a、b、c 中不多于一個發(fā)生表示為：.- 13 -2. 設 s x : 0x5, a x :1x3, b x : 24 ：則（ 1） ab，（ 2） ab，（3） ab，（ 4） ab =，（ 5）a b =。§1 .3概率的定義和性質1. 已知p( ab)0.8,p( a)0.5,p(b)0.6 ，則(1)p( ab),(2)(p( ab) )=,(3)p( ab) =.2. 已知p( a)

3、0.7,p( ab )0.3,則 p( ab) =.§1 .4古典概型1. 某班有 30 個同學 , 其中 8 個女同學 ,隨機地選 10 個, 求:(1)正好有 2 個女同學的概率 ,(2) 最多有 2 個女同學的概率 ,(3)至少有 2 個女同學的概率 .2. 將 3 個不同的球隨機地投入到4 個盒子中 , 求有三個盒子各一球的概率.§1 .5條件概率與乘法公式1. 丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點數(shù)之和為7,則其中一顆為 1 的概率是。2. 已知p( a)1 / 4,p(b| a)1/ 3,p( a | b)1 / 2,則 p( ab)。§1 .6全概率公式1

4、. 有 10 個簽，其中 2 個“中”，第一人隨機地抽一個簽，不放回，第二人再隨機地抽一個簽，說明兩人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有 4 個紅球 6 個白球，第二盒中有5 個紅球 5 個白球，隨機地取一盒，從中隨機地取一個球，求取到紅球的概率。§1 .7貝葉斯公式1. 某廠產(chǎn)品有 70%不需要調試即可出廠， 另 30%需經(jīng)過調試， 調試后有 80%能出廠， 求（ 1） 該廠產(chǎn)品能出廠的概率， （ 2）任取一出廠產(chǎn)品, 求未經(jīng)調試的概率。2. 將兩信息分別編碼為 a 和 b 傳遞出去，接收站收到時， a 被誤收作 b 的概率為 0.02 ， b 被誤收作 a 的概率為 0.01 ，

5、信息 a 與信息 b 傳遞的頻繁程度為 3 : 2 ，若接收站收到的信息是 a，問原發(fā)信息是 a 的概率是多少？§1 .8隨機事件的獨立性1.電路如圖，其中 a,b,c,d 為開關。設各開關閉合與否相互獨立，且每一開關閉合的概率均為 p, 求 l 與 r 為通路（用 t 表示）的概率。ablrcd3. 甲，乙 , 丙三人向同一目標各射擊一次，命中率分別為 0.4,0.5 和 0.6 ，是否命中，相互獨立， 求下列概率 : (1) 恰好命中一次 ,(2) 至少命中一次。第 1 章作業(yè)答案§ 1 .1 1：（ 1） s hhh, hht, hth,thh, htt , tht

6、,tth , ttt ；（2） s 0,1,2,32：（ 1） a1,3,5b 3,4,5,6 ；（ 2） a 正正，正反, b 正正，反反, c 正正，正反，反正 。§ 1 .2 1： (1)abc ；(2)abc ；(3)a b c ；(4)abc ；(5)abacbc ；(6)a ba cb c或a b ca b ca b ca b c ；2： ( 1) ab x :1x4 ；(2) ab x : 2x3；(3) ab x : 3x4 ；（ 4） ab x : 0x 1或 2x5；（ 5） ab x : 1x4 。§ 1 .31：(1)p( ab ) =0.3,(2)

7、p( a b) = 0.2,(3)p( ab) = 0.7.2：p ( ab) )=0.4.§ 1 .41：(1)c 2c 8/ c 10 ,(2)(（ c 10c 1c 9c 2c 8 ）/ c10 ,(3)1-(c 10c 1c 9 ）/ c 10 .8223022822822302282230p42：3/ 43 .§ 1 .51： . 2/6；2： 1/4 。§ 1 .6 1： 設 a 表示第一人“中” ，則 p(a) = 2/10設 b 表示第二人“中” ，則 p(b) = p(a)p(b|a) + p(a )p(b|a )=2110 982210910兩

