一般周期傅立葉

1、第1章 集 合第8節(jié) 一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在第7節(jié)我們已經(jīng)直接講了一般周期為的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)。這節(jié)我們只需指出：（1）當(dāng)時(shí)，周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)就是周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)；（2）如果是一般周期為的函數(shù)，作變量代換： 或,就變成了周期為的函數(shù)把按周期展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，再代回，就得到周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)?！纠?.1】設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為,將它展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)解 。其傅立葉系數(shù)為,根據(jù)收斂定理，有,因此，的傅立葉展開(kāi)式為的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式的和函數(shù)的圖象如下：圖8.1【例8.2】將函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)解 。將作奇延拓，得到函數(shù)，且,再將以4為周期進(jìn)行周期延拓，便可獲到

2、一個(gè)以4為周期的周期函數(shù)，其圖象如圖8.2所示：圖8.2其傅立葉系數(shù)為,由于函數(shù)在處間斷，故的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式為, 再將作偶延拓，得到函數(shù)，且,圖8.3將以4為周期進(jìn)行周期延拓，便可獲到一個(gè)以4為周期的周期函數(shù)，其圖象如下：其傅立葉系數(shù)為,由于函數(shù)在上連續(xù)，故的余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式為, 如果令，得，即對(duì)定義在任意區(qū)間上的函數(shù)，也可將它展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)，其方法如下：作變量替換（黑板上一步步找此變換），即，當(dāng)時(shí)，將函數(shù)變成函數(shù),可將按周期展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)，再代回，就得到周期的傅里葉級(jí)數(shù)【例8.3】將函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)解 作變量替換，當(dāng)時(shí)，則，而將以為周期進(jìn)行周期延拓，可得到一個(gè)周期函數(shù)，其圖象如下：圖8.4其傅立葉系數(shù)為,顯然，點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，函數(shù)在其它點(diǎn)均連續(xù)，故的傅立葉展開(kāi)式為將代入上式，得周期的傅里葉級(jí)數(shù)習(xí)題13-8A類1. 將下列周期函數(shù)（已給出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式）展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)2將函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)3. 將函數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).B類1.將函數(shù)，（）展成的傅立葉級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和2. 證明：在上有，并由此證明：證 要證等式右邊是余弦級(jí)數(shù)。把偶延