8、人抽“中的概率相同,與先后次序無關。2：隨機地取一盒，則每一盒取到的概率都是0.5 ，所求概率為： p = 0.5× 0.4 + 0.5× 0.5 = 0.45§ 1 .71：（ 1） 94% （ 2） 70/94；2： 0.993 ；§ 1 .8. 1 ： 用 a,b,c,d 表示開關閉合，于是t = ab cd,從而，由概率的性質及a,b,c,d 的相互獨立性p(t) = p(ab) + p(cd) - p(abcd)= p(a)p(b) + p(c)p(d) p(a)p(b)p(c)p(d)p 2p 2p 42 p 2p42： (1) 0.4(1-

9、0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第 2 章 隨機變量及其分布§2.1隨機變量的概念，離散型隨機變量1 一盒中有編號為1， 2， 3，4， 5 的五個球，從中隨機地取3 個，用 x 表示取出的 3 個球中的最大號碼 ., 試寫出 x 的分布律 .2 某射手有 5 發(fā)子彈，每次命中率是0.4 ，一次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為止，用 x 表示射擊的次數(shù) ,試寫出 x 的分布律。§2.201 分布和泊松分布1 某程控交換機在一分鐘內(nèi)

10、接到用戶的呼叫次數(shù)x 是服從 =4 的泊松分布，求(1) 每分鐘恰有 1 次呼叫的概率； (2) 每分鐘只少有1 次呼叫的概率；(3)每分鐘最多有 1 次呼叫的概率；2 設隨機變量 x 有分布律： x23, y (x),試求：p0.40.6（ 1） p(x=2,y 2)； (2)p(y 2)； (3) 已知 y 2, 求 x=2的概率。§2.3貝努里分布1 一辦公室內(nèi)有5 臺計算機，調查表明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為0.6，計算機是否被使用相互獨立，問在同一時刻(1) 恰有 2 臺計算機被使用的概率是多少？(2) 至少有 3 臺計算機被使用的概率是多少？(3) 至多有 3 臺

11、計算機被使用的概率是多少？(4) 至少有 1 臺計算機被使用的概率是多少？2 設每次射擊命中率為0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的概率不小于 0.9 ？§2.4隨機變量的分布函數(shù)0x11 設隨機變量 x 的分布函數(shù)是：f(x) =0.51x11x1（ 1） 求 p(x 0 )； p 0x1 ； p(x 1)， (2) 寫出 x 的分布律。axx02 設隨機變量 x 的分布函數(shù)是： f(x) =1x0x0, 求（ 1）常數(shù) a, (2) p 1x2 .§2.5連續(xù)型隨機變量1 設連續(xù)型隨機變量x 的密度函數(shù)為：f ( x)kx0x10其 他（ 1）求常

12、數(shù) k 的值；（ 2）求 x 的分布函數(shù) f(x) ，畫出 f(x)的圖形，（ 3）用二種方法計算p(- 0.5<x<0.5).2設連續(xù)型隨機變量x 0的分布函數(shù)為： f(x) =0ln xx11xe1xe(1) 求 x 的密度函數(shù)f ( x)，畫出f (x) 的圖形， (2) 并用二種方法計算p(x>0.5).§2.6均勻分布和指數(shù)分布1 設隨機變量 k 在區(qū)間(0,5) 上服從均勻分布 , 求方程4 x2 + 4kx + k + 2 = 0有實根的概率。2 假設打一次電話所用時間（單位：分）x 服從0.2 的指數(shù)分布，如某人正好在你前面走進電話亭，試求你等待：（

13、 1）超過 10 分鐘的概率； （2） 10 分鐘 到 20 分鐘的概率。§ 2.7正態(tài)分布1 隨機變量 x n (3,4), (1) 求 p(2<x 5) ,p(- 4<x 10),p(|x|>2),p(x>3) ；(2) 確定 c，使得 p(x>c) = p(x<c) 。2 某產(chǎn)品的質量指標x 服從正態(tài)分布， =160，若要求 p(120<x<200) 0.80，試問 最多取多大？§2.8隨機變量函數(shù)的分布1 設隨機變量 x 的分布律為；x012p0.3y = 2x 1, 求隨機變量 x 的分布律。0.40.32 設隨機變

14、量 x 的密度函數(shù)為：f (x)2(10x)0x1，其他yx 2 ；求隨機變量 y 的密度函數(shù)。3. 設隨機變量 x 服從（ 0， 1）上的均勻分布， y2 ln x，求隨機變量y 的密度函數(shù)。第 2 章作業(yè)答案§ 2.11： x345p0.10.30.62：x12345p0.40.6 ×0.40.6 ×0.6 ×0.40.6 ×0.6 ×0.6 ×0.40.6 ×0.6 ×0.6 ×0.6 ×1§ 2.21： (1) p(x = 1) = p(x 1) p(x2) = 0.

15、981684 0.908422 = 0.073262,(2) p(x1) = 0.981684,(3) p(x1) = 1 - p(x2) = 1 0.908422 = 0.091578。2：(1) 由乘法公式：p(x=2,y 2) = p(x=2) p(y 2 | x=2)= 0.4( e 22e 22e 2 )= 2 e 2×（ 2）由全概率公式：p(y 2) = p(x=2) p(y 2 | x=2) + p(x=3) p(y 2 | x=3)2173= 0.4×5 e+ 0.6×2e= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458（ 3）由貝葉斯

16、公式：p(x=2|y 2)=p( xp(y2, y2)2)0.270670.524580.5165§2.31： 設 x 表示在同一時刻被使用的臺數(shù)，則xb(5,0.6),(1) p( x = 2 ) =223c0.6 0.4(2) p(x 3 ) =c 0.6 0.4c 0.653325440.40.65(3) p(x 3 ) = 1 -c 4 0.6 40.40.65(4)p(x 1 ) = 1 -0.4552： 至少必須進行11 次獨立射擊 .§ 2.41：（ 1）p(x 0 )=0.5 ； p0x1= 0.5； p(x 1) = 0.5 ，(2) x 的分布律為：x-

17、11p0.50.52： (1) a = 1,(2) p 1x2=1/6§ 2.51 ：（1） k2 ，（ 2）f (x)0x 210.5x00x1 ；x100.51（3） p(- 0.5<x<0.5) =0.5f (x)dx0dx0.52xdx；04或= f(0,5) f(-0.5) =101 。442： （ 1）f ( x)1/ x 01xe其 他（ 2）p( x2)1ln 2§ 2.61： 3/52：(1) e 2(2) e 2e 4§ 2.71： (1) 0.5328,0.9996,0.6977,0.5； (2) c = 3 ，2： 31.25。

18、§ 2.81：y- 113p0.30.40.32： fy ( y)1(1y0y)0其y 1， 3：他f y ( y)1 e y / 220y0 ；y0第 3 章 多維隨機變量§3.1二維離散型隨機變量1. 設盒子中有 2 個紅球， 2 個白球， 1 個黑球，從中隨機地取3 個，用 x 表示取到的紅球個數(shù)，用 y 表示取到的白球個數(shù)，寫出(x, y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。2. 設二維隨機變量( x ,y ) 的聯(lián)合分布律為：xy012試根椐下列條件分別求a 和 b 的值；00.10.2a(1) p( x1)0.6 ；10.1b0.2(2) p( x1 | y2)0.5 ；

19、(3) 設 f ( x) 是y 的分布函數(shù)，f (1.5)0.5 。§3.2二維連續(xù)型隨機變量1. ( x、y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為：f( x, y)k(x 0y)0x其1, 0y1他求（ 1）常數(shù) k ；（ 2） p(x<1/2,y<1/2) ； (3) p(x+y<1) ； (4) p(x<1/2) 。2. ( x、y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為：f ( x, y)kxy0x0其1, 0yx他求（ 1）常數(shù) k ；（ 2） p(x+y<1) ；(3) p(x<1/2) 。§3.3邊緣密度函數(shù)1. 設(x, y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求x 與

20、 y 的邊緣密度函數(shù)。f ( x, y)2 (11x2 )(1y2 )x,y2. 設(x, y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求x 與 y 的邊緣密度函數(shù)。f (x, y)e x0yx0其他§ 3.4隨機變量的獨立性1. (x, y)的聯(lián)合分布律如下，xy123試根椐下列條件分別求a 和 b 的值；11/61/91/18(1)p(y1)1 / 3 ；2ab1/9(2)p( x1 | y2) 0.5 ；（ 3）已知 x 與 y 相互獨立。2. (x,y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c，并討論 x 與 y 是否相互獨立？f ( x, y)cxy200x1, 0y1其他第 3 章作業(yè)答案§

21、;3.11：xy122：(1) a=0.1b=0.3 10.40.30.7(2) a=0.2b=0.220.30.0.3(3) a=0.3b=0.10.70.31§3.21： (1) k = 1 ； (2) p(x<1/2, y<1/2) = 1/8 ； (3) p(x+y<1) = 1/3 ；(4) p(x<1/2) = 3/8 。2： (1) k = 8 ； (2) p(x+y<1) = 1/6 ； (3) p(x<1/2) = 1/16 。§3.31：f x ( x)2 (11x2 )(1y 2 )dy2(1x 2)x；fy ( y

22、)2 (11x 2 )(1y 2 ) dx2(1y2 )y；2：f x ( x)xe xx0；0x0f y ( y)e yy0；0y0§3.41： （ 1） a=1/6b=7/18；(2) a=4/9b=1/9；（ 3）a = 1/3,b = 2/9 。 2：c = 6,x 與 y 相互獨立。第 4 章 隨機變量的數(shù)字特征§4.1數(shù)學期望1. 盒中有 5 個球，其中 2 個紅球，隨機地取3 個，用 x 表示取到的紅球的個數(shù)，則ex是：（ a） 1；（ b） 1.2 ；（ c） 1.5 ；（ d） 2.2. 設 x 有密度函數(shù)：3x2f ( x)802x4,求其他e( x )

23、,e(2 x1),e( 1 ) , 并 求 x x 2大于數(shù)學期望e( x ) 的概率。3. 設二維隨機變量( x ,y ) 的聯(lián)合分布律為：xy012已知 e( xy )0.65 ，00.10.2a則 a 和 b 的值是：10.1b0.2（ a ）a=0.1, b=0.3 ； （ b） a=0.3, b=0.1； （ c） a=0.2, b=0.2； （ d） a=0.15, b=0.25 。4. 設隨機變量(x, y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求ex ,ey ,e( xy1) 。f ( x, y)xy0x0其1, 0y2他§4.2數(shù)學期望的性質1. 設 x 有分布律： x0123則e(

24、x 22 x3) 是：p0.10.20.30.4（a） 1；（ b） 2；（ c）3；（ d） 4.2. 設 ( x , y) 有f ( x, y)5 yx 2y140其他，試驗證e( xy )e( x ) e(y )， 但 x 與 y 不相互獨立。§4.3方差1. 丟一顆均勻的骰子，用x 表示點數(shù)，求ex ,dx .2. x 有密度函數(shù)：f (x)( x1) / 400x2其他， 求 d(x).§4.4常見的幾種隨機變量的期望與方差1. 設 x (2), y b(3,0.6),相互獨立，則e(x2y ),d ( x2y )的值分別是：（ a）-1.6和 4.88 ；（ b

25、） -1 和 4； （ c） 1.6 和 4.88 ； （ d） 1.6 和-4.88.2. 設 x u (a,b ),y n (4,3) ， x 與 y 有相同的期望和方差，求a,b 的值。（a） 0 和 8；（b） 1 和 7；（ c） 2 和 6；（ d） 3 和 5.§ 4.6獨立性與不相關性矩1. 下列結論不正確的是（）（ a） x 與y 相互獨立，則 x 與 y 不相關；（ b） x 與y 相關，則 x 與 y 不相互獨立；（ c）e( xy )e( x ) e(y)，則 x 與 y 相互獨立；（ d）f (x, y)f x ( x) f y ( y)，則 x 與y 不相

26、關；2. 若c o v( x , y)0 ，則不正確的是（）（ a）e( xy )e( x ) e(y)；（ b）e( xy)e( x )e(y ) ；（ c）d (xy )d ( x ) d(y) ；（ d）d( xy)d ( x )d (y) ；3（x ,y）有聯(lián)合分布律如下，試分析x 與y 的相關性和獨立性。xy 101. 11/81/81/801/801/811/81/81/84. e( xy )e( x )e(y)是 x 與y 不相關的（）（ a ）必要條件； （ b）充分條件： （c）充要條件； （d ）既不必要，也不充分。5. e(xy )e( x )e(y)是 x 與y 相互獨

27、立的（）（a ） 必要條件；（ b）充分條件： （ c）充要條件； （ d）既不必要，也不充分。6. 設隨機變量 (x, y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗證x 與y 不相關，但不獨立。f ( x, y)21x 2 y / 4x 2y10其他第 4 章作業(yè)答案§4.1§4.21： b；1 ： d；2 ： 3/2, 2, 3/4, 37/64； 3 ： d ； 4： 2/3 ， 4/3 ， 17/9 ；§4.31： 7/2,35/12 ；2： 11/36；§4.41 ： a；2： b；§4.51： 0.2，0.355；2： 1/144, 1/11；&#

28、167;4.61： c； 2：c； 3： x 與y 不相關，但 x 與y 不相互獨立； 4：c； 5：a ；第 5 章 極限定理* § 5.1 大數(shù)定理§5.2 中心極限定理1. 一批元件的壽命 （以小時計） 服從參數(shù)為 0.004 的指數(shù)分布， 現(xiàn)有元件 30 只，一只在用， 其余 29 只備用， 當使用的一只損壞時， 立即換上備用件， 利用中心極限定理求 30 只元件至少能使用一年（ 8760 小時）的近似概率。2. 某一隨機試驗， “成功”的概率為0.04，獨立重復100 次，由泊松定理和中心極限定理分別求最多“成功” 6 次的概率的近似值。第 5 章作業(yè)答案

29、7;5.22： 0.1788；3： 0.889， 0.841；第 6 章 數(shù)理統(tǒng)計基礎§6.1數(shù)理統(tǒng)計中的幾個概念1 有 n=10 的樣本； 1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，則樣本均值 x =，樣本均方差s，樣本方差2s。2設總體方差為b 2 有樣本 x , x ,12, x ，樣本均值為nx ，則 cov ( x , x )1。§6.2數(shù)理統(tǒng)計中常用的三個分布1. 查有關的附表， 下列分位點的值：z 0 .9 =，0.1(5) =2， t0.9 (10) =。2設 x 1, x 2 , x n 是總體2(

30、m) 的樣本，求e( x ),d( x ) 。§6.3一個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布1設總體 x n (,2) ，樣本x , x12, xn，樣本均值 x ，樣本方差 s2 ，則x/nx，s /n，1n22( x ix )，i 11 n2(x ii 1)2 ，2第 6 章作業(yè)答案§6.11 x1.57,s0.254,s20.0646 ； 2.cov (x 1 , x )b/ n ；§6.21 -1.29， 9.236 ， -1.3722 ；2 e( x )m,d ( x )2m / n ；§6.3 1.n ( 0,1),t (n1),2 (n1),2 (

31、n) ；第 7 章 參數(shù)估計§7.1矩估計法和順序統(tǒng)計量法x10x11. 設總體 x 的密度函數(shù)為：f (x)0，有樣本其他x 1,x 2 , x n ，求未知參數(shù)的矩估計。2. 每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)x () ，為估計的值，在實地隨機地調查了20 次，每次 1 分鐘，結果如下：次數(shù)：23456量數(shù)：95374試求的一階矩估計和二階矩估計。§7.2極大似然估計1. 設總體 x 的密度函數(shù)為：f ( x)( 01)x0x1 ，有樣本其他x 1, x 2 , x n ，求未知參數(shù)的極大似然估計。§7.3估計量的評價標準1. 設總體 x 服從區(qū)間( a,1) 上的均勻分布，有樣本x 1,x 2 , xn ，證明 a?2